探求无穷级数求和的几种常用方法

2n − 1 2(n −1) 。 x 2n
证明 ： 级数的前项部分和 1 1 1 1 sn = + + ++ 1 ⋅ 6 6 ⋅11 11 ⋅16 (5n − 4 )(5n + 1)
解 ：级 数 的 收 敛 域 是 (− 2, 2 ) . 设 和 函 数 是 s（x） ，即 ∞ 2n − 1 2(n −1) s (x ) = ∑ n x 。 2 n =1 从 0 到 x 积分并逐项积分 ， 得到
n =1 ∞
3 5 7 例3： 证明级数 1 − + − + 收敛 ， 并求其和。 2 4 8
证明 ：sn = 1 − +
3 2
1 5 7 n −1 2n − 1 − + + (−1) ， 两边乘以 ， 再相 2 2 2 23 2n −1
. sn = ∑ uk , n = 1, 2, . 若极限 lim sn = s 存在 ， 称级数 ∑ un 收敛 ， 和
k =1
∞
n
∞
n →∞
1 ， ] gn -1 2n 加 ，得 到 3 sn = 1 - 12 + g + ]-1 gn -1 1 n -2 + -1 n 2 2 2 2 2
两边乘以
2 2 2 ， 求出 sn， 再求极限 lim sn = . 所以级数收敛 ， 和是 。 9 n →∞ 3 9
n =1
称级数 ∑ un 发散 . 本文考虑在级 是 s, ∑ un = s ; 若极限 lim sn 不存在 ， n →∞
2
2
2
3 利用错位相减法求和
对于级数 ∑ un ，写出 sn = u1 + u2 + + un . 用一个适当的数 q
n =1 ∞
乘以 sn， 再算出 (1 + q )sn 或 (1 − q )sn ， 进而求出 sn， 再求极限 lim sn 。
n →∞
91
2011•1（下）《科技传播》
基础科学 Basic Science
1 1 1 3 5 7 1 1 1 1 1 s3 = 1 − + − + − + 5 7 11 13 17 1 5 1 1 1 1 + + − , 7 11 13 17
解： 因为 v2 = v = v1 + v2 , 所以 v2 = v1 = r 。
2
4
4
3
24
2 2 2 v = v1 + v2 = r + r = r , v3 = 2v1 - v = r - r = r 。 8 24 6 4 6 12
参考文献 [1]华东师范大学.数学分析[M].北京：高等教育出版社， 1989，6 [2]刘玉链，傅沛仁编.数学分析[M].北京：高等教育出版 社，1992，7.
（上接第104页） 由此可见 ， 羊绒衫少量起球是正常现象。国家纺织行业标准 对针织品起球有明确的规定 ， 起球等级数分为 1~5 级 ： 1 级最差、 为严重起球 ； 2 级为显著起球 ； 3 级为一般起球 ； 4 级为稍微起球 ； 5 级为最好 ， 为不起球。标准中对羊绒织物起球也有明确规定 ， 羊 绒针织优等品起球数不低于 3~4 级 ， 一等品起球级数不低于 3 级。 目前 ， 羊绒起球问题一直很难攻克。为了使羊绒衫“不起球” 而降低其许多优良属性 ， 是不可取的 ， 消费者在选购的时候也要 清醒地认识到这点 ， 在穿着羊绒衫时要有讲究 ， 应尽量避免与各 种硬物摩擦 ， 注意羊绒衫的保养、减少磨擦、按照正确的方法进 行洗涤 ， 注意羊绒衫的日常养护 ， 一旦发现局部起球现象 ， 可用 剪子小心剪掉 ， 然后进行清洗、整烫 ， 不会影响穿着效果。内穿 时与其配套的外衣里子最好是光滑的 ， 不能太粗糙、坚硬 ， 口袋 内避免装硬物 ， 以免局部摩擦起球。外穿时应尽量避免与硬物的 摩擦 ， 比如 ： 袖子与桌面、背部与沙发等长时间的摩擦。穿着时 （上接第106页） 3.3 拔管 拔管法施工关键是要准确掌握起拔时间 ， 起拔时间过早 ， 混 凝土尚未达到一定强度 ， 出现接头孔缩孔和垮塌现象 ； 起拔时间 过晚 ， 接头管表面与混凝土的粘结力使摩擦力增大 ， 增加了起拔 难度 ， 甚至接头管被铸死拔不出来 ， 造成孔内事故。为了防止接 头孔缩孔、垮孔和铸死接头管现象发生 ， 采取如下技术措施 ： 1） 接头管起拔时间在管底部混凝土浇筑 20 小时后开始 ； 2）随着接 头管起拔 ， 及时向接头孔补充泥浆 ； 3）开浇时 ， 及时测量混凝土 的初凝时间和终凝时间 ， 以便指导起拔接头孔 ； 4）控制槽内混凝 土上升速度 ， 混凝土上升速度控制在 3m/h 范围内 ； 5）槽内混凝 土上升过程中 ， 经常向上微动接头管。 3.4 加强质量管理 控制导墙建造质量 ， 核算接头管起拔时导墙所需的支承力 ， 以免起拔过程中造成导墙变形或下沉 ； 严格控制端孔孔位及孔形 ， 孔位偏差不大于 3cm， 开孔不压向二期槽孔 ； 孔形偏差严格按规范 要求 ， 最好控制在 3‰以内。 端孔直径宜控制在 110cm 左右 ， 以利于接头管的下入。端孔 深度宜超过相邻副孔 0.2m， 以利于接头管的定位 ， 防止开浇时混 凝土的冲击使接头管移位偏离 ， 造成接头管底部出现反坡 ， 影响 二期槽孔的刷洗质量 ， 形成缺陷。端孔成孔过程中及成孔后进行 孔形检测 ， 孔斜超标及时修正 ， 避免卡管。接头管下设之前 ， 应 检查其圆度、直度 ， 底阀开关灵活 ， 否则进行处理。 起拔接头管时 ， 边拔管边向接头孔内注入泥浆 ， 以消除接头 管起拔时在接头管底部产生的真空负压导致混凝土产生缩变而坍 塌。 间也不宜过长 ，注意间歇 ，最好两件交替穿用 ，以免纤维疲劳。 洗涤时一般应为手洗或干洗。只有我们在选购时选用正规厂家的 优质产品 ， 穿着时有所讲究 ， 尽量避免起球 ， 才会穿出高贵 ， 穿 出舒心。 参考文献 [1]邓沁兰.纺织面料[M].北京：中国纺织出版社，2008，8. [2]姚穆.纺织材料学[M].北京：北京纺织出版社，2009，1. [3]刘刚涵.织物起毛起球的影响因素与测定[J].中国纤检， 2009(5)：20-21. [4]厉谦.低温染色对羊绒纤维强伸性能和染色牢度的影响 [J].西安工程科技学院学报，2008(10)，573-575. [5]余正凤，邵欣，杨晓君．不同纺纱系统的羊绒针织纱结构 与性能的研究[J].天津纺织工学院院报，2008(4)：6-10.
n 类似地 ， 利用 ∑ z = 1 − z , z < 1 . 令 z = r ]cos i + i sin i g ， 代入 n =1 ∞
z
可得
/r
n=1
3
n -1
cos ni =
3 cos i - r sin i , / r n -1 sin ni = 1 - 2r cos i + r 2 n = 1 1 - 2r cos i + r 2
1 , v2 = / 1 , v3 = / ]-1 gn -1 1 2 ] g2 n2 。 n=1 n n = 1 2n n=1
/
3
3
6 利用傅立叶级数求和
对于以 2r 为周期或以 2l 为周期的函数 f（x） ， 当 f（x）满足 一定的条件时 ，f（x）可以展开为付立叶级数 ， 或 3 a0 + / ]an cos nx + bn sin nx g = 1 6 f ] x + 0 g + f ] x - 0 g @ 2 2 n=1 其中 an,bn 为 f（x）的付立叶系数。 利用此结论 ， 可以求出一些和。 例 6 求和 s1 = 1 − + − + , s2 = 1 + − −
a
收 敛 ，由 于 级 数 ∑ nnx 的 每 一 项
n =1
∞
a
an nx
在 [0, +∞ ) 上 连 续 ，所 以
已
3
知
v1 =
r2 。 1 = ]2n - 1 g2 8 n=1
/
3
求
和
x → 0+
lim ∑
n =1
∞
∞ ∞ an a = ∑ lim n = ∑ an = s 。 n x n =1 x →0+ n x n =1
∞
;
x →0
n =1
an 。 nx
∞
1 + 1 + 1 + g + 1 = C + ln n + fn , 其中 C 为尤拉常数 ，且 2 3 n fn = 0 。 lim n"3
例 2 ：
v=
n 0, +∞ ) 上 一 致 解 ：由 阿 贝 尔 判 别 法 得 知 ，级 数 ∑ x 在 [ n =1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + + − = 1 − 5 6 6 11 5n − 4 5n + 1 5 5n + 1
1 1 由 于 lim sn = ， 所 以 级 数 收 敛 ， 其 和 是 ，即 n →∞ 5 5
1 = ∑ 5。 n =1 (5n − 4 )(5n + 1)
∞
∫
x
0
s (x )dx = ∑
1 2 n +1 x ∞ x 2 x = ∑ = x , x ∈ − 2, 2 n +1 2 2 n =0 2 2 − x2 n =0
∞
n
(
)
上式两边对 x 求导 ， 得 s (x ) =
n=0
续时 ， 则和函数在 I 上连续 ，∑ u (x ) 在 I 上可以逐项求积﹑逐项求
n =1 n
∞
导等 ， 利用这些性质可以求出一些级数的和或解决与求和相关的 问题。 求 lim 例5： 设级数 ∑ an = s 收敛 ， + ∑
∞ n =1
/ aq
3
n
=
3 3 3 r2 1 a ^ q 1 1 h ; / ]-1 gn -1 1 = ln 2; / 1 = r2 ; / = 2 8 1-q 6 n = 1 ]2n - 1 g2 n n=1 n n=1
(2 − x )
2+ x
2
2 2
, x ∈ − 2, 2 。
(
)
5 利用函数项级数的一致收敛性求和
当函数项级数 ∑ un (x ) 在区间 I 上一致收敛且每一项 un (x ) 都连
n =1 ∞
1
2 利用已知的级数的和 ， 求其它级数的和
利用级数的四则运算和代数运算 ， 将所求级数的和转化为已 知的常用的级数的和 ， 可以求出一部分级数的和。例如 ：
n
n
∞
∞
n
n =0
k =1
n →∞
以逐项求积 ， 逐项求导等 ， 利用这些性质可以求出一些级数的和。 例4： 求和 ∑
n =1 ∞
当极限存在且为 s 时 ， 则 ∑ un = s 。
n =1
∞
例1： 证明 ： 级数
1 1 1 1 + + ++ + 收敛 ， 并求其和。 1 ⋅ 6 6 ⋅11 11 ⋅16 (5n − 4 )(5n + 1)
∑z
n =1
∞
n
的收敛与发散 ， 可以借助于复数的欧拉公式与德莫弗公式 ，
eix = cos x + i sin x 与 (cos x + i sin x ) = cos nx + i sin nx
n
(2n − 1)
1
2
, s2 = ∑
n =1
∞ 1 1 , s3 = ∑ 4 . n2 n =1 n
z cos nx sin nx 1+ ∑ = ∑ + i∑ e z = ecos x cos sin x + iecos x sin sin x ，
n =1
n!
n =0
n!
n =1
n!
∞ cos nx sin nx = ecos x cos sin x, ∑ = ecos x sin sin x . 于是 ∑ n! n! n =0 n =1 ∞
3 2 2 2 a0 g= 1 + / ]a n + bn r 2 n=1
8 利用帕塞法尔等式求和
7 利用复数项级数求和
设 {zn }是一列复数 ， 与实数项级数类似地可以定义复数项级数 x g dx
∞
其中 an,bn 为 f（x）的傅立叶系数。 例 8. 求和 s1 = ∑
n =1 ∞
即 求一些实数项级数的和。 例7 求和
解： 分别作函数
r - ,-r 1 x 1 0 f1 ] x g = * 4 r ,0 # x r 1 ； 4 ] g r f2 x = x, - 1 x 1 r ；f3 ] x g =
∑
0 < r <1 .
cos nx ∞ sin nx n -1 n -1 ,∑ ； r cos ni , r sin ni . 其 中 n ! n =1 n ! n=1 n=1 n =0
n =1
∞
n =1
数 ∑ un 收敛时 ， 如何求和 ? 常用求和方法可总结成以下几类 ：
n =1
∞
1 利用级数收敛的定义求和
对于 ∑ un ， 先求出 sn = ∑ uk , n = 1, 2, ， 再求极限 lim sn = s 。
n =1 ∞
4 利用幂级数的性质求和
an x 在收敛区间 (− R, R ) 的和函数连续 ， 幂级数 ∑ an (x − x0 ) 或 ∑ 可 n =0
∞
/
3
/
3
x2 , - r 1 x 1 r
利用上述帕塞法尔等式 ， 可得 s1 =
∞ n =1
z 解： 考虑复数项级数 e = 1 + ∑
zn .令z n!
∞
= cos x + i sin x ， 有
n ∞ ∞
以上总结了无穷级数求和的几类方法 ， 利用本文所介绍的方 法， 一般能求出简单级数之和。
r2 , s r2 , s r4 . 2 = 3 = 8 6 90
r - ,-r 1 x 1 0 可得 解： 把函数 f] x g = * 4 r , 0 # x r 展开为傅立叶级数 ， 1 . 4 s1 = r , s2 = r , s3 = 3 r 4 3 6
设 f（x）为 5- r , r ? 上的可积函数 ， 且 f（x）的付立叶级数 在5- r , r ?上一致收敛于 f（x）. 则成立帕塞法尔等式
Basic Science 基础科学
探求无穷级数求和的几种常用方法
易 曲 咸宁职业技术学院 ， 湖北咸宁 437100 摘 要 本文从几方面探求高等数学中无穷级数求和的几种常用方法。 关 键 词 高等数学 ； 无穷级数 ； 求和 中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2011）35-0091-02 无穷级数求和是高等数学的一个重要组成部分 ， 它在函数的 表达﹑研究函数的性质﹑求函数值以及求解微分方程等都是非常 有用的 ， 而收敛级数的求和在级数中占有很重要的位置。 设 数 列 {un } ，称 ∑ un 是 无 穷 级 数 , 作 部 分 和 数 列 {sn }