拓扑空间
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定义
拓扑空间是一个集合 和其上定义的拓扑结构“τ”组成的二元组。其中“τ”包括开集，闭集，邻域，开 核，闭包五个概念。“τ”可以用从这五个概念任一出发作出等价定义。最常见的定义是从开集开始。
的元素 通常称为拓扑空间
的点。
开集公理
的子集族 称为开集系（其中的元素称为开集），当且仅当其满足如下开集公理：
聚点，导集
X 中的点 x 称为 A 的聚点，当且仅当
（或者等价地，x 的任意邻域至少包含 x 以外的
A 的一个点）。A 的所有聚点组成的集合称为 A 的导集。
孤立点
A 中的点 x 称为 A 的孤立点，当且仅当它不是 A 的聚点。
孤点集，离散集
称 A 为孤点集或离散集，当且仅当 A 中所有的点都是 A 的孤立点。
O1：
，
。
O2：若 O3：若
闭集公理
（ ，则
），则
（对任意并运算封闭）。 。（对有限交运算封闭）。
的子集族 称为闭集系（其中的元素称为闭集），当且仅当其满足如下闭集公理：
C1：
，
。
C2：若 C3：若
（ ，则
），则
（显然，闭集是开集的对偶概念）。
邻域公理
（对任意交运算封闭）。 。（对有限并运算封闭）。
FO（从闭集定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当
是闭集。
FA（从闭集定义闭包）： 的子集 的闭包 等于包含 A 的所有闭集之交。
AF（从闭包定义闭集）： 的子集 是闭集，当且仅当
。
AI（从闭包定义开核）： 的子集 的开核
。
IA（从开核定义闭包）： 的子集 的闭包
。
AU（从闭包定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当
的映射
（
指 的幂集的幂集）。这样 将 的每个点
映射至 的子集族
。
称为 的邻域系（
的元素称为 的邻域），当且仅当对任意
的
，
满足如下邻域公理：
U1：若 U2：若 U3：若 U4：若
闭包公理
，则
。
，则
，
，则存在若
。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
，则
。
，使对所有
，有
。
的幂集
上的一元运算
（即将 的子集 A 映射为 的子集
例子
1. X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅, X} 会形成一个平庸拓扑。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。 3. X = ℤ（整数集合）及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑，因为（例如）所有不包
相关概念
基本概念
给定拓扑空间
，A 是 X 的子集，有以下概念：
内部，内点 A 的开核 A°又称为 A 的内部，其元素称为 A 的内点。 外部，外点
称为 A 的外部，其元素称为 A 的外点。 边界，边界点
称为 A 的边界，其元素称为 A 的边界点。 触点 A 的闭包 中的点称为 A 的触点。 稠密性
称 A 在 X 中是稠密的（或称稠密集），当且仅当
。空间 上的一个网
是从有向集合 映至 的映射。若存在
，使得对每个 的
邻域 都存在
，使得
，则称网
收敛至 。几乎所有点集
拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网
拓扑空间的例子
实数集 R 构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意 味着实数集 R 上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个。从许多方面来说，实数集都
拓扑空间
上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间，因为缺少 {2}和{3}的并集{2,3}；右下角的集合也不是个拓扑空间，因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。
拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数 学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓 扑空间的数学分支称为拓扑学。
含零的有限集合的并集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 内。
4. 1 个元素的集上总拓扑数显然只有 1 个。 5. 2 个元素的集上总拓扑数显然只有 4 个。 6. 3 个元素的集上总拓扑数只有 29 个。 7. 4 个元素的集上总拓扑数只有 355 个。 8. n 个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见 OEIS-A000798 说明
无穷维空间，如泛函分析领域中的 Banach 空间和希尔伯特空间。 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit
topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓 扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列 在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。 流形都是一个拓扑空间。 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在 0、1、2 和 3 维空间 中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形— 来建立模型，参见多胞形（Polytope）。 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数 簇之上。对 Rn 或者 Cn 来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函 数。 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列 或者网是收敛的。 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序 列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。 有限补拓扑。设 X 是一个集合。X 的所有有限子集的补集加上空集，构成 X 上的一个拓扑。相应的拓扑 空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的 T1 拓扑。 可数补拓扑。设 X 是一个集合。X 的所有可数子集的补集加上空集，构成 X 上的一个拓扑。相应的拓扑 空间称为可数补空间。 如果 Γ 是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处 a 和 b 是 Γ 的元 素。
连续映射与同胚
类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。 拓扑空间上的一个映射 称为连续映射，当且仅当它满足以下条件之一：
对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。） 对任何闭集的原像是闭集。
对点
的任一邻域 ，都存在点 的一个邻域 ，使得
自密集
称 A 为自密集，当且仅当 A 中的点都是 A 的聚点（等价地，A 中没有 A 的孤立点）。
完备集
称 A 为完备集，当且仅当 A 等于其导集。
自密核
A 的最大自密子集称为 A 的自密核。
无核集
称 A 是无核集，当且仅当 A 的自密核是 （或等价地，A 的任意非空子集都含有孤立点）。
网
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作 Moore-Smith 收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集
；
I3：
；
I4：
。
集合 的开核通常记为 。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。
各等价定义之间的关系
在以上任意一个概念公理系统为起点，都可以等价地定义其它四个概念。具体的关系如下：
UO（从邻域定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当对任意
，有
其中每个点的邻域）。
OU（从开集定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当存在开集 ，使
。
UA（从邻域定义闭包）： 的子集 的闭包
拓扑之间的关系
。（ 是 。
。
。
同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关 系。当拓扑 的每一个开集都是拓扑 的开集时，称拓扑 比拓扑 更细，或称拓扑 比拓扑 更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开 集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。 最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。 在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算 满足下述的闭包公理：
A1：
；
A2： A3： A4：
； ；
。
集合 的闭包通常记为 。
开核公理
的幂集
上的一元运算
（即将 的子集 A 映射为 的子集
）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算 满足如下开核公理：
I1：
；
I2：
连续映射即点点连续的映射。
，则称
在点 连续，而
对任一集合 ，
成立。
对任一集合 ，
成立。
同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空 间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。
拓扑空间范畴
拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图 通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和 K-理论。
是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的 拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的，n 维欧几里得空间 Rn 构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的
3 点集 {a,b,c} (1) {{a},{b},{c}}, (2) {{a},{b,c}},{{b},{c,a}},{{c},{a,b}} (3) {{a},{b},{b,c}},{{a},{c},{b,c}},{{b},{c},{a,c}},{{b},{a},{a,c}},{{c},{b},{a,b}},{{c},{a},{a,b}} (4) {{a},{a,b},{c,a}},{{b},{b,c},{a,b}},{{c},{c,a},{b,c}} (5) {{a},{a,b},{a,b,c}},{{a},{a,c},{a,b,c}},{{b},{b,c},{a,b,c}}, {{b},{a,b},{a,b,c}},{{c},{b,c},{a,b,c}},{{c},{a,c},{a,b,c}} (6) {{a},{a,b,c}},{{b},{a,b,c}},{{c},{a,b,c}} (7) {a,{b},{c}},{{a}.b.{c}}.{{a}.{b},c} (8) {{a,b},{a,b,c}},{{b,c},{a,b,c}},{{c,a},{a,b,c}} (9) {{a,b,c},}
。
பைடு நூலகம்
边缘集
称 A 是 X 的边缘集，当且仅当 X-A 在 X 中是稠密的。
疏性
称 A 在 X 中是疏的（或称疏集），当且仅当 是 X 中的边缘集。
第一范畴集，第二范畴集
称 A 是 X 中的第一范畴集，当且仅当 A 可以表示为可数个疏集的并。称 A 是 X 中的第二范畴集，当且
仅当 A 不是 X 中的第一范畴集。
UI（从邻域定义开核）： 的子集 的开核
IU（从开核定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当
。
OI（从开集定义开核）： 的子集 的开核 等于 A 包含的所有开集之并。
IO（从开核定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当
。
OF（从开集定义闭集）： 的子集 是闭集，当且仅当
是开集。
3 点集的总拓扑 29 个具体如下：（每一拓扑中都要再加上一个空子集）
1 {a,b,c} 2,{{a,b,c},{a}} 3,{{a,b,c},{b}} 4,{{a,b,c},{c}} 5,{{a,b,c},{a,b}} 6,{{a,b,c},{a,c}} 7,{{a,b,c},{b,c}} 8,{{a,b,c},{a,b},{a}} 9,{{a,b,c},{a,b},{b}} 10,{{a,b,c},{a,b},{c}} 11,{{a,b,c},{a,b},{a},{b}} 12,{{a,b,c},{a,c},{a}} 13,{{a,b,c},{a,c},{b}} 14,{{a,b,c},{a,c},{c}} 15,{{a,b,c},{a,c},{a},{c}} 16,{{a,b,c},{b,c},{a}} 17,{{a,b,c},{b,c},{b}} 18,{{a,b,c},{b,c},{c}} 19,{{a,b,c},{b,c},{b},{c}} 20,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a}} 21,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{b}} 22,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{c}} 23,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b}} 24,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b},{a}} 25,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b},{c}} 26,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c}} 27,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c},{b}} 28,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c},{a}} 29,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{a,c},{a},{b},{c}}
拓扑空间是一个集合 和其上定义的拓扑结构“τ”组成的二元组。其中“τ”包括开集，闭集，邻域，开 核，闭包五个概念。“τ”可以用从这五个概念任一出发作出等价定义。最常见的定义是从开集开始。
的元素 通常称为拓扑空间
的点。
开集公理
的子集族 称为开集系（其中的元素称为开集），当且仅当其满足如下开集公理：
聚点，导集
X 中的点 x 称为 A 的聚点，当且仅当
（或者等价地，x 的任意邻域至少包含 x 以外的
A 的一个点）。A 的所有聚点组成的集合称为 A 的导集。
孤立点
A 中的点 x 称为 A 的孤立点，当且仅当它不是 A 的聚点。
孤点集，离散集
称 A 为孤点集或离散集，当且仅当 A 中所有的点都是 A 的孤立点。
O1：
，
。
O2：若 O3：若
闭集公理
（ ，则
），则
（对任意并运算封闭）。 。（对有限交运算封闭）。
的子集族 称为闭集系（其中的元素称为闭集），当且仅当其满足如下闭集公理：
C1：
，
。
C2：若 C3：若
（ ，则
），则
（显然，闭集是开集的对偶概念）。
邻域公理
（对任意交运算封闭）。 。（对有限并运算封闭）。
FO（从闭集定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当
是闭集。
FA（从闭集定义闭包）： 的子集 的闭包 等于包含 A 的所有闭集之交。
AF（从闭包定义闭集）： 的子集 是闭集，当且仅当
。
AI（从闭包定义开核）： 的子集 的开核
。
IA（从开核定义闭包）： 的子集 的闭包
。
AU（从闭包定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当
的映射
（
指 的幂集的幂集）。这样 将 的每个点
映射至 的子集族
。
称为 的邻域系（
的元素称为 的邻域），当且仅当对任意
的
，
满足如下邻域公理：
U1：若 U2：若 U3：若 U4：若
闭包公理
，则
。
，则
，
，则存在若
。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
，则
。
，使对所有
，有
。
的幂集
上的一元运算
（即将 的子集 A 映射为 的子集
例子
1. X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅, X} 会形成一个平庸拓扑。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。 3. X = ℤ（整数集合）及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑，因为（例如）所有不包
相关概念
基本概念
给定拓扑空间
，A 是 X 的子集，有以下概念：
内部，内点 A 的开核 A°又称为 A 的内部，其元素称为 A 的内点。 外部，外点
称为 A 的外部，其元素称为 A 的外点。 边界，边界点
称为 A 的边界，其元素称为 A 的边界点。 触点 A 的闭包 中的点称为 A 的触点。 稠密性
称 A 在 X 中是稠密的（或称稠密集），当且仅当
。空间 上的一个网
是从有向集合 映至 的映射。若存在
，使得对每个 的
邻域 都存在
，使得
，则称网
收敛至 。几乎所有点集
拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网
拓扑空间的例子
实数集 R 构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意 味着实数集 R 上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个。从许多方面来说，实数集都
拓扑空间
上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间，因为缺少 {2}和{3}的并集{2,3}；右下角的集合也不是个拓扑空间，因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。
拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数 学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓 扑空间的数学分支称为拓扑学。
含零的有限集合的并集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 内。
4. 1 个元素的集上总拓扑数显然只有 1 个。 5. 2 个元素的集上总拓扑数显然只有 4 个。 6. 3 个元素的集上总拓扑数只有 29 个。 7. 4 个元素的集上总拓扑数只有 355 个。 8. n 个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见 OEIS-A000798 说明
无穷维空间，如泛函分析领域中的 Banach 空间和希尔伯特空间。 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit
topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓 扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列 在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。 流形都是一个拓扑空间。 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在 0、1、2 和 3 维空间 中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形— 来建立模型，参见多胞形（Polytope）。 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数 簇之上。对 Rn 或者 Cn 来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函 数。 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列 或者网是收敛的。 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序 列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。 有限补拓扑。设 X 是一个集合。X 的所有有限子集的补集加上空集，构成 X 上的一个拓扑。相应的拓扑 空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的 T1 拓扑。 可数补拓扑。设 X 是一个集合。X 的所有可数子集的补集加上空集，构成 X 上的一个拓扑。相应的拓扑 空间称为可数补空间。 如果 Γ 是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处 a 和 b 是 Γ 的元 素。
连续映射与同胚
类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。 拓扑空间上的一个映射 称为连续映射，当且仅当它满足以下条件之一：
对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。） 对任何闭集的原像是闭集。
对点
的任一邻域 ，都存在点 的一个邻域 ，使得
自密集
称 A 为自密集，当且仅当 A 中的点都是 A 的聚点（等价地，A 中没有 A 的孤立点）。
完备集
称 A 为完备集，当且仅当 A 等于其导集。
自密核
A 的最大自密子集称为 A 的自密核。
无核集
称 A 是无核集，当且仅当 A 的自密核是 （或等价地，A 的任意非空子集都含有孤立点）。
网
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作 Moore-Smith 收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集
；
I3：
；
I4：
。
集合 的开核通常记为 。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。
各等价定义之间的关系
在以上任意一个概念公理系统为起点，都可以等价地定义其它四个概念。具体的关系如下：
UO（从邻域定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当对任意
，有
其中每个点的邻域）。
OU（从开集定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当存在开集 ，使
。
UA（从邻域定义闭包）： 的子集 的闭包
拓扑之间的关系
。（ 是 。
。
。
同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关 系。当拓扑 的每一个开集都是拓扑 的开集时，称拓扑 比拓扑 更细，或称拓扑 比拓扑 更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开 集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。 最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。 在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算 满足下述的闭包公理：
A1：
；
A2： A3： A4：
； ；
。
集合 的闭包通常记为 。
开核公理
的幂集
上的一元运算
（即将 的子集 A 映射为 的子集
）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算 满足如下开核公理：
I1：
；
I2：
连续映射即点点连续的映射。
，则称
在点 连续，而
对任一集合 ，
成立。
对任一集合 ，
成立。
同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空 间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。
拓扑空间范畴
拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图 通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和 K-理论。
是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的 拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的，n 维欧几里得空间 Rn 构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的
3 点集 {a,b,c} (1) {{a},{b},{c}}, (2) {{a},{b,c}},{{b},{c,a}},{{c},{a,b}} (3) {{a},{b},{b,c}},{{a},{c},{b,c}},{{b},{c},{a,c}},{{b},{a},{a,c}},{{c},{b},{a,b}},{{c},{a},{a,b}} (4) {{a},{a,b},{c,a}},{{b},{b,c},{a,b}},{{c},{c,a},{b,c}} (5) {{a},{a,b},{a,b,c}},{{a},{a,c},{a,b,c}},{{b},{b,c},{a,b,c}}, {{b},{a,b},{a,b,c}},{{c},{b,c},{a,b,c}},{{c},{a,c},{a,b,c}} (6) {{a},{a,b,c}},{{b},{a,b,c}},{{c},{a,b,c}} (7) {a,{b},{c}},{{a}.b.{c}}.{{a}.{b},c} (8) {{a,b},{a,b,c}},{{b,c},{a,b,c}},{{c,a},{a,b,c}} (9) {{a,b,c},}
。
பைடு நூலகம்
边缘集
称 A 是 X 的边缘集，当且仅当 X-A 在 X 中是稠密的。
疏性
称 A 在 X 中是疏的（或称疏集），当且仅当 是 X 中的边缘集。
第一范畴集，第二范畴集
称 A 是 X 中的第一范畴集，当且仅当 A 可以表示为可数个疏集的并。称 A 是 X 中的第二范畴集，当且
仅当 A 不是 X 中的第一范畴集。
UI（从邻域定义开核）： 的子集 的开核
IU（从开核定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当
。
OI（从开集定义开核）： 的子集 的开核 等于 A 包含的所有开集之并。
IO（从开核定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当
。
OF（从开集定义闭集）： 的子集 是闭集，当且仅当
是开集。
3 点集的总拓扑 29 个具体如下：（每一拓扑中都要再加上一个空子集）
1 {a,b,c} 2,{{a,b,c},{a}} 3,{{a,b,c},{b}} 4,{{a,b,c},{c}} 5,{{a,b,c},{a,b}} 6,{{a,b,c},{a,c}} 7,{{a,b,c},{b,c}} 8,{{a,b,c},{a,b},{a}} 9,{{a,b,c},{a,b},{b}} 10,{{a,b,c},{a,b},{c}} 11,{{a,b,c},{a,b},{a},{b}} 12,{{a,b,c},{a,c},{a}} 13,{{a,b,c},{a,c},{b}} 14,{{a,b,c},{a,c},{c}} 15,{{a,b,c},{a,c},{a},{c}} 16,{{a,b,c},{b,c},{a}} 17,{{a,b,c},{b,c},{b}} 18,{{a,b,c},{b,c},{c}} 19,{{a,b,c},{b,c},{b},{c}} 20,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a}} 21,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{b}} 22,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{c}} 23,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b}} 24,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b},{a}} 25,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b},{c}} 26,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c}} 27,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c},{b}} 28,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c},{a}} 29,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{a,c},{a},{b},{c}}