多点地震动时程人工合成

(21)
n
n
∑ ∑ 则 R ij =
<m i<m j Κm =
Κm <m i Κm <m j
m= 1
m= 1
n
∑ S ij ( iΞk ) =
S 0 (Ξk )
Κm <m i
Κ < e m m j iΞk (ti- tj )
m= 1
n
∑ R ijk (0) = 2∃ΞRe[
S 0 (Ξk ) Κm <m i Κ < e ] m m j iΞk (ti- tj )
算研究了迟滞相干矩阵特征对的变化规律, 提出了对其进行简化的方法, 用算例验证了简化计算的可行性。
关键词: 多点输入; 地震动时程; 振型分解
中图分类号: P 315
文献标识码: A
A rtific ia l G e ne ra tion of M u lti2po in t Ea rthq ua ke G round M o tion
m= 1
比较式 (12) 和式 (24) 可得:
(22) (23) (24)
a im = 2 S 0 (Ξk ) ∃ Ξ Κm <m i
(25)
代入式 (1) 得:
n N- 1
∑∑ ui (t) =
2<m i S 0 (Ξk) Κm ∃Ξco s (Ξk t+ Ξk ti+ Υm k) (26)
m = 1 k= 0
上述几种方法中, 方法①和方法②合成精度较 高, 但效率不高; 方法④和方法⑤效率较高, 但精度 不高; 方法③精度和效率都较好, 但只适用于相干函 数比较简单的情况。 本文基于平稳随机过程理论推
第 3 期
夏友柏, 等: 多点地震动时程人工合成
5 1
导出一种在任一频率点处的时程幅值与迟滞相干矩 阵特征值和特征向量有关的方法, 研究了相干矩阵 特征值和特征向量的变化规律, 提出了对其进行简 化的方法, 用算例验证了简化计算的可行性。
X IA Y ou 2ba i1, W A N G N ian2qiao1, YA N C hang 2shu2
(1. Engineering In stitu te of Engineering Co rp s, PLA U n iv. of Sci. & T ech. , N an jing 210007, Ch ina; 2. T he H eadqua rters of the PLA N avy, B eijing 100841, Ch ina)
一个确定的量, 只与参考点到 i 点的距离有关, Υm k 是
随机相位角, 当 m ≠r 或 k ≠s 时, Υm k 和 Υrs相互独立。
现在通过确定 a im (Ξk ) 的值使合成的时程满足给定 的谱密度矩阵。
第 i 点的时程 u i ( t) 的第 k 个窄频带信号 u ik ( t)
与第 j 点的时程 u j ( t) 的第 k 个窄频带信号 u jk ( t) 的 表达式为:
(12)
根据互功率谱与协方差的关系可得到:
R ijk (0) = 2∃ ΞR e [S ij ( iΞk ) ]
(13)
而 n 个点处地震动时程的互功率谱密度矩阵为:
S 11 (Ξ) S 12 ( iΞ) … S 1n ( iΞ)
S 21 ( iΞ) S 22 (Ξ) … S 2n ( iΞ)
S ( iΞ) =
第3卷 第3期 2002 年 6 月
解 放 军 理 工 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) Jou rna l of PLA U n iversity of Science and T echno logy
文章编号: 100923443 (2002) 0320050204
V o l. 3 N o. 3 J un. 2002
第 3 卷
Κ1
5 = [ <1, <2, …, <n ], 8 2=
Κ2 0
(19)
0ω
Κn 其中, Κ1≥Κ2≥…Κn, Κi 为特征值, <i 为规一化实特征
向量, 即:
{<i}T {<j } = ∆ij (∆ij 为 k ronecker delta) (20)
式 (18) 可写成: R = 5 8 25 T = 5 8 8 5 T
1 平稳地震动时程合成公式推导
将第 i 点的时程表示成如下形式:
n N- 1
∑∑ u i (t) =
a im (Ξk ) co s[ Ξk t + Ξk ti + Υm k ]
(1)
m = 1 k= 0
其中, a im (Ξk ) 是第 i 点时程在频率 Ξk 处的第 m 个分
量, ti 是地震波从某一参考点到达 i 点的时间, 它是
Υrk ) ] = 0
(10)
E
[
a
im a 2
j
r
co
s
(2Ξk
t
+
Ξk ti +
Υm k +
Ξk tj +
Υrk ) ] +
E
[
a
im a 2
j
r
co
s (Ξk
ti
+
Υm k -
Ξk tj -
Υrk ) ] =
a im a jm 2
co
s
(Ξk
ti
-
Ξk tj )
(11)
n
∑ R ijk (0) = E [
多点地震动时程人工合成
夏友柏1, 王年桥1, 鄢常舒2
(1. 解放军理工大学 工程兵工程学院, 江苏 南京 210007; 2. 解放军海军司令部, 北京 100841)
摘 要: 分析大跨度结构需要一种效率、精度都较高的多点地震动时程合成方法。基于平稳随机过程理论推
导了多点地震动时程合成公式, 每一频率点处的时程幅值与迟滞相干矩阵特征值和特征向量有关。用数值计
n
∑ u ik ( t) =
a im (Ξk ) co s (Ξk t + Ξk ti + Υm k ) (2)
m= 1
n
∑ u jk ( t) =
a j r (Ξk ) co s (Ξk t + Ξk tj + Υrk ) (3)
r= 1
它们的协方差为:
R ijk (0) = E [ u ik ( t) u jk ( t) ]
E [ aim (Ξk) co s (Ξk t+ Ξk ti+ Υm k) aj r (Ξk) co s (Ξk t+ Ξk tj + Υrk) ]=
E
[
a
im a 2
j
r co
s
(2Ξk
t+
Ξk ti+
Υm k +
Ξk tj +
Υrk )
]+
E
[
a
im a 2
j
r co
s
(Ξk
ti+
Υm k -
Ξk tj -
(14)
ω
S n1 ( iΞ) S n2 ( iΞ) … S nn (Ξ) 假定各支点处的点谱相同为 S 0 (Ξ) , 则式 (14) 可表
示为:
S ( iΞ) = S 0 (Ξ) [ e- iΞT ]3 R [ e- iΞT ]
(15)
其中: [ e- iΞT ]= d iag [ e- , iΞt1 e- , iΞt2 …, e- ] iΞtn
由式 (26) 得到的是某一点平稳地震动时程, 生成任
何一点的时程均考虑了与其它 (n - 1) 点的相关性,
另外, 它只需要对迟滞相干矩阵作振型分解, 不要进
行 Cho lesky 分解, 在每一频率点处只要求得到与互
谱密度矩阵相应的振幅, 而相位是预先给定的, 而
H ao 的方法中相位与分解值也是相关的。
(16)
1 Θ12 … Θ1n
Θ21 1 … Θ2n
R=
(17)
ω
Θn1 Θn2 … 1
Θij (i, j = 1, 2, …n) 为依赖于频率和空间距离的迟滞
相干函数, R 是一个实对称正定矩阵, ti 与式 (1) 中
含义相同, 将 R 作振型分解:
R5= 58
(18)
52
解 放 军 理 工 大 学 学 报 (自 然 科 学 版)
1 4Π2
(
2Π-
x)
- 2Π≤ x ≤ 0
(8) 0 < x ≤ 2Π
0 当 m ≠r 时:
x > 2Π
E
[
a im a j 2
r co
s
(2Ξk
t
+
Ξk ti +
Υm k +
Ξk tj +
Υrk ) ] =
0
(9)
E
[
a
im a 2
wenku.baidu.com
j
r
co
s
(Ξk
ti
+
Υm k -
当 m = r 时:
Ξk tj -
a im (Ξk ) co s (Ξk t+ Ξk ti+
m= 1
n
∑ Υm k )
a j r (Ξk ) co s (Ξk t+ Ξk tj + Υrk ) ]=
r= 1
∑n
m= 1
a
im a 2
jm
co
s
(
Ξk
ti
-
Ξk tj ) =
n
∑ R e [ m = 1 2 e a a im jm i(Ξk ti- Ξk tj ) ]
A bs tra c t: B a sed on the sta t iona ry random p rocess theo ry, a sim u la t ion m ethod fo r sp a t ia l co rrela t ive t im e h isto ries of m u lt i2po in t g round m o t ion is g iven. O n ly the m oda l decom po sit ion of the lagged coherency m a2 t rix is requ ired. W ith the num erica l study fo r the eigenva lues and eigenvecto rs of lagged coherency m a t rix, a sim p lified m ethod is p ropo sed. A n exam p le illu st ra tes the fea sib ility of the sim p lifica t ion. Ke y w o rds: m u lt i2po in t inp u t; ea rthquake g round m o t ion; m oda l decom po sit ion
收稿日期: 2001204226. 作者简介: 夏友柏 (1966- ) , 男, 博士生.
①是一致的。③R am adan [5, 6]等推导出了一种不需要 做 Cho lesky 分解的渐进合成方法, 通过调整求和项 的幅值来满足对互谱密度矩阵的要求, 得到了合成 公式中各系数的解析表达式, 合成效率大大提高。④ 用 A RM A 方法合成多点平稳地震动时程[7], 但它 的不足在于需要预先知道地震动的互协方差函数, 而对地震动而言, 通常给出的是自功率谱和相干函 数。⑤地震动随机场的投影展开法[8, 9], 任意选取N 个随机变量确定投影基, 只能保证选取点之间的相 关性符合预定值, 随机场变界法也只能保证在频率 Ξm 处选取点间的相关性得到保证, 而其余各频率各 间距点的相关性与给定的相关值不符, 地震动相干 函数不能精确满足。
(4)
将式 (2)、式 (3) 代入式 (4) 得到:
n
∑ R ijk (0) = E [ a im (Ξk ) co s (Ξk t + Ξk ti + m= 1
n
∑ Υm k ) a j r (Ξk ) co s (Ξk t + Ξk tj + Υrk ) ] (5) r= 1
式 (5) 中任一项的集合平均为:
多点输入的研究对象是平面尺寸较大的结构 物, 担负着重要的社会职能, 设计这些结构时一般要 采用直接积分法计算结构的反应。 由于台阵记录的 数据有限, 且结构物的平面尺寸多种多样, 现有的差 动台阵记录不可能满足多点输入抗震设计要求, 需 要有比较合理的多点地震动时程合成方法。
人工合成多点地震动时程, 不少学者做过研究, 比较有代表性的方法有: ①H ao [1 ] 和屈铁军[2, 3 ] 等将 地震动加速度谱密度矩阵做 Cho lesky 分解, 得到某 点地震动时程不同频率点处幅值和相位与加速度谱 密度矩阵分解值的关系, 通过对有正态分布随机相 位角的余弦函数双求和, 得到各点的地震动时程。② 将地震动场视为均值为零的空间时间随机场, 得到 用频率波数谱表示的合成公式[4], 其本质上与方法
图 2 对称正定矩阵特征值 F ig. 2 E igenva lues of symm etric and po sitive defin ite
m a trix
Υrk ) ]
(6)
将 Υm k + Υrk 和 Υm k - Υrk 看成两个随机变量, 它们的密
度函数分别为[1 ]:
0
x< 0
Υ1 (x ) =
1 4Π2
1 4Π2
(
4Π-
x)
0
0 ≤ x ≤ 2Π (7)
2Π< x ≤ 4Π
x > 4Π
0
x < - 2Π
Υ2 (x ) =
1 4Π2
(x
+
2Π)