《幂函数》教学课件2
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幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
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00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
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2.3.1幂函数课件人教新课标2
1．记住幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题;
课后作业: 优化设计P97 基础巩固
谢谢大家的配合！ 再见!
(5) y=x-1
一、幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
(5) y 1 x
思指考数：函如数何判断一个幂函函数数 是幂函数还是指数函数？
答案（2）（5） 看未知数x是指数还是底数
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
α<0时图象不过原点且降落，
同时以两坐标轴为惭近线.
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
2
y=x-1
4
例1.已知幂函数f(x)=(a2+a-5) ·xa,
求a的值，并确定其奇偶性。
例2：利用单调性判断下列各值的大小。
y=x 2
2
(4,2)
1
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(1,1)
y=x-1
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题;
课后作业: 优化设计P97 基础巩固
谢谢大家的配合！ 再见!
(5) y=x-1
一、幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
(5) y 1 x
思指考数：函如数何判断一个幂函函数数 是幂函数还是指数函数？
答案（2）（5） 看未知数x是指数还是底数
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
α<0时图象不过原点且降落，
同时以两坐标轴为惭近线.
(-2,4)
4
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(-1,1)
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(-1,-1)
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-3
-4
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
2
y=x-1
4
例1.已知幂函数f(x)=(a2+a-5) ·xa,
求a的值，并确定其奇偶性。
例2：利用单调性判断下列各值的大小。
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
3.3幂函数课件(人教版)(2)
练习
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
3 3
3 3
(3)( )4 与( )2 .
2
4
3
4
解：(3)∵幂函数1 = 在(0, +∞)上是单调递增的，
3
又
2
>
3
3 3
1，∴( )4 >14
2
= 1.
3
2
又∵2 = 在(0, +∞)上是单调递增的，
3
且
4
<
3 3
1,∴( )2 <
4
3 3
3 3
例析
变1.已知幂函数() = (2 − 3) 在(0, +∞)上单调递增，则(2)等于（
1
.
4
. 4
1
.
3
解：∵() = (2 − 3) 为幂函数
∴2 − 3 = 1， = ±2.
又∵幂函数在(0, +∞)上单调递增
∴ = 2.即() = 2 .
∴(2) = 22 = 4 .
(4)幂函数比较大小的方法.
作业：
(1)整理课件题型；
(2)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题.
谢谢学习
Thank you for learning
(1) = ；(2) =
2 ；(3)
=
3 ；(4)
1
2
1
= = ；(5) = = −1 .
探索新知
活动2：视察5个情境中的函数解析式，它们有什么共同特征？
(1) = ；(2) =
2 ；(3)
=
3 ；(4)
1
2
= = ；
人教高中数学B版必修二 《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件
人教高中数学B版必修二 《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课 件
科 目：数学
适用版本：人教高中数学B版
适用范围：【教师教学】
4.4 幂函数
第一页，共三十一页。
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
了解幂函数的概念，会求幂函数 幂函数的概念
的解析式
数学抽象
结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，
(－∞，0)
R 上__增___
[0，＋∞) 上__增__
上__减__ [0，＋∞)
上_增__
__(1_，__1_)__
R上 _增___
(－∞，0) 上__减___
(0，＋∞) 上__减___第七页，共三十一页。判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x－45是幂函数．( √ ) (2)函数 y＝2－x 是幂函数．( × ) (3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( × )
值域
R [0，＋∞)
y＝x2 R
_(0_，__＋__∞__)
y＝x3 R R
y＝x－1
(_－__∞__，__0_)_∪_ (_0_，__＋__∞__) (－∞，0) ∪(0，＋∞)
第六页，共三十一页。
函数 性质
y＝x
1
y＝x2
y＝x2
y＝x3 y＝x－1
奇偶性
奇
非奇非偶 _偶___
__奇__
奇
单调性 公共点
第十二页，共三十一页。
(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝ 1”这一等量关系，导致解题受阻． (2)幂函数 y＝xα(α∈R)中，α 为常数，系数为 1，底数为单一的 x. 这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与 指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
科 目：数学
适用版本：人教高中数学B版
适用范围：【教师教学】
4.4 幂函数
第一页，共三十一页。
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
了解幂函数的概念，会求幂函数 幂函数的概念
的解析式
数学抽象
结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，
(－∞，0)
R 上__增___
[0，＋∞) 上__增__
上__减__ [0，＋∞)
上_增__
__(1_，__1_)__
R上 _增___
(－∞，0) 上__减___
(0，＋∞) 上__减___第七页，共三十一页。判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x－45是幂函数．( √ ) (2)函数 y＝2－x 是幂函数．( × ) (3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( × )
值域
R [0，＋∞)
y＝x2 R
_(0_，__＋__∞__)
y＝x3 R R
y＝x－1
(_－__∞__，__0_)_∪_ (_0_，__＋__∞__) (－∞，0) ∪(0，＋∞)
第六页，共三十一页。
函数 性质
y＝x
1
y＝x2
y＝x2
y＝x3 y＝x－1
奇偶性
奇
非奇非偶 _偶___
__奇__
奇
单调性 公共点
第十二页，共三十一页。
(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝ 1”这一等量关系，导致解题受阻． (2)幂函数 y＝xα(α∈R)中，α 为常数，系数为 1，底数为单一的 x. 这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与 指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
幂函数第二课时PPT教学课件
∵x2＞x1＞0,
∴x1+x2＞0,x2-x1＞0,(x1x2)2＞0,
∴f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2),
所20以20/1函2/1数0 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
14
(2)由(1)知函数f(x)在区间［1,3］上是减函数， 所以当x=1时，取最大值，最大值为f(1)=2, 当x=3时，取最小值，最小值为f(3)=1 0 .
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否
则无法比较大小.
2020/12/10
8
例3.判断下列各组数的大小 (1)5.1-2与5.09-2的大小关系是______. (2) ( 2)2 3， (10)2 3， 1.14 3的大小关系是______.
27
2020/12/10
9
2.(1)∵y=x-2在(0,+∞)上为减函数，
α为 指数
底
幂
数
值
2.思考幂函数y= x a 结合a的范围在第一象限的图象特征
2020/12/10
4
引导探究一
1.幂函数y=xα在第一象限的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.
y轴对称，求m的值，并画出它的图象． 2.函数f(x)=xn+ax-1(n∈Z,a＞0且a≠1)的图象必过定点( )
A.(1,1)
B.(1,2)
C.(-1,0)
D.(-1,1)
3.(2013·长沙高一检测)已知函数f(x)= +1.
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
15幂函数》课件2
y
思考并讨论 观察图象，说一说幂 函数有什么共同性质？ 1
y=x-2
y=x-1
O1 （1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数． （3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近．
0
x
y
y=x3
y
y=x-1
3 2x 0 或 x 1 3 2x
x 1 0 3 2x 0 x 1 3 2x
x 1 0 或 3 2 x 0
2 3 x 或x 1 解得： 3 2
2 3 x的取值范围是{x | x 或 x 1} 3 2
幂函数：底数是变量，指数是常数。 指数函数：指数是变量，底数是常数
例1 判断下列函数是否为幂函数？
y （x+1）× （4）y x （1）
4
0
√
×
1 （2）y 2 x
5 √ （ ）y x 1
2
3
（3）y x
× （6）y x 2 ×
注意： 一般一次函数,二次函数不是幂函数．
由图像可以看出，函数在区间(-,0]上是减函数， 在区间[0， )上是增函数.
练习：A。2
应用举例：
例3.比较下列各组数的大小：
解后反思
(1)1.3
1 2
> (2)0.26 _____0.27
1
____ .4 < 1
1 2
1
(3)0.7 _____ 0.7 >
练习：B。 1
1 2
2
两个数比 较大小时 ，何时用 幂函数模 型,何时用 指数函数 模型？
幂函数课件(2)
和
(
1
)
7 8
9
(3)
3 和 5 1.4
1.5
利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 当不能直接进行比较时, 可在两个数中间插入一个中间数, 间接比较上述两个数的大小
练习
1
1
(1) 1.53 和 1.7 3
2
(2)
(
2
)
2 3
和
(
)3
3
6
2
2
(3)
4.1 5
,
和
3.8
3
类型二 幂函数的图象、性质及应用
【典例】若
a－1
－1 3
3－2a
－1 3
,
则实数a的取值范围为(
)
A.－,1B.(4 , 3)
32
C.－,1 (4 , 3)D.(1, 3)
32
2
【解析】选C.考查幂函数 y x类－13，比y=x－1的单调性，可得：
若 －1 则－1有x<0<y，y<x<0或0<y<x三种情况.
x 3 y 3，
三、常见幂函数的性质
函数 性质
y=x
定义域 Ｒ
y=x2 Ｒ
1
y=x3 y x 2
Ｒ [0,+∞)
y=x-1 {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶Байду номын сангаас 奇
偶
奇
单调性 增 [0,+∞)增 增 (-∞,0]减
非奇非 偶
增
奇
(0,+∞)减 (-∞,0)减
定 点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
幂函数(优秀)ppt课件
1
y x2
0.5 0
0.13 0
0.5 1
0.13 1
x
0
1
y x2 0
0.5
1
2
3
4
0.71 1 1.41 1.73 2
1.5 3.38
6 2.45
y
y x3
1
-2 -1 o 1
x
-1
y
1 -1 o 1 2
-1
1
y x2
x
-2
-2
8
名称
yx
2、能利用幂函数的性质来解决一些实际问题
3、通过对情景的观察、思考、归纳、总结形成结 论，培养发现问题、解决问题的能力。
重点:
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
难点:
画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
2
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
y (yx13)
y=x
(＝1 1
y x2
1
O
1 ( y
(0
x10)
x
1
10
归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况：
y
1 ＝1
0 1
1
0
0
1
x
11
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1);
(2)＞０，在第一象限内递增；若＜
０，在第一象限内递减.
2只有形如的函数才叫做幂函数12122111211221描点法作图11定义域值域奇偶性单调性11111111奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数11在同一平面直角坐标系内作出幂函数11归纳幂函数图象在第一象限的分布情况
y x2
0.5 0
0.13 0
0.5 1
0.13 1
x
0
1
y x2 0
0.5
1
2
3
4
0.71 1 1.41 1.73 2
1.5 3.38
6 2.45
y
y x3
1
-2 -1 o 1
x
-1
y
1 -1 o 1 2
-1
1
y x2
x
-2
-2
8
名称
yx
2、能利用幂函数的性质来解决一些实际问题
3、通过对情景的观察、思考、归纳、总结形成结 论，培养发现问题、解决问题的能力。
重点:
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
难点:
画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
2
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
y (yx13)
y=x
(＝1 1
y x2
1
O
1 ( y
(0
x10)
x
1
10
归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况：
y
1 ＝1
0 1
1
0
0
1
x
11
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1);
(2)＞０，在第一象限内递增；若＜
０，在第一象限内递减.
2只有形如的函数才叫做幂函数12122111211221描点法作图11定义域值域奇偶性单调性11111111奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数11在同一平面直角坐标系内作出幂函数11归纳幂函数图象在第一象限的分布情况
新教材人教版高中数学必修第一册 3-3 幂函数 教学课件
v是t的函数； 【以上各个函数有什么共同的特征？】
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
第四页，共二十九页。
1 幂函数的概念
【1】在函数①
⑤
⑥
②
③
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
新教材人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第3章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
第一页，共二十九页。
01 幂函数的概念 02 幂函数的特征 03 幂函数的图像
04 幂函数的性质
05
幂函数奇偶性的判断方法
06 幂函数增减性的证明
比较大小用作差法.由的大小，比较自变量的大小.
第十六页，共二十九页。
5
第十七页，共二十九页。
5
奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
第十八页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
第十九页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
【例题】证明幂函数
，
，又
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
第四页，共二十九页。
1 幂函数的概念
【1】在函数①
⑤
⑥
②
③
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
新教材人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第3章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
第一页，共二十九页。
01 幂函数的概念 02 幂函数的特征 03 幂函数的图像
04 幂函数的性质
05
幂函数奇偶性的判断方法
06 幂函数增减性的证明
比较大小用作差法.由的大小，比较自变量的大小.
第十六页，共二十九页。
5
第十七页，共二十九页。
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奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
第十八页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
第十九页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
【例题】证明幂函数
，
，又
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
幂函数教学(共43张PPT)高一数学人教B版必修第二册
R
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
3.3 幂函数 课件(37张)
[教材提炼]
预习教材，思考问题
函数 f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝1x，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？
知识梳理 (1)一般地，函数__y_＝__x_α__叫做幂函数(power function)，其中 x 是自变量， α 是常数． (2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为 1； ③幂 xα 的系数为 1； ④只有 1 项．
若函数 f(x)＝(2m＋3)xm2－3 是幂函数，则 m 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：幂函数是形如 f(x)＝xα 的函数，所以 2m＋3＝1，∴m＝－1.
答案：A
探究二 幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象
[例 2] 幂函数 y＝x2，y＝x－1，y＝ 内的图象依次是图中的曲线( ) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
由题意得(a＋
.
∵y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， ∴a＋1＞3－2a＞0 或 0＞a＋1＞3－2a 或 a＋1＜0＜3－2a， 解得23＜a＜32或 a＜－1.
利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与 幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
[解析] y＝ ＝3 x2≥0，故只有 D 中的图象适合． [答案] D
3．如果一个函数 f(x)在其定义域内对任意 x，y 都满足 fx＋2 y≤12[f(x)＋f(y)]，则称这 个函数为下凸函数．下列函数：
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奇偶性 奇
偶
奇
单调性
增
[0,+∞)增 (-∞,0]减
增
非奇非 偶
增
奇
(0,+∞)减 (-∞,0)减
公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
(1,1)
探究：幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α＞０，
在区间[0,+∞)上是 增函数
如果a＜０， 在区间(0,+∞)上是 减函数
它们有以下共同特点： (1)都是函数； (2)指数为常数. (3)均是以自变量为底的幂；
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
注意: 幂函数中α可以为任意实数.
议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=ax
a
底数
名称
x
y
指数 幂值
小结
(1) 幂函数的定义；
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
1
(2)掌握幂函数 y x , y x2 , y x3 , y x1 , y x2
的图象和性质
(3) 利用幂函数的单调性判别幂函数值大小
幂函数: y= xa 指数 底数 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
1.判断下列函数是否为幂函数.
1
(1) y=x4 √
(4) y x 2 √
(2) y 1 x2
√
(5) y=3x2 x
(3) y= -x2 x
(6) y=x3-2 x
2.若幂函数y=f(x)的图象过点 (2, 2 ) ,则函
数的解析式为__y_____x___
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x， y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象.
打开几何画板
函数
性质 y=x 定义域 Ｒ
常见幂函数的性质
1
y=x2 y=x3 y x 2
y=x-1
Ｒ
Ｒ [0,+∞) x|xR且x 0
值域 Ｒ [0,+∞) Ｒ [0,+∞) y|yR且y 0
例 3.证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2
x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f (x1) f (x2),即幂函数f (x) x在[0,)上是增函数.
(3) 当α为奇数时， 幂函数为 奇函数 当α为偶数时， 幂函数为 偶函数；
例１ 比较下列各组数的大小:
(1)( )3和(-3)3
1
1
(2)3 2 和 3.1 2
(3) 31.4 和 51.5
注意:
•利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
•当不能直接进行比较时,可在两个数中间 插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小
练习:比较下列各组数的大小。
(1)
1
1.5 3
和
1
1.7 3
1
1
(2) 4.12 和 3.82
1
1
例2、若 (x 1) 2 (3 2x) 2 , 求x的范围．
1
解:考虑函数 y x 2 在[0,+∞)上为单调增函数
∴由条件有 x 1 0
3 2x 0
x 1＜3 2 x
解得： 1 x 2 3
我们先看下面几个具体问题： 想一想
(1)如果正方形的边长为a，
那么正方形的面积
这些函ห้องสมุดไป่ตู้有什么
S=a2，这里S是a的函数； 共同的特征？
(2) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
V=a3，这里V是a的函数；
(3) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方 形的边长
1
a S 2 ,这里a是S的函数；