复习：变力做功和摩擦力做功

一、学习目标：

1. 通过复习，掌握变力做功的求解方法。

2. 掌握摩擦力做功的基本特点，会求解摩擦力做功。

二、重点、难点：

重点：1. 变力做功的方法归纳。 2. 摩擦力做功的基本特点。

难点：滑动摩擦力做功和能量转化的特点。

一、变力做功的计算方法：

1. 用动能定理

动能定理表达式为W E k 外=∆，其中W 外是所有外力做功的代数和，△E k 是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理表达式就可以求出这个变力所做的功。 2. 用功能原理

系统内除重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于该系统机械能的增量。若在只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。 3. 利用W ＝Pt 求变力做功

这是一种等效代换的思想，用W ＝Pt 计算功时，必须满足变力的功率是一定的。 4. 转化为恒力做功 在某些情况下，通过等效变换可将变力做功转换成恒力做功，继而可以用W Fl =cos α求解。

5. 用平均值

当力的方向不变，而大小随位移做线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。 6. 微元法

对于变力做功，我们不能直接用公式θcos Fs W =进行计算，但是可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用W Fs =cos θ求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，其具有普

遍的适用性。在高中阶段主要用这种方法来解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功的问题。

二、摩擦力做功的特点：

1. 静摩擦力做功的特点：

A. 静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

B. 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。

C. 相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总是等于零。

2. 滑动摩擦力做功的特点：

如图所示，顶端粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为s，则滑动摩擦力F对木块做的功为W木=－F（d+s）①

由动能定理得木块的动能增量为ΔE k木=－F（d+s）②

滑动摩擦力对小车做的功为W车=Fs ③

同理，小车动能增量为ΔE k车=Fs ④

②④两式相加得ΔE k木+ΔE k车=－Fd ⑤

⑤式表明木块和小车所组成系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车位移的乘积，这部分能量转化为内能。

综上所述，滑动摩擦力做功有以下特点：

①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功。

②在一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于滑动摩擦力与物体相对位移的乘积。

③在相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的功总是负值，其绝对值恰等于滑动摩擦力与物体相对位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能。

知识点一：变力做功的计算

1. 应用动能定理求解变力做功

例. 如图所示，用同种材料制成的一个轨道，AB 段为

1

4

圆弧，半径为R ，水平放置的BC 段长为R ，一小物块质量为m ，与轨道间动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A 点由静止下滑

分析：物块由A 运动到B 的过程中共受三个力作用：重力G 、支持力N 、摩擦力f 。由于轨道是弯曲的，故支持力和摩擦力均为变力，但支持力时刻垂直于速度方向，因此支持力不做功，则该过程中只有重力和摩擦力做功。

解答：设物块在B 点时速度为v B ，A 点时速度为v A ，由动能定理知W E k 外=∆，其中

W W W E mv mv mv G f k B A B 外，=+=

-=∆121212

222

。 所以mgR W mv f B +=

12

12() 物块由B 点运动到C 点的过程中，重力和支持力不做功，仅有摩擦力做功，设为W f '。 由动能定理得W mv f B '()=-01222

又W mgR

f '()=-μ3

由（1）（2）（3）式可得W mgR mgR mgR f =-=--μμ()1 物块在AB 段克服摩擦力做了功f f W W -=''mgR )1(μ-=

解题后的思考：该题考查变力做功的求解，由于轨道面弯曲，所以摩擦力的大小、方向时刻发生变化，因此不能采用功的公式直接求解，而通过动能定理可以很方便的求解，在解题过程中要注意对物体所进行的受力分析，准确计算合力对物体做的功。

2. 用平均力等效代换变力，化变力为恒力

例. 如图所示，一个劲度系数为200N/m 的弹簧，下端连接一质量为2kg 的物体，上端连着跨过定滑轮的绳子的一端，在绳子的另一端施一竖直向下的力，自弹簧为原长开始缓慢竖

直向下拉20cm 的过程中，求拉力做了多少功？（g 取10m/s 2

）。

图2

分析：该题所给情境中，外力F 向下拉弹簧的过程为缓慢下拉，所以拉力始终等于弹簧的弹力，而弹力随着弹簧伸长量的改变而变化，故本题仍然属于考查变力做功的问题。

解答：自弹簧为原长开始缓慢竖直向下拉20cm 的过程可分为两个阶段。第一阶段是：当物体尚未离开地面时，拉力随着弹簧的伸长而线性地增大（F ＝kx ）。对于这种方向不变、大小均匀变化的变力做功问题，可用平均力（F ＝

F F min max

+2

）等效代换变力，然后利用

αcos Fs W =计算变力所做的功。

由于弹簧的最大伸长量为x mg

k

m 101==.，所以第一阶段拉力所做的功

W kx x J 1112021

2

200011=+==·××.

当拉力等于物重后，物体离开地面上升的过程中，拉力恒定不变，所以第二阶段拉力所

做的功

W F x mg x x J 22121002012==-=-=max ()(..)×× 故自弹簧为原长开始竖直下拉20cm 的过程中拉力所做的功

W W W J =+=123

解题后的思考：对于处理像弹簧这一类具有线性变化的力，我们可用其平均力的值作为恒力来替代变力做功的过程，用平均力（F ＝

F F min max

+2

）等效代换变力，然后利用

αcos Fs W =计算变力所做的功。

3. 微元求和法

例. 如图所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。

分析：在转盘转动一周的过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即力F 在每一瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 的方向都相同，因而在转盘转动一周的过程中，力F 做的功应等于