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从换元法，数形结合思想到函数的值域

【基础内容与方法】

1.换元法：就是将函数解析式中的部分代数式视为整体，换成新元，从而简化函数结构来求值域的方法．形如

0)y ax b ac =+≠的函数，常用换元法求解．

2.数形结合思想：画出函数的图形，找图形的最高点和最低点，对应的函数值即为函数的最值．

类型一：换元法求形如0)y ax b ac =+±≠的函数的值域

例1：求函数2y x =+

【解析】令12t x =-()0t ≥，则212

t x -=． ∴原函数可化为22151()24y t t t =-++=--+．

∵当12t =，即38x =时，max 54y =；且原函数无最小值．

故原函数的值域为5,4⎛⎤

-∞ ⎥⎝

⎦．

考点练习一

1.求函数y ＝2x －x －1的值域．

【解析】(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．

类型二：数形结合思想求值域

例2：作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域．

（1）1

2x y x -=-；（2）

24||y x x =-． 【答案】（1）减区间：(,2)-∞和(2,)+∞，值域：(,1)(1,)-∞⋃+∞；

（2）减区间：(,2]-∞-和[0,2]，增区间：[2,0]-和[2,)+∞，值域：[4,)-+∞．

【解析】分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间和值域． （1）11122

x y x x -==+--，图象如图所示：

函数在(,2)-∞和(2,)+∞为减函数. 因为102x ≠-，所以1112

x +≠-，故值域为：(,1)(1,)-∞⋃+∞；

（2）222

224(2)4,044(2)4,0x x x x y x x x x x x ⎧+=+-<=-=⎨-=--≥⎩，图象如图所示：

函数在(,2]-∞-和[0,2]为减函数，在[2,0]-和[2,)+∞为增函数，

当2x =±时，y 取得最小值4-，故值域：[4,)-+∞；

【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题.

考点练习二

2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域． （1）13(1)2y x =-+；（2）2

x y x =+；（3）|(1)|y x x =-；（4）12||y x =-． 【答案】（1）增区间：(,)-∞+∞，值域：R ；（2）增区间：(,2)-∞-和[0,)+∞，减区

间：(2,0]-，值域：[0,)+∞；（3）减区间：(,0]-∞和1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，增区间：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1,)+∞，值域：[0,)+∞；（4）减区间：(,2)-∞-和(2,0]-，增区间：[0,2)和(2,)+∞，值域：

1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭

，大致图像见解析 【解析】（1）函数1

3

(1)2y x =-+的图象如图所示：

函数在R 上为增函数，值域：R .

（2）2221222

x x y x x x +--===++++，图象如图所示：

函数在(,2)-∞-和[0,)+∞为增函数，在(2,0]-为减函数， 值域为：[0,)+∞.

（3）(1)(1)y x x x x =-=-，图象如图所示：