第四章效用最大化和选择

U( X, Y)
X Y ,
1
s.t. PX X P YY I
X I P X ,Y I P Y S X PX X I SY P YX I
对所有可能的相对价格，预算份额不变的。 b) 线性支出系统 对每种商品消费者必须消费一个最小的购买量（ X 0 , Y0 ） ，广义的柯布 道格拉斯函数为： U ( X , Y ) ( X X 0 ) (Y Y0 ) , X X 0 , Y Y0 , 1 引入“剩余收入” （I*） ， I * I PX X 0 P Y Y0 可得： X ( PX X 0 I * ) PX
X


， 1, 0
K K 可以求出： S X PXK ( PXK P Y ) 1 1 P X P Y K K K SY P P Y ( P X Y)
1 1

PX P Y
K

K ( 1 )
一种商品份额的表达式只与相对价格比率 PX P Y 有关。这表明 CES 函数 的齐次特性。而且，相对价格的变动所引起的份额变动取决于参数 K 的值。
U Pi 0(i 1,..., n) X i X i
如果
U Pi 0 ，则有 X i 0 X i X i
因为 Pi
U X i


MU X i

，商品价格（ Pi ）超过它为消费者带来的边际价值
（
MU X i

）时，消费者对它的购买量将为零（ X i 0 ）
导致 Y 对 X 很小的替代， S X 却因 X 商品相对价格的上升而上升。
MU X i

说明： 消费者购买每一种商品的价格，实际上就是消费者对消费的最后一单 位商品所得到的效用的评价， 价格就是消费者愿意在所得到的最后一单位效用上 花费的货币。 3.4 角解（corner solution） 上述的一阶条件只有内部最大值，也就是每种商品都要有一定消费量才成 立。如果出现角解，那么这些条件要做些微小的变动。
Y
E1 E3 A E2
到给定效用。
X
数学表达：选择 X1 , X 2 ,..., X n 以取得下式的最小值 总支出= E P 1 X1 P 2 X 2 ... P n Xn 约束条件为： 效用= U 2 U ( X1 , X 2 ,..., X n ) 支出函数： 消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下，要达到 某一既定的效用水平所必需的最小支出，即： 最小支出= E ( P 1, P 2 ,..., P n ,U ) 支出函数与间接效用函数互为反函数。 举例说明： 重新回到汉堡包与饮料的模型上，消费者效用最大化的对偶问题是下 式的最小值： E PX X PY Y ，需要满足的条件是： 效用＝u X 0.5Y 0.5 。
可得：
Y 1 / 4 ，就是说： Y * 1, X * 4 ， U 2, 1 。 X
4 间接效用函数
* * 最大效用= U ( X1* , X 2 ,..., X n ) * * = U [ X1* ( P 1, P 2 ,..., P n , I ), X 2 ( P 1, P 2 ,..., P n , I ),..., X n ( P 1, P 2 ,..., P n , I )]
举例说明： ：假设一个人对汉堡包（Y）和饮料（X）的偏好可以用下列效用 函数来表达： 效用＝ XY X 0.5Y 0.5 ，假设汉堡包每个 1 美元（ PY 1 ） ，而饮料 每 份 0.25 美 元 （ PX 0. 25） ，消 费 者 仅 有 2 美 元可 供 消 费 （ I 2 ） ，即
U P 1 0 X 1 X 1 U P2 0 X 2 X 2
…
2
P 2 X .n . . nP X )
U Pn 0 X n X n
I P . Pn X n 0 1 X 1 P X 2 2 . .
上述条件只是效用最大化的必要条件，在拟凹（quasiconcave）的假设下， 上述条件是充要的。 3.2 一阶条件的含义
MRS ( X i forX j )
U X i Pi U X j Pj
为了得到最大的效用，消费者必须使自己心理上的交易比例与市场上交易 比例相等。 3.3 拉式乘数的解释
第四章 效用最大化和选择
这一章中，我们将考察经济学家用来解释个人消费行为的基本选择模型。 1 最优化原则 消费者为了在一定的收入限制之下得到最大的效用， 他首先必须将这些货币 收入全部用来购买商品，为了获得最大的效用，必须花掉所有的收入，因为额外 的商品可以得到额外的满足，也因为这些货币没有其他的用处（没有储蓄） ，所 以只要货币有任何剩余，就不可能使效用最大化。其次，这些商品在心理上的替 代比率（MRS）与这些商品在市场上的交换比率必须相等。由于市场上两种商 品的交换比率是由这两种商品的价格比率决定的，因此，也就是说消费者必须要 使购买商品的边际替代率和他们的价格比率两者相同。 2 两种商品的情况：图形分析 2.1 预算约束 设某人用 1 元来购买商品 X 和商品 Y，设 X 的价格为 Px ，Y 的价格为 Py ， 则消费者的预算约束为： Px X PyY I

U X n U X 1 U X 2 ... P P2 Pn 1
或
MU X1 P 1

MU X 2 P2
...
MU X n Pn
这个等式说明， 在最大效用点上，支出在每一单位商品上的货币所能得到的 边际效用是相等的。因而，每种商品的边际效用与边际成本之比相等。 效用最大化的必要条件最终可以写成： Pi
X*
拉格朗日方法，可以求得：
*
I 2 PX

I Y 2 PY
，将上述结果带入效用函数，可以得到：
最大效用= U (X * , Y * )= (X * )0.5 (Y * )0.5 I 0.5 I 0.5 ( ) ( ) 。 2 PX 2 PY I 2P P
0.5 0.5 X Y
5 对偶与效用最大化问题 效用最大化问题的对偶最小化问题是：如何分配收入，以便用最小的支出达
Y
U1 U2 U3
X X*
3 几种商品的情况：数值分析 3.1 一阶条件 当有 n 种商品可供选择时，消费者的目标是从 n 种商品中获得最大的效用： 效用= U ( X1 , X 2 ,..., X n ) 预算约束： I P 1 X1 P 2 X 2 ... P n Xn
U( X X , ) I ( 1 P X 1 , X 2 , . . .n 1
E E E * 0.5 * 0.5 ,Y * ， u ( X ) (Y ) 0.5 0.5 2 PX 2 PY 2 PX PY
0.5 0.5
即支出最小函数为： E 2uPX PY
6 效用函数与预算份额 只考虑两种商品 （X 与 Y） 的情况， 将 X 商品所占的份额 （ Px X I ） 作为 S x ， Y 商品所占的收入份额（ P Y Y I ）作为 SY 1 S X 。 a) 柯布-道格拉斯效用
0 ,K 0 S X SY 1 2
0 ，替代可能性大， K 0 ， S X 与 PX PY 反向移动， PX PY 上升导致
消费者用 Y 替代 X，从而引起了 S X 的下降。
0 ，替代可能性受限， K 0 ， S X 与 PX PY 同向移动， PX PY 上升会
* Y (P Y Y0 I ) P Y
从而可以得到： S X ( PX X 0 P Y Y0 ) I
SY ( P Y Y0 P X X0 ) I
一种商品的最小购买量与其预算份额正相关，而与其他商品最小购买量 负相关。 c) CES 效用
U( X, Y)
=V (P 1, P 2 ,..., P n, I) 在预算约束条件下， 消费者希望得到最大效用，但它所能得到的最大效用水 平将会间接取决于所购买商品的价格和消费者的收入。 举例说明： 假设一个人对汉堡包（Y）和饮料（X）的偏好可以用下列效用函数来表达： ，而饮料每份 0.25 美 效用＝ XY X 0.5Y 0.5 ，假设汉堡包每个 1 美元（ PY 1 ） 元（ PX 0.25 ） ，消费者仅有 2 美元可供消费（ I 2 ） ，即 1Y 0.25 X 2 ，根据
Y
Px X PyY I
X
2.2 最大化的一阶条件 通过图形中 A、B、C、D 四点说明， 预算限制线的斜率=
Px dY =无差异曲线的斜率= Py dX
=常量
U
或
Px dY ＝－ ＝常量＝MRS(X对Y) Py dX U
Y
B C A D
Px X PyY I
X
消费者选择 A 点的商品是不明智的，因为如果他花费掉剩余的货币，就会达到 更高的效用水平。B 点也是不明智的，因为如果重新安排这两种商品的比率，会 使效用更大。D 点虽然可以有更高的效用，但是消费者没有可能达到。 2.3 最大化的二阶条件 上述的相切原则只是获得最大效用的必要条件， 但如果我们假设无差异曲线 的边际替代率递减，那么相切的条件就成为最大化的充要条件。 2.4 角解 （corner solution） 在这一点上，市场上商品 X 与 Y 地交换比率要比消费者心理上的交换比率 （MRS）低。在现行的市场价格之下，消费者更愿意不断地用 Y 来换取 X。但 实际中，消费 Y 的数量不可能为负，也就是说 X 轴限制了消费者这个不断交换 的过程。
1Y 0.25 X 2 。建立拉格朗日表达式：
X 0.5Y 0.5 (2 Y 0.25 X ) 0.5 X 0.5Y 0.5 0.25 0
X 0.5 X 0.5Y 0.5 0 Y 2 Y 0.25 X 0
PX X PY Y ( u X 0.5Y 0.5 ) PX 0.5 X 0.5Y 0.5 0
X
这个问题的拉格朗日表达式为：
Y u X 0.5Y 0.5 0
整理可得： X
*
PY 0.5 X 0.5Y 0.5 0