最新扬州中学2015-2016高二下学期期中考试 数学(理)

江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期期中考试

高二(理科)数学试卷 2016.4.19

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．复数i z -=11的共轭复数是_________________．

2．命题“x=π”是“sinx=0”的________________条件．

3．设异面直线21l l ， 的方向向量分别为)1,0,1(),0,1,1(-==b a ,则异面直线21l l ，所成角的大小为 ________________．

4．在5)2x

x -（的二项展开式中, 3

x 的系数是 _____________ ．

5．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的301与302对门，303与304对门，305

与306对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为__________．

6. 已知可导函数)(x f 的导函数)('x f 满足)()('x f x f >，则不等式e f e

x f x

)

1()(>的解集是 ________________． 7．设)(21

312111)(*∈+++++++=

N k k

k k k k f ,那么=-+)()1(k f k f _______． 8. 若数列{}n a 的通项公式)()

1(1

2

+∈+=

N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f

9．甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为___________．

10. 已知：

22108)1()1()2++++=+x a x a a x （88)1(+++x a ,其中2,1,0(==i a i )8 为实常数,则=++++8721872a a a a ____________．

11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为 .（以数字作答）.

12. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱

PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．则二面角

B DE

C --的平面角的余弦值

是 ．

13．已知函数f (x )＝13x 3＋12

ax 2＋bx 在区间[－

1,1)、(1,3]内各有一个极值点，则a －4b 的

h y = y

x a

b y =

取值范围是__________．

14．我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。类比此方法：

求双曲线122

22=-b

y a x

)0,0(>>b a ，与x 轴，直线)0(>=h h y 及渐近线x a

b

y =

所围成的阴影部分（如图）绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积_____________ 二．解答题（本大题共6题，共90分） 15．（满分14分）

已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题， （1）求实数m 的取值集合M ；

（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．

16. （满分14分）已知复数w 满足4(32)w w i -=-（i 为虚数单位）．

（1）求w ；

（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式1||2z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积．

17．（满分14分）已知(1n +的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而又等于它后一项系数的5

6

．(1)求展开后所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．

18．（满分16分）

如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））．

（Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；

（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长．

19．（满分16分） 高一（12）班、高一（13）班共派出1+n 个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有n E 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有n F 种选法.

（1）试求n E 和n F ； （2）判断n E ln 和n F 的大小（+∈N n ），并用数学归纳法证明. 20．（满分16分）

已知函数))((R x x f ∈，)('x f 存在，记)(')(x f x g =，且)('x g 也存在，0)('

⑴求证：)(x f ≤))((')(000x x x f x f -+；)(0R x ∈

⑵设 ,3,2,1(=∈+

i R i λ)n ，且121=+++n λλλ ，),,1(n i R x i =∈)(+∈N n

求证： )()()(2211n n x f x f x f λλλ+++ ≤+++ 2211(x x f λλ)n n x λ ⑶已知)]}([({)],([),(,a f f f a f f a f a 是正项的等比数列，求证：a a f =)(．

高二(理科)数学期中试卷参考答案 2016.4

i

21-21.1 2．

（填必要不充分，充分不必要，充分必要，不充分不必要）必要不充分

3.

3π

4．－10 5. 51

6. ）

，（∞+1 7. 11

221121+-+++k k k 8. 2()22n f n n +=+ 9. 336 10. 1024 11.312 12.

3 13. (－16,10]

14. πh a 2

．

解：m y =，是一个圆环其面积

)(22BC AC S -=π

∵12222=-b y a x ⇒2222

2m b a a AC +=， 同理2222

m b

a BC =

∴2

2

2

a BC AC =-，由观日恒原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a ，高为h 的

h

= x

b