6、自动控制原理-传递函数汇总

d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) u r ( t ) 2 dt dt
解: 零初始条件下取拉氏变换：
LCs2U c ( s) RCsU c ( s) U c ( s) U r ( s) ( LCs2 RCs 1)Uc ( s) Ur ( s)
为系统的时间常数。
K k
( zi ) ( p j )
j 1 i 1 n
m
23
2 k k s 1)
K G( s) sv
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m2
2 2 ks
(T s 1) (T
l
2 2
s 2 l Tl s 1)
式中， K G(0) b0 / a0 为传递系数，通常也为系统的放大系数； i , Ti
传递函数
1


主要内容：
1. 传递函数的定义与性质 2.求法
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2
复习拉氏变换
F ( s) f (t )e st dt
0
F ( s) L[ f (t )]
一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是：
1. t<0时，f(t)=0(因果系统）；
⑶积分定理：（设初值为零） F (s) L[ f (t )dt ] s ⑷时滞定理：L[ f (t T )] 0 est f (t T )dt esT f (s)
f (t ) lim sF ( s ) ⑸初值定理：lim t 0 s
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输出及其所有导数项为零。
设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程描述
d n xo (t ) d n 1 xo (t ) dxo (t ) an an 1 a1 a0 xo (t ) n n 1 dt dt dt
d m xi (t ) d m1 xi (t ) dxi (t ) bm bm 1 b1 b0 xi (t ) m m 1 dt dt dt
m 1

得到系统（或环节）传递函数的一般形式
X o ( s) bm s bm1s b1s b0 G( s) X i ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
m
由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函数。
即
Lxo (t ) X o (s) G ( s) Lxi (t ) X i (s)
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关于传递函数的几点说明

3、实际工程中，许多不同的物理系统具有完全相 同的传递函数，所以传递函数只描述了输出与输 入之间的关系，并不提供任何有关该系统的物理 结构。
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关于传递函数的几点说明

4、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，
因而信号在传递过程中的中间变量是无法反映出
来的。

5、对于系统未知的传递函数，可通过给系统加上
已知特性的输入，再对其输出进行研究，就可以
得到该系统传递函数，并可以给出其动态特性的
完整描述。
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关于传递函数的几点说明

6、传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换 而转换；

7、传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，
因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的
动态性能。

8、只能反映零初始条件下输入信号引起的输出， 不能反映非零初始条件引起的输出。
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传递函数的表示方式

1、有理分式形式
传递函数最常用的形式是下列有理分式形式
N ( s) G( s) n n1 an s an1s a1s a0 D(s)
传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式, D(s)=0称为系 统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。 分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项 式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分
bm s m bm1s m1 b1s b0
的零极点图。
j 2 1 -2
-4
-3
-1
0 -1 -2
1
2
图2.9 零极点图
22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、时间常数形式
将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因 式分解，得
G ( s) s
m1
v
K
K
(
i 1 n i 1
m
i
s 1)
(T s 1)
i
(n v n )
解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得
ms2 X o (s) DsX o (s) kX o (s) Fi (s)
整理得到描述系统的传递函数
d 2 x0 (t ) dx0 (t ) m D kx0 (t ) f i (t ) 2 dt dt
X o ( s) 1 G( s) 2 Fi ( s) m s Ds k
4
复习拉氏变换
⑹终值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s) ⑺卷积定理： 0
t
③常用函数的拉氏变换： 1 f ( t ) 1 ( t ), F ( s ) 单位阶跃函数： s F ( s) L[ (t )] 1 单位脉冲函数： 1 f ( t ) t , F ( s ) 单位斜坡函数： 1 2 s2 1 单位抛物线函数：f (t ) 2 t , F ( s) s 3 正弦函数： f (t ) sin t , F ( s) 2 s 2 其他函数可以查阅相关表格获得。
统的极点； k bm / am 为系统的根轨迹增益。 系统零点、
极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函 数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用 “”表示极点位置，用“”表示零点 21
例如，传递函数
2( s 1)(s 2) G(s) 3 2 s 5s 8s 6 ( s 3)(s 1 j )(s 1 j ) 2s 2 2s 4
R1 I1 ( s ) ( R1 R2 ) I 2 ( s ) U i ( s ) R2 I 2 ( s ) U O ( s )
U 0 ( s) 1 1 Ts G( s) U i ( s) 1 Ts
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T
R1 R2C R1 R2
传递函数：
U c ( s) 1 G( s ) U r ( s ) LCs 2 RCs 1
[例4] 求下图的传递函数
C i1
1 i1dt R1i1 R1i2 0 C
R2
ui
R1 i2
uO
R1i2 R1i1 R2 i2 ui R2 i2 uO
(
1 R1 ) I1 ( s ) R1 I 2 ( s ) 0 Cs
uo(t)
储能元件
阻容电路
经拉氏变换后
RCsUo (s) U o (s) Ui (s)
系统传递函数为
电路的 时间常数
U o ( s) 1 1 G( s) U i ( s) RCs 1 Ts 1
T RC
例3
如图RLC电路， 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). i(t) R ur(t) L C uc(t)
式中，n≥m。
当初始条件全为零，即：xi(t)和xo(t)及其各阶导数在 t=0
的值均为零时，对上式进行拉氏变换
a s a s b s b s
n n n 1
n1
a1s a0 X o (s)

m
m
m1
m1
b1s b0 X i (s)
X o (s) X i (s)G(s)
Xi(s) Xo(s)
输入信号经系统 ( 或环节 ) 传递 [ 乘以 G(s)]，得到输出信号。
G(s)
称G(s)为传递函数
传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的阶次。
如果 s 的最高阶次等于n，则称这种系统为 n 阶系统。
例题1
已知系统微分方程，求其传递函数。
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1. 传递函数的定义与性质
定义：
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输
出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。
所谓零初始条件是指
1）输入量在t>0时才作用在系统上，即在
入及各项导数均为零；
t 0
时系统输
2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在 t 0 时系统
例题2 求图示简单阻容电路的传递函数。 R 解：电路方程为
1 ui (t ) R i (t ) i (t ) dt C ui (t) 1 uo (t ) i (t ) dt C duo (t ) RC uo (t ) ui (t ) dt
i(t) C
耗能元件
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合
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关于传递函数的几点说明

1、传递函数的概念适用于线性定常系统. 2、传递函数是系统的动态数学模型的另一种形 式，它取决于系统或元部件的结构及参数，与输 入量的物理特性无关，并且和微分方程中各项对 应相等。
2. t>=0时，f(t)分段连续； 3.


0
f (t )est dt
3
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复习拉氏变换
②性质：
L[f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s) ⑴线性性质：
(t )] sF (s) f (0) ⑵微分定理： L[ f (0) L[ f(t )] s 2 F (s) sf (0) f (0) ... f ( n1) (0) L[ f ( n) (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f
子多项式的阶次m，即 n≥m。
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2、零极点形式
将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在 复数范围内因式分解，得
k G (s)
(s z )
i i 1 n
m

i 1
( s pi )
n≥m
式中
z i (i 1,2, , m)
pi (i 1,2,, n) 为系 ，称为系统的零点；

R1 R2 R2
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问题的提出：传递函数的作用？
传递函数不仅可以表征系统的动态特性， 而且还可以用来研究系统的结构或参数变 化对系统性能的影响
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传递函数的作用
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用
下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 --分析