最近五年高考数学解析几何压轴题大全(含答案)

最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）

1.【2009年陕西卷】21．（本小题满分12分）

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

（I）求双曲线C的方程；

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别

位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

【答案】

21．（本小题满分14分）

已知双曲线C的方程为

离心率顶点到渐近线的距离为

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分

别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线

∴

由得∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由得P点的坐标为

将P点坐标代入化简得

设∠AOB

又

记

由

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值

∴△AOB面积的取值范围是

解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知

由{得A点的坐标为

由{得B点的坐标为

由得P点的坐标为

将P点坐标代入

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

=

以下同解答一.

2.【2010年陕西卷】20. （本小题满分13分）

如图，椭圆的顶点为，焦点为，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

【答案】

（Ⅰ）

由知，①

由知a=2c，②

又，③

由①②③解得，

故椭圆C的方程为

（Ⅱ）

设A，B两点的坐标分别为，

假设使成立的直线存在，

（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，

由与垂直相交于P点且||=1得

，即

∵，||=1，

∴

=

= 1+0+0-1=0,

即

将代入椭圆方程，得

由求根公式可得，④

⑤

=

=

将④，⑤代入上式并化简得

⑥将代入⑥并化简得，矛盾

即此时直线不存在

（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，当X=1时，A,B,P的坐标分别为，

∴，

∴

当x=-1时，同理可得，矛盾

即此时直线也不存在

综上可知，使成立的直线不存在

3.【2011年陕西卷】17．（本小题满分12分）

如图，设P是圆上的动点，点D 是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度

【答案】17．解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）由已知得

∵P在圆上，∴，即C的方程为

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，

设直线与C的交点为

将直线方程代入C的方程，得

即

∴∴线段AB的长度为

18．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。

4.【2012年陕西卷】19. （本小题满分12分）

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程.

5.【2013年陕西卷】20. (本小题满分13分)

已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 定点（1,0）

【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心C

(Ⅱ) 点B(－1,0),

.

直线PQ方程为：

所以，直线PQ过定点（1,0）