最大最小值-第十二讲最值问题学生版

第十二讲最值问题

一、 基础知识

我们常常会遇到各种各样的求最大值和最小值的问题，这类问题在许多情况下归结为求代数式或者函 数的最大值和最小值.这些问题涉及的知识面较广，解法也多种多样.

不等式和最大（小）值是密切相关的.例如，要证明某个参数p 的最小值是“，先证然后说明 p 可以取到“，则p 的最小值就是

有时候的最值问题需用一些特殊的技巧解决，而且涉及的知识较多，这就需要我们灵活地去处理. 在求解最值问题时，需要用到的基础知识有不等式、数与方程、两点间距离、垂线段、中心对称与轴 对称等.

常用的方法有不等式法、方程求解法、配方法、几何求解法、优选法等.

二、 名校真题回放与活题巧解

（一）配方法

配方法：主要针对一元二次函数 y = ax 2

+bx+c = a （x + —）2

+ 4uc ~h

~-

（a h 0）

2a 4a

b

4ac —b ，

所以顶点的坐标为（―,

）

2a 4a

顶点的纵坐标即为最值。

2 3 1 1

例2.若代数式-x 2+-y 2

+4x-3y + 17的最小值为m,另一代数式一孑F -§尸+ x-2y + 2的最大值为

那么\M-m\ = _______ ・

例3・（“希望杯”培训题）多项式M = 2u 2-Sab + 17b 2

-16a-4b + 1998f 求M 的最小值.

（二）不等式法 例4・（北京市中考模拟题）已知|x|

例1.（第12届希望杯试题）已知X, *2；为实数，且满足1

x+2y-z=6 x-y + 2z = 3^

那么x 2 + y 2 + z 2

的最小值是

例5.（“希望杯”培训题）已知“,C,是整数，b是正整数,且满足d + b = Gb + c = 〃,c + 〃= “,那么d+»c+d的最大值是（）・

A. -1

B. -5

C. 0

D. 1

例6.（北京市中考模拟题）已知a.b.c是三个非负数，且满足％ +乃+c=5,加+〃一& = 1•若

S = 3a+b-7c9求S的最大值与最小值的和.

例7・（“希望杯”培训题）不等边AABC的两条高分别为4和12,若第三边上的高也是整数，那么这条高最长可能是多少？

例8・（全国联赛培训题）已知函数y = x2-2x + 2,t

例9・（全国联赛培训题）x』,z是正实数，满足条件xyz（x + y + z） = i9求（兀+刃（丿+ 2）的最小值・

（三）其它方法

例10.（第四届“希望杯”竞赛题）五位数“氐心是9的倍数，其中赢/是4的倍数，求肪皿的最小值.

例11.（“希望杯”模拟题）如图37-3,在菱形ABCD^f ZDAB =120° ,点E平分点P在BD

匕且M + PC = 1,求AB的最大值. 勺------------

图37-3

例12. （2002年黄冈市竞赛题）如图37—4,是几个人出差从A城出发到〃城，沿途可能经过的城市见示意图，通过两城市所需时间标在两城市之间的连线上（单位：小时）.若这几个人租一辆小汽车，且汽车行驶的速度为80千米/小时，而汽车平均每行驶1千米所需的费用为1.2元，试指出这几个人从A城出发到达〃城最短的路线的走法（要有推理过程）,并求出所需的费用为多少？

图37-4

例13.（全国联赛培训题）求函数j = +的最大值，并求此时X的值，其中W］表示不超过“的最大整数.

例14.（全国联赛培训题）求最大的正整数〃，使+1994/1是一个完全平方数.

三.练习

1.（北京市中考模拟题）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从袋中摸出10个球，上面所有标出数字的和等于21,则小明摸出的球中，红球的个数最多是多少个？

2.（北京市中考模拟题）已知代数式卜_刈+卜_15|+卜_&_15|,其中0vRvl5,x的取值范围为: k

3.（北京市中考模拟题）已知为非负实数，且满足x + y + z = 30, 3x + j-z=50,求

u = 5x + 4y + 2z的最大值和最小值.

4.（1999年全国竞赛题）B船在A船的西偏北45°处，两船相距lOx/Ikm,若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船速度是A船的2倍，求A、B两船的最近距离.

5.（“希望杯”培训题）已知a.b.c.d是正数，满足4+方+c+〃=4.用M表示a+〃+c, a+b+d9

a+c+d , b+c+d中的最大者，求M的最小值.

四.难度系数

名校真题回放与活题巧解

练习