单机无穷大算例系统说明1214

附录一算例系统Ⅰ
1.算例系统的数学模型
算例系统采用的是文献[1]第12章所使用的单机无穷大系统，图fl-1为其系统单线图。

系统基准频率是60Hz。

下面分别介绍潮流计算和发电机初始状态计算，全部计算基于标幺值。

︒
∠0
.
E~
图fl-1 单机无穷大系统单线图
1.1.潮流计算
已知发电机机端电压幅值为E t=1.0，无穷大母线电压ẼB=0.995∠0°，发电机有功出力P t=0.9，无功出力Q t=0.3。

设δ0为发电机机端电压相角，X∑为发电机端口到无穷大母线之间的电抗之和，则根据下列公式：
P t=E t E B
X∑
sinδ0
可得到
δ0=sin−1（P t X∑
E t E B ）=sin−1（0.9×0.65
1×0.995
）=36〫。

1.2.发电机初始状态计算：
发电机参数如下表所示：
表f-1 发电机参数表
由潮流结果可知，发电机定子电流
Ĩt=(P+jQ)∗
Ẽt∗
计算得Ĩt=0.9−j0.3
1∠−36〫
=0.949∠17.57°
设δq为发电机q轴相对于无穷大母线电压的角度，机端电压、电流与发
电机内电势的关系，如图fl -2所示。

t
I d
q
i d i q
t
E e d e q
t a
I R 'Q
E '
t
d j I x '
E q E q
E
d E '
图fl -2 同步电机的向量图
E Q 是发电机等值电路中一个虚拟的计算用的电势
E ̃Q =E ̃t +(R a +jX q )I
̃t 计算得
E ̃Q =1∠36〫+(0.003+j1.76)×0.949∠17.57〫=2.204∠81.94°。

也就是说δq =81.94°
机端电压E ̃t 的直轴分量和交轴分量：
e d =E t sin （δq −δe ）=1×sin (81.94°−36°)=0.718
e q=E t cos（δq−δe）=1×cos（81.94°−36°）=0.696
定子绕组出口电流Ĩt直轴分量和交轴分量
i d=I t sin(δq−δe+∅)=0.949sin(81.94°−36°+18.49°)=0.856
i q=I t cos(δq−δe+∅)=0.949cos(81.94°−36°+18.49°)=0.411
暂态电势的计算公式为
Ẽ′=Ẽt+(R a+j X d′)Ĩt
得Ẽ′=1∠36〫+(0.003+j0.3)×0.949∠17.57〫=1.125∠49.84°不计发电机的饱和效应，空载电势E q的计算
E q=E Q+I d(X d−X q)
得E q=2.204+0.856×（1.81−1.76）=2.2468
1.3.发电机动态模型
发电机转子运动方程
dΔωdt =
1
M
(T M−T e−K DΔω)
dδ
dt
=(ω−1)ω0
其中
T M------标幺机械转矩T e------标幺电气转矩
K D ------机械阻尼转矩系数 ω------转子角速度 P M ---原动机功率 P e ----电磁功率
δ--------转子相对于同步旋转参考轴的角位移，单位为电气弧度。

ω0-------同步转速，ω0=2πf 0=100π/秒
发电机经典模型
忽略暂态凸极效应，也就是X d ′=X q ′。

在暂态过程中，q 轴阻尼绕组与励磁绕
组磁链保持不变，于是E
̃′保持不变。

定子电压方程 E t =E d ′
−I(R a +jX d )
发电机三绕组模型
忽略定子的电磁暂态，而考虑发电机转子阻尼绕组作用的三绕组发电机模型，也就是考虑到了f 绕组、D 绕组、Q 绕组的电磁暂态和转子运动的机电暂态的发电机模型。

发电机定子电压方程[2]
u d =X q i q −R a i d u q =E q −X d i d −R a i q
转子f,D,Q 绕组电势方程分别如下：
T d0′dE q ′
dt
=E fq −[E q ′+I d (X d −X d ′)]
T d0”dE q”
dt
=−E q”−I d(X d′−X d”)+E q′+T d0”
dE q′
dt
T q0”dE d"
dt
=−E d"+I q(X q−X q")
其中
E q′------暂态电势
E fq------由励磁电压V f所决定的假想空载电势
E d"------直轴次暂态电势
E q"------交轴次暂态电势
2.算例系统的Matlab仿真模型
在Matlab环境中，从Simulink和SimPowerSystems中，选取所需元件模块，分别建立上述Ẽ′恒定的系统模型，其仿真模型如图f-1中所示。

主要可以分为以下几部分模块。

●同步发电机模块
●三相输电线路模块
●无穷大节点的电压源模块
●负荷模块
●故障模块
●测量模块
为了计算方便，取模型系统的额定功率S N=1MVA，额定线电压（有效值） V N=√3∗1000V。

这与文献[1]的第12章中单机无穷大系统的参数（额定功率S N=2220MVA,额定电压 V N=24kV）不同，但是两个系统的标幺值是一致的，故能够保证分析结果的一致性。

2.1 同步发电机模块
从SimPowerSystems的“SimPowerSystems-Machines-Synchronous”路径下，分别选取经典模型的发电机模块和三绕组模型的发电机模块，用于搭建Ẽ′恒定的系统模型。

经典发电机模型
经典发电机模型采用Simplified Synchronous Machine模块，如图fl-3所示。

图fl-3 Simplified Synchronous Machine模块
按照fl-1设置相关参数，如下图所示：
图fl-4经典发电机模型参数
阻尼系数(damping factor)设为0.1的原因是：图fl-1中的单机无穷大系统中的发电机没有阻尼，而Simulink仿真系统都是按照物理元件的实际情况进行设置的，现实中的发电机都是有阻尼的。

所以设置阻尼系数为0.1，既保证和图fl-1中的单机无穷大系统中的发电机近似，又能保证仿真模型能够在这个阻尼的作用下，一段时间后能够达到稳态。

其中“初始条件”(Initial condition)参数中的th(Ẽ′的角度)、i a、i b、i c(发电机出口电流)，详见1.2节的计算结果。

三绕组发电机模型
三绕组发电机模型采用Synchronous Machine模块，如图fl-5所示。

图fl-5 Synchronous Machine模块
其参数设置如下图所示：
图fl-6三绕组发电机模块参数
三绕组发电机模块参数和经典发电机模块参数类似。

2.2 三相输电线路模块
图fl-7 三相输电线路模块
仿真系统中的线路模型采用集中参数模型。

不计输电线路对地导纳和线路
电阻。

图fl-1中发电机端口到无穷大母线之间的电抗之和为
X∑=j0.5+j0.15=j0.65(pu)
则线路电感的有名值为
L=X∑×
(U N)2
S N
ω
=
j0.65×
(√3kV)2
1MVA
2π×60
=
j0.65×3
2π×60
(H)
模型参数设置如下图所示：
图fl-8 三相输电线路模块参数
2.3.无穷大系统的仿真
从SimPowerSystems的“SimPowerSystems-Electrical Source-Three Phase Source”路径下，选取一个三相电压源，将其视在功率设置为100MVA 远大于发电机的视在功率1MVA，故可以将其看做是一个无穷大电源。

其模型如下图所示。

图fl-9 电压源模块
其端口电压的有效值=0.995×V N=0.995×√3(kV)
x/R=10
三相电压源模块的参数设置如下图所示：
图fl-10 电压源模块
2.4.负荷模块
图fl-11 负荷模块
SimPowerSystems元件库中的电感元件（如三相输电线路或者是变压器）不
能和电流源或者是被认为是电流源的非线性元件（如发电机）直接相连，因此Matalab模型中在线路的两侧添加了负荷模块，以满足仿真环境的要求。

如果没有负荷模块1，仿真系统在启动仿真时会报错，所以要在发电机和输电线路之间安放一个负荷模块。

为了和fl-1中的单机无穷大系统在发电机和输电线路之间没有负荷模块，保证两者最大程度的近似，其有功功率(Active power)设置为一个很小的数值，这里取0.001MW。

图fl-12 负荷模块1的参数
图fl-13 负荷模块2的参数
2.5.故障模块
在发电机机端加三相短路故障模块，用于模拟发电机机端短路的情况。

图fl-13 短路故障模块
故障类型设置为三相短路故障，接地电阻取0.001。

)s，这里x是故障的持续设置故障起始时间200s，故障切除时间(200+x
60
)s。

通过更改x的值，就可以控制故的周波数，系统承受短路故障的时间为(x
60
障的大小。

图fl-14电路模块参数
2.6.测量模块
测量模块能够在模型系统仿真时，将各参量的实时数据曲线清晰直观的展现出来，并可以将数据反馈到Matlab中的Workspace中，供进一步分析或是绘制图表。

功率测量模块如下图所示。

图fl-15 功率测量模块
2.7.单机无穷大系统模型
组合前文中的各个模块，在Simulink仿真窗口中搭建图fl-1所示的单机无穷大模型。

采用经典发电机模块所搭仿真系统如下：
采用三绕组发电机模块所搭仿真系统和采用经典发电机模块所搭仿真系统相近，只是发电机模块不同。

2.8 模型的验证
为验证所搭的仿真系统是否准确，将仿真过程中各物理量的稳态值和1.2节计算得出的稳态值相对照。

0.949∠17.57°
表f-2 仿真稳态结果对照表
对照可知，无论是发电机经典模型系统还是发电机三绕组模型系统，各物理量稳态值与1.2节计算出的系统稳态值相近，且在容许的误差范围内，故可将。

准确性。

已知发电机机端电压幅值为E t=1.0，无穷大母线电压ẼB=0.995∠0°，发电机有功出力P t=0.9，无功出力Q t=0.3。

设δ0为发电机机端电压相角，X∑为发电机端口到无穷大母线之间的电抗之和，则根据下列公式：
P t=E t E B
X∑
sinδ0
可得到
δ0=sin−1（P t X∑
E t E B ）=sin−1（0.9×0.65
1×0.995
）=36〫。

3.算例系统仿真
在进行仿真前，要设置仿真时采用的步长算法。

由于模型是带有发电机的“刚性系统”，所以选择ode-23tb算法。

ode-23tb 算法是在龙格库塔的第一阶段使用梯形法，第二阶段用二阶的Backward Differentiation Formulas算法，比ode23t算法和ode15s算法精度高。

3.1不同扰动量情况下机电振荡变化
在发电机经典模型仿真系统中，在发电机机端施加三相短路故障，观察系统在不同的扰动量（通过控制故障持续时间x来实现）的条件下，系统机电振荡响应曲线：发电机功角δ曲线、转速ω曲线、输出电磁功率P e曲线的变化。

像图fl-17那样记录响应曲线前三个峰值点的数据，数据如表f-2所示。

图fl-17 扰动量为3个周波时的功角响应曲线表f-3 不同扰动量的条件下机电振荡响应曲线数据
整理得到的数据，得到扰动大小和振荡周期频率之间的关系如下表所示：表f-4 不同扰动量的条件下机电振荡响应曲线数据
分析表中数据可知：
系统所加扰动量不同的情况下，随着扰动量的不断加大，系统所遭受的冲击越大，相应的故障响应曲线峰值越大，振荡周期越长，非线性动态电力系统的初始运行点越远离系统的稳定运行点。

当扰动量增大到一定程度时，有可能超出系统的稳定运行域，导致系统失稳。

通过仿真发现当扰动量为6.5个周期时，系统失去稳定。

功角δ失稳转速ω失稳输出电磁功率P e失稳
图fl-16 扰动量为6.5个周波时系统失稳
3.2 相同扰动条件下频率响应的变化
研究机电振荡中发电机功角δ、转速ω、输出电磁功率P e的振荡周期的变化有利于我们分析系统中对于振荡期间对系统稳定性起主要所用的模式。

在三绕组发电机模型仿真系统中重复上述实验，扰动量x为6个周波时，仿真结果如下：
表f-5扰动量为6个周波时机电振荡响应曲线数据
对表中数据进行分析可知：
在系统所遭受到的扰动量相同时，由于系统中存在着正阻尼，随着时间的增加，使振荡能量不断的消耗，振荡幅值减小。

同时，由于系统非线性因素的影响，振荡周期也相应减小。

当扰动量为<6个周波的时间长度时，能够得到相同的结论。

这对于我们采用轨迹辨识的分析方法(比如Prony方法)，获取系统线性化的低阶模型，得到相应传递函数，并且据此进一步设计电力系统稳定器(PSS)提供帮助。

4.无穷大节点为电压源的建模
建立一个三相对称的无穷大电源，可以模拟电压的幅值、频率、相角层面的扰动。

这个无穷大电源子系统的ABC三相输出电压分别为：
V a=V0(1+∆V)sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ]×1000√2
V b=V0(1+∆V)sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ+4
3
π]×1000√2
V c =V0(1+∆V)sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ+2
3
π]×1000√2
其中
V0------单机无穷大电源节点的电压幅值。

∆V-----电压幅值扰动量∆V=C1eσsin(2πf·t+θ1·π
180
)
∆f------频率扰动量∆f=C2eσ·sin(2πf·t+θ2·π
180
)
∆θ-----相角扰动量∆θ=C3eσ·sin(2πf·t+θ3·π
180
)
σ为扰动的衰减因子，f为扰动频率，C
1、C
2、
C3分别为∆V、∆f、∆θ的扰
动初始幅值。

θ1、θ2、θ3是扰动量的初始相角，单位为角。

公式末尾乘以1000√2的目的是为了将标幺值换算成有名值。

基于上述含扰动的无穷大电源压源模型，在Matlab平台搭建的子系统如图fl-4所示。

图fl-4 含扰动的无穷大电源子系统下面分别介绍各个模块的功能。

●输入量模块：
左侧为参量输入模块，生成含10个参量的u向量
u=[V0，C1，C2，C3，θ
1，θ
2
，θ
3
，f，σ，t]
即
u[1]=V0，u[2]=C1，u[3]=C3…… u[10]= t
●Fcn模块
Fcn模块是函数表达式模块，可对输入量进行函数运算。

Fcn1模块的函数为：
u[1]*(1+u[2]*exp(u[9])*sin(2*pi*u[8]*u[10]+u[5]*pi/180))*1000*sqrt(2)
是对输入向量u的各个元素u[1]、u[2]、u[3]……u[10]进行函数计算的结果。

即Fcn1模块输出的是
V0(1+C1eσsin(2πf·t+θ
1·
π
180
))×1000√2
也就是
V0(1+∆V) ×1000√2
Fcn2模块的函数为：
2*pi*60*u[10]*(1+u[3]*exp(u[9])*sin(2*pi*u[8]*u[10]+u[6]*pi/180))即
2πf0·t·[1+C2eσ·sin(2πf·t+θ2·
π180
)]
也就是
2πf0(1+∆f)·t
Fcn3模块中的函数为
u[4]*exp(u[9])*sin(2*pi*u[8]*u[10]+u[7]*pi/180)即
C3eσ·sin(2πf·t+θ3·
π180
)
也就是∆θ 。

Fcn2和Fcn3输出的结果在进行求和运算（在sum模块中实现）后，在Fcn4、Fcn5、Fcn6中加入A、B、C各相的初相角并计算相应的正弦值。

即
Fcn4中进行的运算为sin(Fcn2中的参数+Fcn3中的参数)
Fcn5中进行的运算为sin(Fcn2中的参数+Fcn3中的参数+4
3
π)
Fcn6中进行的运算为sin(Fcn2中的参数+Fcn3中的参数+2
3
π)
也就是
Fcn4输出sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ]
Fcn5输出sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ+4
3
π]
Fcn6输出sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ+2
3
π]
Product1、Product2、Product3模块分别输出的就是最终反馈至Simulink主系统的V A、V B、V C的值。

Product1输出的结果=Fcn4输出的结果×Fcn1输出的结果
Product2输出的结果=Fcn5输出的结果×Fcn1输出的结果
Product3输出的结果=Fcn6输出的结果×Fcn1输出的结果
它们的具体表达式为：
V A=V0(1+∆V)sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ]
V B=V0(1+∆V)sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ+4 3π]
V C=V0(1+∆V)sin[2πf0(1+∆f)·t+∆θ+2 3π]
1.1.不同扰动量情况下机电振荡变化
在该模型中，改变无穷大系统内扰动源的扰动频率，观察系统机电振荡响应曲线：发电机功角δ曲线、转速ω曲线、输出电磁功率P e曲线的变化。

当C1=0.1时，δ、ω、P e稳态峰值如下图所示。

表f-5 δ、ω、P e峰值表
相角扰动量的幅值（C3=0.02）时，Δδ、Δω、ΔP e随扰动频率的变化如下图所示：
图fl-5 Δδ变化曲线
图fl-6 Δω变化曲线
图fl-7 ΔP e变化曲线当C1=0.05时，δ、ω、P e稳态峰值如下图所示。

表f-5 δ、ω、P e峰值表
无扰动在不同PSS情况下，系统的稳定情况表：
PSS系统的Bode图如下：
图fl-11系统的Bode图
KL=30、KI=40、KH=160时，系统的稳定性较好。

①只考虑KI、KH（也就是KL=0、KI=40、KH=160时），比同时考虑KL、KI、KH
（也就是KL=30、KI=40、KH=160时）的稳定性要高。

②当减小模型中FL、FI、FH参数时，曲线左移。

反之，右移。

参考文献
[1] PRABHA KUNDUR. 电力系统稳定与控制. 北京:中国电力出版社，2002
[2] 刘取.电力系统稳定性及发电机励磁控制. 北京:中国电力出版社，2007
[3] 西安交通大学等. 电力系统计算. 北京:中国电力出版社，1978
[4] 动态电力系统的理论和分析. 电力系统计算. 北京:中国电力出版社，1978
扰动量为6个周波时，δ、ω、P e的响应曲线
δ响应曲线ω响应曲线
P e响应曲线
扰动量为6个周波时，仿真结果如下：
扰动量为4个周波时，仿真结果如下：
扰动量为2个周波时，仿真结果如下：
发电机经典模型下的仿真
当扰动量为5或者5.5个周波时，电磁功率的波形发生严重畸变，出现了双峰现象，如图fl-4所示。

取图中的P max1、P max2、P min、P max1
′、P
max2
′5个点的数据进行分析。

图fl-4电磁功率波形畸变
t E
E'
t
I 图fl-3 系统暂态模型。