运筹学基础及应用第五版 胡运权资料
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注：逆定理不成立，即 如果原问题（对偶问题）无可行解，那么
对偶问题（或原问题）“解无界”不成立。
（4）强对偶性（对偶定理）
X1 0 , X2 0
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
X 0
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
（3）max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C
Y0
原问题与对偶问题关系表（例3）
原问题(对偶问题) 目标函数系数 约束右端项 约束条件系数向量 A
变量个数
max
变量 x j : xj 0 x j 无约束 xj0
··············Байду номын сангаас·········· a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym cn
yi 0，(i=1,2,···,m )
原问题
对偶问题
max z = C X
min w = Y b
s.t AX b X 0
s.t YA C Y0
•对偶问题也可从数学的角度导出：
约束条件标准化：AX + IXs = b
则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则 CX0 CX* Y*b Y0b 但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
检验数： A = C - CBB-1A -Y = S = -CBB-1I = -CBB-1
当存在所有检验数小于等于0，即有：
C - YA 0 -Y 0
又有 z = CX = CBb’ = CBB-1b = Yb 于是得对偶问题。
原模型对应对偶结构矩阵表示
原问题
对偶问题
（1） max z = C X 例1
min w = Y b s.t -YA - C
则有
Y 0
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
对偶问题典式：
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X
s.t AX b <========> X 0
min w = Y b
s.t YA C Y0
（2） max z = C X
s.t AX b <========>
Y0
(1) 弱对偶性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解 则 CX0 Y0b
证明： ∵ Y0 0， AX0 b， ∴ Y0 AX0 Y0 b，
而 Y0 A C ， ∴ Y0AX0 CX0 ，
∴ CX0 Y0 AX0 Y0 b
（2）最优性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0b
第 2 章 线性规划的对偶 理论
Duality 对偶 Dual Problem 对偶问题 Dual Linear Programming 对偶线性规划
Dual Theory 对偶理论
2.1 问题的提出
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产 品均需要A、B、C、D 四种不同的材料，按工 艺资料规定，生产一单位甲乙产品需要各种材料 数量及单位产品利润如表中所示。问:如何安排 产品的生产计划,才能使企业获利最大?
约束方程 i: =
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 j : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
2.3 对偶问题的基本性质
Max z = CX
Min w = Y b
s t . AX b
s t . YA C
X0
st. Y ´(-A) C Y ´ 0
令 Y=- Y ´
max z = C X
对偶问题
s.t - AX -b
X 0 对偶变量Y
min w = Y b
s.t YA C Y0
（3）max z = C X
s.t AX b
X0
设X= -X´
变形
max z= -CX ´
st. -AX´ b X´ 0
·······················
am1 X1 + am2 X2 + ┈ + amn Xn bm xj 0，j=1,2,┈,n
对偶问题：
min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + bm ym
s.t
a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym c1
a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym c2
设备
产品
A
B
C
D 单位利润
甲产品 2
1
4
0
2
乙产品 2
2
0
4
3
现有材料 数量
12
8
16 12
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
s.t 2 X1 +2 X2 12 y1
X1 +2 X2 8
y2
4 X1
16 y3
4 X2 12 y4
(原问题)
<========>
( 对偶问题)
2.2 原问题与对偶问题
一般表示式：（m种资源，n种产品）
原问题：
max z = c1 X1 + c2 X2 + ┈ + cn Xn
s.t
a11 X1 + a12 X2 + ┈ + a1n Xn b1
a21 X1 + a22 X2 + ┈ + a2n Xn b2
s.t AX b X 0
min w’’ = -CX s.t -AX -b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0 例2
max w’ = -Y b
s.t -YA -C Y0
对偶模型其它结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
变形
X 0
min w=Y ´(-b)
（3）无界性
若原问题（对偶问题）最优解无界，则对偶问题（原问 题）无可行解
证：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可 能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
（证：由性质1，C X0 Y0 b，当 Y0 b -∞ 时，则不可 能存在X0，使得 C X0 Y0 b 。）
对偶问题（或原问题）“解无界”不成立。
（4）强对偶性（对偶定理）
X1 0 , X2 0
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
X 0
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
（3）max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C
Y0
原问题与对偶问题关系表（例3）
原问题(对偶问题) 目标函数系数 约束右端项 约束条件系数向量 A
变量个数
max
变量 x j : xj 0 x j 无约束 xj0
··············Байду номын сангаас·········· a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym cn
yi 0，(i=1,2,···,m )
原问题
对偶问题
max z = C X
min w = Y b
s.t AX b X 0
s.t YA C Y0
•对偶问题也可从数学的角度导出：
约束条件标准化：AX + IXs = b
则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则 CX0 CX* Y*b Y0b 但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
检验数： A = C - CBB-1A -Y = S = -CBB-1I = -CBB-1
当存在所有检验数小于等于0，即有：
C - YA 0 -Y 0
又有 z = CX = CBb’ = CBB-1b = Yb 于是得对偶问题。
原模型对应对偶结构矩阵表示
原问题
对偶问题
（1） max z = C X 例1
min w = Y b s.t -YA - C
则有
Y 0
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
对偶问题典式：
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X
s.t AX b <========> X 0
min w = Y b
s.t YA C Y0
（2） max z = C X
s.t AX b <========>
Y0
(1) 弱对偶性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解 则 CX0 Y0b
证明： ∵ Y0 0， AX0 b， ∴ Y0 AX0 Y0 b，
而 Y0 A C ， ∴ Y0AX0 CX0 ，
∴ CX0 Y0 AX0 Y0 b
（2）最优性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0b
第 2 章 线性规划的对偶 理论
Duality 对偶 Dual Problem 对偶问题 Dual Linear Programming 对偶线性规划
Dual Theory 对偶理论
2.1 问题的提出
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产 品均需要A、B、C、D 四种不同的材料，按工 艺资料规定，生产一单位甲乙产品需要各种材料 数量及单位产品利润如表中所示。问:如何安排 产品的生产计划,才能使企业获利最大?
约束方程 i: =
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 j : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
2.3 对偶问题的基本性质
Max z = CX
Min w = Y b
s t . AX b
s t . YA C
X0
st. Y ´(-A) C Y ´ 0
令 Y=- Y ´
max z = C X
对偶问题
s.t - AX -b
X 0 对偶变量Y
min w = Y b
s.t YA C Y0
（3）max z = C X
s.t AX b
X0
设X= -X´
变形
max z= -CX ´
st. -AX´ b X´ 0
·······················
am1 X1 + am2 X2 + ┈ + amn Xn bm xj 0，j=1,2,┈,n
对偶问题：
min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + bm ym
s.t
a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym c1
a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym c2
设备
产品
A
B
C
D 单位利润
甲产品 2
1
4
0
2
乙产品 2
2
0
4
3
现有材料 数量
12
8
16 12
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
s.t 2 X1 +2 X2 12 y1
X1 +2 X2 8
y2
4 X1
16 y3
4 X2 12 y4
(原问题)
<========>
( 对偶问题)
2.2 原问题与对偶问题
一般表示式：（m种资源，n种产品）
原问题：
max z = c1 X1 + c2 X2 + ┈ + cn Xn
s.t
a11 X1 + a12 X2 + ┈ + a1n Xn b1
a21 X1 + a22 X2 + ┈ + a2n Xn b2
s.t AX b X 0
min w’’ = -CX s.t -AX -b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0 例2
max w’ = -Y b
s.t -YA -C Y0
对偶模型其它结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
变形
X 0
min w=Y ´(-b)
（3）无界性
若原问题（对偶问题）最优解无界，则对偶问题（原问 题）无可行解
证：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可 能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
（证：由性质1，C X0 Y0 b，当 Y0 b -∞ 时，则不可 能存在X0，使得 C X0 Y0 b 。）