中考复习之 等腰三角形

图20－2
第20讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC； (2)连结AO，通过H.L.证明△ADO≌△AEO，从而得到 ∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距离相 等，证明结论．
第20讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (A.A.S.)． ∴∠DCB＝∠EBC, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形．
第20讲┃ 归类示例
(2)点O在∠BAC的平分线上，连结AO. ∵△BDC≌△CEB，∴BD＝CE. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(H.L.)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O在∠BAC的平分线上．
第20讲┃ 归类示例
要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等， 而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相 等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性 质得两边相等．
定理
拓展
第20讲┃ 考点聚焦 考点3 等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
相等 等边三角形的各角都______，并且每一个 角都等于______ 60° 等边三角形是轴对称图形，有______条对 3 称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形
第20讲┃ 归类示例
(1)等角对等边注意要在同一个三角形中才成立；(2)等 腰三角形的“三线合一”通常需要在等腰三角形中通过作垂 线，然后利用“三线合一”得出所需要的结论．
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第20讲┃ 归类示例 ► 类型之二 等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定．
[2011· 扬州] 已知：如图20－2，锐角△ABC的两条高 BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
第20讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质； 3. 等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质.
第20讲┃ 归类示例
[2011· 襄阳] 如图20－1，点D、E在△ABC的边BC上， 连结AD、AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等 式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个 命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. (1)以上三个命题是真命题的为(直接作 答)________________ ； (2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证 明)．
第20讲┃ 考点聚焦
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 拓 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 展 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等 于一腰上的高
图20－1
第20讲┃ 归类示例
解：(1)①②⇒③；①③⇒②；②③⇒① (2)过A点作AM⊥BC，垂足为M，
证明①②⇒③， 因为AB＝AC，AM⊥BC，所以BM＝CM. 又因为AD＝AE，AM⊥BC，所以DM＝EM. 则BD＝EC；
第20讲┃ 归类示例
证明①③⇒②， 因为AB＝AC，AM⊥BC，所以BM＝CM. 而BD＝CE，所以DM＝EM，∠AMD＝∠AME， 所以△ADM≌△AEM，则AD＝AE； 证明 ②③⇒①， 因为AD＝AE，AM⊥BC，所以DM＝EM. 而BD＝EC，所以BM＝CM，所以△ABM≌ACM，则AB＝AC.
性质
判定
第20讲┃ 考点聚焦 考点4 线段的垂直平分线
定义 性质 判定 实质 构成 经过线段的中点与这条线段垂直的直线 叫做这条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离________ 相等 与一条线段两个端点距离相等的点，在 垂直平分线 这条线段的____________上 线段的垂直平分线可以看作到线段两个 端点____________的所有点的集合 距离相等
第20讲┃ 归类示例
[解析] 首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶 角与∠BAC是底角去分析．
如图(1)：AB＝AC， ∵AD⊥BC， 1 ∴BD＝CD＝ BC，∠ADB＝90°. 2 1 ∵AD＝ BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°， 2 即此时△ABC底角的度数为45°；
第20讲┃等腰三角形
第20讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
两边 有________相等的三角形是等腰三角形，相等的两 定义 边叫腰，第三边为底 轴对 等腰三角形是轴对称图形，有____ 1 称性 条对称轴 等腰三角形的两个底角相等(简称 定理 1 等边对等角 性质 为：________) 等腰三角形顶角的平分线、底边上 定理 2 的________和底边上的高互相重 中线 合，简称“三线合一”
第20讲┃ 考点聚焦 考点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等(简写成： 等角对等边 ____________) (1)一边上的高与这边上的中线重合的 三角形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角的平分 线重合的三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平 分线重合的三角形是等腰三角形
第20讲┃ 归类示例 ► 类型之三 等腰三角形的多解问题
命题角度： 1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分， 角有底角和顶角之分； 2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
[2012· 广安] 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D， 1 且AD＝ BC，则△ABC底角的度数为 2 A．45° B．75° C．45°或75° ( C ) D．60°