函数的概念教学设计(第一课时)

函数的概念教学设计（第一课时）

➢教学重点：函数的概念，函数的三要素.

➢教学难点：函数概念及符号y=f(x)的理解.

➢教学方法:诱思教学法

➢教学用具：多媒体

➢教学过程：

设计

环节

设计意图师生活动

一、创设问题情境，引出课题。

以实际问题为背景，以学

生熟悉的情境入手激活学生

的原有知识，形成学生的“再

创造”欲望，让学生在熟悉的

环境中发现新知识，使新知识

和原知识形成联系，同时也体

现了数学的应用价值。通过问

题2这两个用已有概念不太

容易回答的问题，引发学生的

认知冲突，有着承上启下的作

用。既是对初中已学的函数概

念的进一步深入，又是为下一

步用集合语言来刻画函数的

本质做好伏笔。

教师提出问题1：

我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的

呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基

础上出示投影）

我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要

学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：

问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个

函数？函数y=x与函数

x

x

y

2

表示同一个函数

吗？

学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念

很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函

数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概

念（板书）

二、借助信息

以实际问题为载体，以信

息技术的作图功能为辅助。在

三个实例的教学中，重点在于

师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显

示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数。启发学

生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描

知识目标——通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会

求一些简单函数的定义域及值域。

能力目标——培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相

互转化的数学思想。

情感目标——渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到

一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义

观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，

又服务于实践”的数学应用意识。

教学流程：

知识结构：

“函数”的由来

“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行.

在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思.

瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数.

1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起.

首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值.

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”

德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数.”

上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y 值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.

由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.