数列极限的求法

内容提要
数列极限可用N
ε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的各种性质及其不同求法,例如：唯一性、保号性、有界性、可加可乘性、保序性、迫敛性、极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Ｓtolt ｚ公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.
最后还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用,如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题．通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.
关键词
ε-定义;夹逼准则；Stｏltz公式；数列极限：数列极限的性质；
N
求数列极限的各种方法；数列极限的实际应用
目录
第一章数列极限的概念 (1)
1.1数列极限的概念 (1)
1.2常用定理公式 (2)
第二章收敛数列的性质 (4)
2.1唯一性 (4)
2.2有界性 (4)
２.3保号性 (4)
2.4保序性 (5)
2.5迫敛性 (5)
2.6可加、可乘性 (6)
第三章数列极限的求法 (7)
３．１极限定义求法...............................................................７3．2极限运算法则求法 (8)
３.３夹逼准则求法………………………………………………………1０
3.4单调有界求法 (11)
3.5函数极限法 (12)
3.6定积分定义求法 (13)
3．7Stoｌｔz公式法...............................................................1４3.8集合算术平均收敛公式法................................................１5 3．9级数法 (16)
3.1０其他方法…………………………………………………………1８
第四章数列极限在现实生活中的应用....................................２０4.１几何计算—计算面积...................................................２0 4.２求方程的数值解.. (21)
4.3 市场经营中的稳定性问题 (22)
4.3.1 零增长模型............................................................２2 4.3．2 不变增长模型 (23)
4．4购房按揭贷款分期偿还................................................２4 第五章结论 (26)
参考文献 (27)
第一章 数列极限的概念
在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义．这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类
数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.
如，我国古代数学家刘徽（公元３世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积n A 在n 无限增大(n →∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.
针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义:N ε-定义,A N -定义.
定义1（N ε-语言)：设{}n a 是个数列，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N ，使得当n N >时,都有n a a ε-<,则称a
是数列{}n a 的极限，或称{}n a 收敛于a ,记作lim
n n a a →+∞
=,或()n a a n →→+∞.这时,也称{}n a 的极限存在．
定义2(A N -语言):若0A >，存在正整数N ,使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞,
记作lim
n n a →+∞
=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限．
对于,-∞∞的定义类似,就详作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理．
定理1.2．１(数列极限的四则运算法则) 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有 ()()lim lim lim ,
lim lim lim .n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞
→∞
→∞
→∞
→∞→∞±=±⋅=⋅
若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠,则n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也是收敛数列,且有 lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞
→∞
⎛⎫
= ⎪⎝⎭. 定理1.2．２(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 定理 1.2.3(∞
Stolt ｚ公式） 设有数列{}n x ，{}n y ,其中{}n x 严格增，
且lim
n n x →+∞=+∞(注意:不必lim n n y →+∞
=+∞）.如果 1
1
lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）,
则 1
1
lim lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==- 定理１．2.３'（
St ｏltz 公式) 设{}n x 严格减,且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞
=．若
1
1
lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）,
则
1
1
lim
lim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞
→+∞--==-.
定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则 （1）12 (i)
n
n a a a a n
→∞
+++=， （2）若()01,2,...n a n >=
，则n a =. 定理１.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限,数列{}n c 满足：存在正数0N ,当0n N >时，有
n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛,且lim n n c a →∞
=. 定理１.2.６（归结原则）设f 在()0;U x δ'内有定义.()0
lim
x x
f x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ,极限
()lim n n f x →∞
都存在且相等.
第二章 收敛数列的性质
定理1.2.1（唯一性）收敛数列的极限值是唯一的。

(若数列{}n a 收敛,
则它只有一个极限。

)
证设设lim
n→∞＝ａ，又设lim
n→∞
=b
由定义,对于ε∀＞0,∃Ｎ1，N2使得
当n＞Ｎ１恒有︱a n-a︱＜1
2
ε;
当n＞N2恒有︱a n-b︱＜1
2
ε;
取N＝max｛N1,Ｎ2},则当n＞N时有
∣xｎ-ａ∣<1
2ε∣ｘn-ｂ∣<1
2
ε
即∣a－b∣≦︱aｎ-ａ︱+︱ａn-b︱<ε
由ε的任意性，a=b,故极限唯一
定理1.2.２(有界性）收敛的数列必有界。

证设lim
n→∞
=ａ，由定义，取ε=1,
则∃N，使得当ｎ>N时恒有︱aｎ-a︱＜1,
即有a-1<a n<ａ+1.
记Ｍ=max{︱a1︱，…︱a n︱，︱a-1︱，︱a+1︱},
则对一切自然数ｎ皆有︱ａn︱≤M,故{ ａn}有界。

推论:无界数列必定发散
注意：有界数列是数列收敛的必要条件
定理1.2．3(保号性)设{}n a是以a为极限的收敛数列,我们有（1）若a＞０，则对任意的á;a＞á＞０，存在N,使得当ｎ>Ｎ时,有a n＞á。

（2）若a＜0，则对任意的á；a<á<0，存在N，使得当n>Ｎ时，有ａn<á。

证(1）取ε=a-á＞0,根据极限的定义,知存在N，使得当n>N 时,有
a－ε＜a n＜a+ε，a n>a-(a-á）=á,n＞N
（２)证明类似,略
定理1.2．4（保序性）设数列{a n｝与{bｎ}收敛,若存在整数N0,使得
当ｎ＞N0时有aｎ≦b n,则lim
n→∞aｎ≦lim
n→∞
bｎ
证设lim
n→∞a n=a，lim
n→∞
ｂn=b;
若ａ＞ｂ，则对ε=1
2
(a-ｂ）＞0,
∃正整数N1，N2使得
当n＞N1恒有︱aｎ-a︱＜ε;即有ａn>a-ε＝1
2
（a+ｂ）;
当ｎ>N2恒有︱a n-b︱＜ε即有b n>b+ε=1
2
(ａ＋b）；
取Ｎ＝ｍax{ N0, N1, N2},当n＞N时
ａn>1
2
（a+b)>b n
与条件相矛盾
定理１.2.５(迫敛性）设三个数列{aｎ},{b n}与{ c n｝满足
（１）ａn≦cｎ≦ｂｎ（ｎ＝1,2,3…）
（2)lim
n→∞a n＝lim
n→∞
b n=a，
则{ c n }必为收敛列,且其极限也为ａ。

证任给ε>０,由题设（2)可知，存在（共同的）Ｎ,使得当n>N
时，有
︱ａn-a︱＜ε︱ｂｎ-a︱<ε
由此知,当n>Ｎ时,
a-ε＜a n ａ+ε＞ｂn
由（１）得
a-ε<c n＜a+εn>Ｎ。

这说明{ c n｝是收敛列，且极限为a
注意：(1)若条件(１)换作a n<ｃn＜b n（n＝1，2,3……）则结论任成立
(2）本定理既给出了判别数列收敛的方法;又提供了一个计算数列极限的方法。

定理1.2．6（可加性、可乘性、可除性)设数列{a n｝{b n}是收敛数列
且lim
n→∞ａn=Ａlim
n→∞
ｂn=B则
（１)lim
n→∞
（a n±b n）＝A±B (２)lim
n→∞
a n·
b n=A·B
（3)lim
n→∞
a n/ ｂn=A/B 期中B≠0
注意:ｂn为常数C时有lim
n→∞（aｎ±ﻩＣ）=A±C lim
n→∞
a n·Ｃ=ｃ
Ａ
第三章 数列极限的求法
３.1极限定义求法
在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面第一节ＴＨ２．4（几何算术平均收敛公式)的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子．
例3.１.１
n 0a >. 解:1
n =． 事实上,当1a =时，结论显然成立．现设1a >.记11n
a α=-，则0α>. 由 ()
11111n
n a n n a αα⎛⎫
=+≥+=+- ⎪⎝⎭
,
得 1
1
1n
a a n
--≤. (5)
任给0ε>，由(5）式可见，当1
a n N ε
->
=时，就有1
1n a ε-<.即11n
a ε-<．所
以1
n =.
对于01a <<的情况，因11a >,由上述结论知1n =，故 1
1
1
n n ===. 综合得0a >时，1
n =. 例3.１.2 定理１．2.4(1)式证明.
证明:由lim n n a a →∞=,则0ε∀>，存在10N >,使当1n N >时，有 /2n a a ε-<， 则
()
111211 (1)
......n N N n a a a a a a a a a a a a n n
++++-≤-++-+-++-． 令1
1...N c a a a a =-++-，那么
121 (2)
n a a a n N c a n n n ε
+++--≤+⋅． 由lim
0n c
n
→∞
=，知存在20N >，使当2n N >时,有2
c n
ε
<． 再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知
121 (2222)
n a a a n N a n n εεεε
ε+++--≤+⋅<+=． 所以 12...lim n
n a a a a n
→∞
+++=. 例 3．1.3 求7lim !
n
n n →∞．
解:7lim 0!
n
n n →∞=. 事实上，7777777777771
......
!127817!6!n n n n n n
=⋅⋅⋅≤⋅=⋅-. 即77710!6!n n n
-≤⋅.
对0ε∀>,存在7716!N ε⎡⎤
=⋅⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,便有
7771
0!6!n n n
ε-≤⋅<，
所以7lim 0!n n n →∞=. 注:上述例题中的７可用c 替换,即()lim 00!
n
n c c n →∞=>. 3. 2极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话,计算量会太大．若已知某些极限的大小，用定理１.2．１就可以简化数列极限的求法．
例３.2.1求1110
1110
...lim ...m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.
解:分子分母同乘k n -,所求极限式化为
1111011110...lim ...m k m k k k
m m k k n k k a n a n a n a n b b n b n b n
---------→∞-++++++++. 由()lim 00n n αα-→∞
=>，知， 当m k =时，所求极限等于
m
m
a b ;当m k <时,由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述,得到
1
1101110,...lim ....0,m
m
m m m m k k n k k a k m
a n a n a n a
b b n b n b n b k m
---→∞-⎧=++++⎪=⎨++++⎪>⎩
例3.2.2lim 1
n n n a a →∞+,其中1a ≠-. 解： 若1a =，则显然有1
lim 12
n n n a a →∞=+； 若1a <,则由lim
0n n a →∞
=得
()
lim lim /lim 101n
n n n n n n a a a a →∞→∞→∞
=+=+; 若1a >,则
11
lim lim 11110
1n n n n n a a a
→∞→∞===+++. 3. 3夹逼准则求法
定理1.2.5又称迫敛性,它不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求极限的工具．
例3．3.１求极限()
()
1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅. 解：因为
21n n =>=
-=所以 ()(
)13210242n n ⋅⋅⋅⋅-<<=
⋅⋅⋅⋅
. 因 lim
0n =，再由迫敛性知 ()
()
1321lim
0242n n n →∞
⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅.
例3.3.２求数列的极限
.
解: 记1n n a h ==+,这里()01n h n >>,则 ()()2
112
n n
n n n n h h -=+>
,
由上式得
)
01
n
h n
<<>，从而有
111
n n
a h
≤=+≤，
（2）
数列1⎧⎪⎨
⎪⎩是收敛于１的,因对任给的0
ε>，取
2
2
1
N
ε
=+，则当
n N >
时有11ε
+<.于是，不等式（2)的左右两边的极限皆为1,
故由迫敛性得
1
n
=.
例3.3.3设1
a>及*
k N
∈，求lim
k
n
n
n
a
→∞
.
解:lim0
k
n
n
n
a
→∞
=．
事实上,先令1
k=,把a写作1η+,其中0
η>．我们有
()()()2
2
2
11
11...
2
n
n
n n n
n n
a n
n
η
ηηη
<==<
--
++++
.
由于
()
()
2
2
lim02
1
n
n
nη
→∞
=≥
-
，可见
n
n
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是无穷小．据等式
()1/
k
k
n
n k
n n
a a
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎝⎭
, 注意到1/1
k
a>，由方才所述的结果
()1/n k
n
a
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
是无穷小.最后的等式表明，
k
n
n
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
可表为有限个(k个)无穷小的乘积，所以也是无穷小,即
lim0
k
n
n
n
a
→∞
=.
3.4单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限,此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.
例3.４.1 求例2.１．3注解中的()lim 00!n
n c c n →∞=>. 解：()lim 00!
n
n c c n →∞=>. 事实上,令*!
n
n c x n N n =∈，．当n c ≥时,
()
11n n
n c
x x x n +=≤+. 因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界０.因此,由单调有界原理知极限lim n n x x →∞
=存在,在等式()
11n n
c
x x n +=+的等号两边令n →∞,得到00x x =⋅=，所以{}n x 为无穷小.从而
()lim 00!
n
n c c n →∞=>．
例3.4.2求极限n n 个根号）.
解：设1n a =>，
又由
13a =<,设3n a <,则13n a +=<=． 因
1n n a a +=>,故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛.
令lim 13
n n a a a →∞
=≤≤，，由1n a += 对两边求极限得a =故3a =．
3.5函数极限法
有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.
例3.5.１用函数极限法求例2.1.１,
即求n 解
：先求x
ln ln lim
1/0lim lim 1x a
a x
x
x x x x a e e
e →∞→∞→∞
=====,
再由归结原则知1n =． 例３．5.2用函数极限求例2.３.2,
即求n . 解:
先求x
．因ln ln lim
0lim 1x x
x x
x x x e e
e →∞→∞
====，
再由归结原则知1n =. 例3．5.3用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*
k N ∈，求lim k n n n
a
→∞．
解:先求lim k
x x x a
→∞.因()1!
lim lim .....lim 0ln ln k k k x x x x x x x kx k a a a a a -→∞→∞→∞
====（由洛比达法则），再由归结原则知lim 0k
n
n n a →∞=． 3.6定积分定义法
通项中含有!n 的数列极限,由于!n 的特殊性,直接求非常困难,若转化成定积分来求就相对容易多了. 例３.6.1
求lim
n n
→∞
. 解
：令y =则11ln ln n i i
y n n
==∑.而
()++110001
1lim ln lim ln ln lim ln lim 1ln 1n n n i i
y xdx xdx n n εεεεεε→∞→∞→→=====---=-⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰,
也即ln lim 1n y →∞
=-,
所以1lim n n y e -→∞→∞
==. 例3.6.２求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪
++⎝
⎭． 解:因为
22sin
sin
...sin sin sin
sin ...11112n n n n n n n n n
π
πππππ+++<
+++++++
2sin sin ...sin 1n n n n
πππ
+++<+ ,
2sin sin
...sin 12lim lim sin sin ...sin 111
2lim sin sin ...sin n n n n n
n n n n n n n n n ππ
πππππππππππ→∞
→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++ ⎪⎢⎥
++⎝
⎭⎣⎦⎡⎤
⎛⎫=
+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
1
2
sin xdx π
π
π
==
⎰
,
类似地
2sin
sin
...sin lim
1n n
n n n
π
π
π→∞
++++ 22122
lim sin sin ...sin 1n n n n n n ππππππ→∞⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++= ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎣⎦, 由夹逼准则知
2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ
→∞⎛⎫
⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝
⎭ .
注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 3.7 Stolt ｚ公式法 Sto ｌｔｚ公式，1
1
lim
lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞
→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1
n
n k k y a ==∑时特别有效.
例３.７.1同例2.1.2,定理1.2.4(1)式证明．
证明：前面用N ε-定义法证明,现用Sto ｌtz 公式证明. 令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Ｓtolt ｚ公式得到
()()()
1212121 (i)
......lim 1n
n n n n a a a n
a a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--
lim
lim 1n
n n n a a a →∞
→∞
===. 例3.7．2求1
12...lim k k k
k n n n +→+∞+++. 解： ()
11112...lim lim 1k k k k
k k k n n n n n n n +++→+∞→+∞+++=-- （Ｓt ｏltz 公式) =()
1
1211
1
lim ...1k
k k k n k k n C n C n
+-→+∞++-+-- （二项式定
理）
＝
1
1
11
1k C k +=+. ３.8几何算术平均收敛公式法
上面我们用St ｏltz 公式已得出定理１．2．4,下面我们通过例
*n
，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法.
例3.8.1同例2．1.1
一样求n 0a >． 解:令123,...1n a a a a a =====,由定理１．2．4（2)知
lim 1n n n a →∞
==. 例3.8.2同例2．３.2
一样求lim n ． 解:令()112,3, (1)
n n
a a n n ==
=-，，由定理1．2.4（２)知
lim lim 11
n n n n n a n →∞→∞===-. 例3.8.3同例2.6.1
相似求n . 解：令()111n
n
n n
n a n n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，则 ()123
12231234123n
n n n a a a n +⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
＝
()()11!
!n
n
n n
n n n n n n
++=⋅. 所以
1n n +=，
1n
n =+,而由定理1.２.4(２）知
1lim lim 1n
n n n n a e n →∞→∞⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭
. 故
lim 11n n n n n e e n n →∞==⋅=++. 例3.８.4
求1...lim n n
→∞.
解:
令()1,2,3...n a n ==,则由定理1.２．4（1)知
lim 1n n n n a →∞→∞===． ３．9级数法
若一个级数收敛，其通项趋于0(0n →),我们可以应用级数的一些性质来求数列极限,我们来看两个实例来领会其数学思想.
例３.9.１用级数法求例2.1.3注()lim 0!
n
n c c n →∞>． 解：考虑级数!n
c n ∑,由正项级数的比式判别法,因
()1lim /lim 011!!1
n n n n c c c
n n n +→∞→∞==<++， 故级数!
n
c n ∑收敛,从而()lim 00!n n c c n →∞=>. 例3.9.2用级数法求例2．3.3,即设1a >及*
k N ∈，求lim k
n n n a
→∞.
解：考虑正项级数k
n n a ∑，由正项级数的比式判别法,因
()1
1111lim /lim 1k
k
k n n n n n n n a
a a n a +→∞
→∞++⎛⎫=⋅=< ⎪⎝⎭
, 故正项级数k
n n a
∑收敛，所以lim 0k n n n a →∞=. 例３.9.3求极限()()222
111lim ...12n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
. 解: 因级数21
1
n n ∞
=∑
收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε∀>，存在0N >, 使得当n N >时，
21221111
n
n k k k k
ε-==-<∑∑，
此即
()()
222
111
...12n n n ε+++<+， 所以
()()222
111lim ...012n n n n →∞⎡⎤
+++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦． 例３.9.４求极限()21
2lim ...1n n n a a
a a →∞
⎛
⎫+++> ⎪⎝⎭
. 解:令1
x a
=,所以1x <.考虑级数
1
n
n nx
∞
=∑,
因为()1
11lim lim
1n n n n n n
n x a
x a nx ++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.
令 ()1n
n s x nx ∞
==∑，则()1
1
n n s x x nx
∞
-==⋅∑．再令()11
n n f x nx ∞
-==∑,
()1
1
1
1x
x
n n n n x
f t dt nt
dt x x
∞
∞
-=====
-∑∑⎰
⎰. 所以
()()
2
111x f x x x '
⎛⎫== ⎪-⎝⎭-． 而 ()()()
()
1
2
2
111x
a s x x f x x a --=⋅==
--，
所以
()()
12
2112
lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-⎛⎫
+++== ⎪⎝
⎭-. 3．10其它方法
除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同
的方法,我们可以再看几个例子. 例3.1０.１
求(2limsin n →∞
.
解:对于这个数列极限可用三角函数的周期性．
(
()
22limsin limsin n n n π→∞→∞
=
＝22
lim
sin lim sin n n →∞
→∞
=
=2
sin 12
π
=．
例3．1０.２设2
1101222
n
n a c c c a a +<<==+，，,
证明:{}n a 收敛,并求其极限.
解:对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明
()0,1,2...n a c n <<=． 事实上,102
c a c <=<.假设01n a c <<<，
则2
210222222
n n a c c c c c
a c +<=+<+<+=.
令()2
22
c x f x =+,则()f x x '=.
()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=⋅-
=11n n n n a a c a a ξ--⋅-<-, (1)
其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<，再由(1）式知{}n a 为压缩数列,
故收敛.设lim n n a l →∞
=，则2
c l c ≤≤. 由于
2
122
n
n a c a +=+，
所以
22
,2022
c l l l l c =+-+=.
解得1l =(舍去)
，1l =-
综上知lim 1n n a →∞
=注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.
第四章 数列极限在现实生活中的应用
4．1几何应用－计算面积
在论文开始时，我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积，现在我们再来介绍如何求抛物线2x y =与两直线0y =和1x =所围的面积.
先将区间[]0,1等分为n 个小区间11210,,...,1n n n n n
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
，，，
,以这些小区间为底边,分别以2
2
2
1210...n n n n -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，，，，为高,作n 个小矩形． 这n 个小矩形的面积之和是
()2
2
3111111n
n
n i i i A i n n n ==-⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭
∑∑ =()()12331121116
n i n n n i n n -=--⋅=∑ ＝1111323n n ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
．
这样我们就定义一个数列{}n A ，对每个n A 而言,它都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会大于长为1，宽为1n
的矩形面积,即1n
,所以,当n 越来越大时,n A 将越来越接近于欲求的“面积”,因此,我们可以定义此面积为
1lim
3
n n A →∞
=.
这种定义面积并求面积的方法简单又朴素,它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学. 4.2求方程的数值解
.
220x -=的正根，所以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.
把问题提得更一般一些.设0a >
似值.
00x >，在两个正数00
,
a
x x 中，一定有一个大
除非0x
有理由指望这两个数的算术
平均值10012a x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.事实
上
(
(2
2
1000000
11120222a x x x a x x x x x ⎛⎫=+=
+-=≥ ⎪⎝⎭.
这表明：不论初值0x 如何，得出的第一次近似值1x 是过剩近似值.不妨设初值0x 本身就是过剩近似值,
因此000x x >>.由此得出
(
(010001
1022
x x x x x ≤=
≤. 这个不等式告诉我们:第一次近似值1x
0x
到
.
重复施行上述的步骤，便产生数列01...,...n x x x ，，
，，其中 *
11
12n n n a x x n N x
--⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
，， 由
(
(
(1202111
0 (222)
n n n n x x x x --≤≤
≤≤≤,
可见lim
n n x →∞
=对于充分大的n ,数n x
. 让我们看看实际应用起来有多方便,
值．取初值02x =（这是相当粗糙的近似值）,反复迭代的结果是
012345 2.0, 1.5, 1.41661.41425661.414213561.41421356x x x x x x ===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，
，，，
这已是相当精确的近似值. 4.3市场经营中的稳定性问题
投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为,减少非理性投资,我们需要对股票的内在价值(即未来收入现金流的现值)有较清晰的认识,从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择．现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值．
假定股利增长率为０,因其内在价值如下
()()
()12
2112......1111t t t t
i t t D D D D V i i i i ∞
==++++=++++∑ . (1)
(V -内在价值,D -股息(红利),i -贴现率), 现由假定知 1212......t n D D D D i i i i ========，， 所以此时股票内在价值为
()()
()21......1+1+1+1+t t
t D D D D
V i i i i ∞
==++++=∑ =1111lim 111t
t D i i D i i
→∞⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-+． （2) 知道股票的内在价值后，可求出其净现值()NPV ,即内在价值减去市场价格,也即:
NVP V P =-．
当0NVP >，该股票被低估，可买入;当0NVP <，被高估,不益购买. 例:某公司在未来无限期支付每股股利为8元，现价65元,必要收益率１0%,评价该股票.
解：利用(2）式结论可求得该股票的内在价值为: 8
80806515010%
D V NVP V P i =
===-=-=>，. 故该股票被低估,可以购买.
假定股利永远按不变增长率()g 增长,即 ()()101...1t
t t D D g D g -=+==+,
代入(1）式得此时内在价值为
()
()
()
()()000
11
1
1111111lim 11+1+11t
t
t
t
t
t t t t D g g i i D g D g D D V g
i g i g
i i i
∞
∞
→∞==⎛⎫++⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭
++⎝⎭=====+---+∑
∑
.(3） 例：去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长，假设必要收益率为1１%,当每股股票价格为40元，评价该股票.
解:利用(３)式的结论，由于()1 1.8015% 1.89D =⨯+=，可知
股票内在价值 ()
1.8015%31.5011%5%
V ⨯+=
=-,故
31.50400NVP V P =-=-<， 该股票被高估,建议出售. ４.4购房按揭贷款分期偿还
消费贷款的还款(即按揭）大多为年金方式，故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.
设P 表示总的房款金额，k 表示首次付款比例,i 表示年利率，n 表示分期付款(贷款）的总年数,R 表示每月底的还款金额，则有如下的价值方程
()()12112n k P Ra -=，
进一步有 ()()
()()1212111212n
n
k P k i P R ia a --== . (4) 其中 2
1...n
n
n i n v a a v v v i
-==+++=．
上述是针对有限期限付清的情况,如果考虑永久期末年金：在每个付款期末付款1m
上货币单位,直至永远.若将该年金的现值记为()m a ∞，则有计算公式 ()
()()12
11
...lim m m m m m n n a v v a m i ∞
→∞
⎛⎫=++== ⎪⎝⎭. 代入（4)式即可.
通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额．
第五章结论
通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石，是微积分学的基础，可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础，灵活巧妙的应用它，也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以，国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断，同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决,去突破．
参考文献
1. 《数学分析题解精粹（第二版)》/钱吉林等主编—崇文书局,2009.
2. 《数学分析教程(上册）》/常庚哲，史济怀编—高等教育出版社,20０
3.
3. 《数学分析（上册第三版）》／华东师范大学数学系编—高等教育出版社,２007．４．《数学分析第一册》/徐森林,薛春华编—清华大学出版社,2005.
５. 《求数列极限的方法探讨》/郑允利—高等函数学报(自然科学版），2010年06期.
6. 《两类数列极限的求法》／陈凌—科技创新导报,201０年第28期.
7. 《谈谈极限的求法》/林瀚斌—大众商务，20０9年第12期.
8．《高等数学中数列极限的几种求法》/周林—湖北广播电视大学学报，200８年第11期.
９．《求数列极限的几种方法》／李素峰—邢台学院学报,２０0７年02期．
10.《数学分析的基本理论和典型方法》／孙立山，孙钦福编著—中国科学技术出版社
11.《数学分析》/周民强编著—上海科学技术出版社
12.《数学分析的思想方法》朱匀华编著—中山大学出版社。