公开课 竞赛课课件 勾股定理的应用
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探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
《勾股定理的应用-用方程思想解决问题》课例课件
学会应用勾股定理计算直角三角形中的边长关系。
将勾股定理应用到实际问题中，通过构 建方程解决问题
学会将勾股定理应用到各种实际问题中，并通过 构建方程来解决问题。
实际问题的解决过程
了解解决实际问题的一般思路和步骤。
解决实际问题的思路
1
通过读题确定问题、目标和限制条件
仔细阅读问题，明确问题的具体要求和限制条件。
2
转化问题为数学模型，选用适当的变量和未知数
将问题转化为数学模型，选择适当的变量和未知数进行建模。
3
根据问题条件列出方程组
根据问题条件，将问，得到问题的解
解决方程组，求解未知数的值，得到问题的解。
5
对答案进行检验，回答问题
对求得的解进行检验，确保其符合问题的限制条件，并回答问题。
总结
1 勾股定理可以应用于实际问题中
勾股定理不仅是抽象理论，还可以帮助解决各种实际问题。
2 方程思想是解决实际问题的关键
通过构建方程，可以将实际问题转化为数学问题，更好地解决问题。
3 解决实际问题需要综合运用各种知识点
解决实际问题不仅仅依靠勾股定理，还需要结合其他相关知识点。
案例分析
案例1 ：热身练习，求证勾股定理
通过一道简单的热身练习，帮助学生理解和证明勾股定理。
案例2 ：航空器问题，求飞行高度和地面距离
通过航空器的例子，引导学生将勾股定理应用于求解飞行高度和地面距离。
案例3 ：立方体问题，求体积和对角线长度
以立方体为背景，教学生如何使用勾股定理解决求解体积和对角线长度的问题。
勾股定理的应用-用方程 思想解决问题
本课例将以勾股定理为基础，通过方程思想解决各种实际问题，旨在帮助学 生深入了解勾股定理的应用。
将勾股定理应用到实际问题中，通过构 建方程解决问题
学会将勾股定理应用到各种实际问题中，并通过 构建方程来解决问题。
实际问题的解决过程
了解解决实际问题的一般思路和步骤。
解决实际问题的思路
1
通过读题确定问题、目标和限制条件
仔细阅读问题，明确问题的具体要求和限制条件。
2
转化问题为数学模型，选用适当的变量和未知数
将问题转化为数学模型，选择适当的变量和未知数进行建模。
3
根据问题条件列出方程组
根据问题条件，将问，得到问题的解
解决方程组，求解未知数的值，得到问题的解。
5
对答案进行检验，回答问题
对求得的解进行检验，确保其符合问题的限制条件，并回答问题。
总结
1 勾股定理可以应用于实际问题中
勾股定理不仅是抽象理论，还可以帮助解决各种实际问题。
2 方程思想是解决实际问题的关键
通过构建方程，可以将实际问题转化为数学问题，更好地解决问题。
3 解决实际问题需要综合运用各种知识点
解决实际问题不仅仅依靠勾股定理，还需要结合其他相关知识点。
案例分析
案例1 ：热身练习，求证勾股定理
通过一道简单的热身练习，帮助学生理解和证明勾股定理。
案例2 ：航空器问题，求飞行高度和地面距离
通过航空器的例子，引导学生将勾股定理应用于求解飞行高度和地面距离。
案例3 ：立方体问题，求体积和对角线长度
以立方体为背景，教学生如何使用勾股定理解决求解体积和对角线长度的问题。
勾股定理的应用-用方程 思想解决问题
本课例将以勾股定理为基础，通过方程思想解决各种实际问题，旨在帮助学 生深入了解勾股定理的应用。
勾股定理的应用(优质课)获奖课件
欲登上12 m的建筑物,为了安全,需使梯子 A 底端离建筑物底部5 m,至少需要多长的梯子?
12 m
C
5m
B
一个圆柱形易拉罐，下底面A点 处有一只蚂蚁，上底面上与A点相对 的点B处有粒糖，蚂蚁想吃到点B处 的糖.
B
A
（1）蚂蚁从A点爬到B点可能有哪些路线？
同桌讨论后，在自己的圆柱上画出来.
议一议
3 勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定
理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.数学思考、解决问题：在将实际问题抽象为数学问题
的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的
能力及渗透数学建模的思想.
1.你知道勾股定理的内容吗？ 2.一个三角形的三条边长分别为a,b,c(c>a,c>b）， 能否判断这个三角形是否是直角三角形？
B
A
B
B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足AB2=202+102=500＞
400，所以不能在20 s内从A爬到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
【例1】在下图的直角坐标系中描出下列各点，并把各 【例题】 点用线段依次连接起来.观察它是什么形状，并计算 它的面积（0，4），（-4，-1），（-9，3）.
y 【解析】形状为 等腰直角三角形，
直角边的长为
6
(面积为 4 1) 2 4 2 41
1 41 41 41 202 ）若随身只有一个长度为 20 cm 的 刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直
勾股定理的应用市公开课一等奖省优质课获奖课件
2.3米
C
┏B
OD
M
2米 H
第19页
解 OC＝1米 (大门宽度二分之一)，
OD＝0.8米 （卡车宽度二分之一）
在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝ ＝ OC 2 OD2 12 0.82 ＝0.6米，
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
A
所以高度上有0.4米余量，所 以卡车能经过厂门．
第3页
2、教学目标
（1）知识与技能： 能应用勾股定了解决一些简单实际问题
。 （2）过程与方法： 让学生经历观察、思索、动手实践和求
解活动过程； 培养学生独立思索能力和动手实践能力
。 （3）情感、态度和价值观： 使学生认识到数学来自生活，并服务于第4页
3、教学重、难点
应用勾股定了解决实际问题是本节课教 学重点;而把实际问题化归成勾股定理几何 模型（直角三角形）则是本节课教学难点 。
第23页
这个步骤设计目标是让学生深入体会勾股 定理在现实生活中应用，同时也是对本节 课学习内容了解。
第24页
迁移训练，学以致用
这个问题目标是要学生能了解求立体图形 上两点间最短路径方法，在教学中首先从 圆柱入手，然后处理正方体问题。表达一 个分类思想。
第25页
拓展 假如圆柱换成如图棱长为10cm正方 体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行最 短旅程又是多少呢？
第7页
三、说教学过程 1、创设情境，导入新课 2、合作交流，探索新知 3 、尝试训练，巩固新知 4、迁移训练，学以致用 5、总结反思，拓展升华
第8页
第9页
假如知道斜拉桥桥面以上索 塔AB高，怎么计算各条拉索AC、 AD、AE……长？
A
G BC D E F
17 勾股定理在实际生活中的应用 公开课一等奖课件
A′ B 152 82 17.
C
小屋B
归纳 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和 的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的 对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，
以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角
三角形，再运用勾股定理求最短路径.
练一练 如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有 一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物， 求蚂蚁爬行的最短距离是多少. B B
B'
A A' A 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
数学思想： 转化
立体图形 平面图形
展开
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲
儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂
蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠
6 米
8米
解：根据题意可以构建一
直角三角形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
A 6 米 B 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 6 2 82 10 米 .
C
8米
∴这棵树在折断之前的 高度是10+6=16（米）.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 实际问题 决解 勾股定理 利用 转化 数学问题 建构 直
B
O
A A A A 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ 根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.
勾股定理的应用PPT优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
阻力阻力臂）
(1)求y关于x函数解析式。这个函数是反百分比函 数吗?假如是，请说出百分比系数；
(2)求当x=50时，函数y值，并说明这个值实际 意义； (3)利用y关于x函数解析式， 说明当动力臂长扩大到原来 n倍时，所需动力将怎样改 变？
第10页
用反百分比函数知识解释: 在我们使用撬棍时,为何
动力臂越长就越省力.
都是
y=
k x
形式,其中k是常数.
3.反百分比函数定义
普比通函地数,,形 其如 中xy是=xk自(变k是量常,y数是,函k≠数0．)函数称为反百分
４.反百分比函数自变有量时取反值百范分围比是函 不为０全体实数 数也写成y=kx-1
或k=xy形式.
第4页
【现场提问】
以下函数中哪些是反百分比函数,并指出对应k值？
第11页
小
结
回味无穷
1、经过本节课学习, 你有哪些收获? 2、你还想知道反百分比函数哪些知识？
第12页
独立 作业
知识升华
P4 作业题 祝你成功！
第13页
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界改变规律主要数学模型.
• 函数思想是一个主要数学思想,它是 刻画两个变量之间关系主要伎俩.
第14页
第2页
思索
以下问题中，变量间对应关系可用怎样函数式表示？ 这些函数有什么共同特点？
（1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车平均速度v
（单位：km/h)随此次列车全程运行时间t（单位：h）
改(2)变某而住改宅变小；区要种植一个面积V为=114t063002 m 矩形草坪，
草坪长y（单位：m）随宽x（单位：m）改变而改变；
① y = 3x-1
(1)求y关于x函数解析式。这个函数是反百分比函 数吗?假如是，请说出百分比系数；
(2)求当x=50时，函数y值，并说明这个值实际 意义； (3)利用y关于x函数解析式， 说明当动力臂长扩大到原来 n倍时，所需动力将怎样改 变？
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用反百分比函数知识解释: 在我们使用撬棍时,为何
动力臂越长就越省力.
都是
y=
k x
形式,其中k是常数.
3.反百分比函数定义
普比通函地数,,形 其如 中xy是=xk自(变k是量常,y数是,函k≠数0．)函数称为反百分
４.反百分比函数自变有量时取反值百范分围比是函 不为０全体实数 数也写成y=kx-1
或k=xy形式.
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【现场提问】
以下函数中哪些是反百分比函数,并指出对应k值？
第11页
小
结
回味无穷
1、经过本节课学习, 你有哪些收获? 2、你还想知道反百分比函数哪些知识？
第12页
独立 作业
知识升华
P4 作业题 祝你成功！
第13页
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界改变规律主要数学模型.
• 函数思想是一个主要数学思想,它是 刻画两个变量之间关系主要伎俩.
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第2页
思索
以下问题中，变量间对应关系可用怎样函数式表示？ 这些函数有什么共同特点？
（1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车平均速度v
（单位：km/h)随此次列车全程运行时间t（单位：h）
改(2)变某而住改宅变小；区要种植一个面积V为=114t063002 m 矩形草坪，
草坪长y（单位：m）随宽x（单位：m）改变而改变；
① y = 3x-1
勾股定理的应用课件市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
要爬多远？
B
⑵它要在箱壁上
爬行到箱内C处，
最少要爬多远？
C
A
D
第37页
.
A
勾股定理应用课件
.B A′
C
C
B
D
40
A 30 D 50
图①
第38页
◆如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都 为1.请在所给网格中按以下要求画出图形．
⑴从点A出发一条
. 线段AB，使它另 A
一个端点落在格 点（即小正方形 顶点）上，且长 度为 ；
侧面展开成一个平面，如图（2
），可清楚看出葛藤在这个平面
勾股定理应用课件
上是沿直线上升。
（2）
第18页
变式1：
有一木质圆柱形笔筒高为h，底面半径为 r，现要围绕笔筒表面由A至C，（A,C在圆柱 同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装 饰，这条金属线最短长度是多少？
C
B
勾股定理应用课件
A
第19页
C
D
A
A
勾股定理应用课件
C
第20页
变式2：有一圆形油罐底面圆周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1mA处爬行到对角B处 吃食物，它爬行最短路线长为多少？
C
BC
B
A
A
A
勾股定理应用课件
第21页
变式3：假如圆柱换成如图棱长为10cm 正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行 最短旅程又是多少呢？
B
A
勾股定理应用课件
物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点最短旅程是多少？
B
B
(0.2×3＋0.3×3)m
0.2 0.3 2
A
A
C
2m
勾股定理的应用-课件
02
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
八年级数学勾股定理的应用市公开课一等奖省优质课获奖课件
第4页
下列图是学校旗杆,旗杆上绳子垂到 了地面,并多出了一段,现在老师想 知道旗杆高度,你能帮老师想个方法 吗?请你与同伴交流设计方案?
A
图（1）
C 图（2） B 第5页
小明发觉旗杆上绳子垂到地面还多1米，如图 （1），当他们把绳子下端拉开5米后，发觉下端 刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗杆 高度和绳子长度计算出来吗？请你与同伴交流并 回答用是什么方法.
做一做：
李叔叔想要检测雕塑 底座正面AD边和BC边是 否分别垂直于底边AB，但 他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想方法完成任务吗？
第2页
做一做：
（2）李叔叔量得AD长 是30厘米，AB长是40厘 米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？ 为何？
第3页
做一做：
（3）小明随身只有一个 长度为20厘米刻度尺， 他能有方法检验AD边是 否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
第7页
解：设水池水深AC为x尺，则这根芦苇长 AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2 x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13 答：水池水深12尺，这根芦苇长13尺。
第8页
经过今天学习, 用你自己话说说你收获和体会?
本节课主要是应用勾股定理和它逆定理来处理 实际问题，在应用定理时，应注意：1、没有 图要按题意画好图并标上字母；2、不要用错 定理。
你学会了吗?
第9页
A
图（1）
C 图（2） B 第6页
试一试：术》中记载了一道有趣问题，这个
下列图是学校旗杆,旗杆上绳子垂到 了地面,并多出了一段,现在老师想 知道旗杆高度,你能帮老师想个方法 吗?请你与同伴交流设计方案?
A
图（1）
C 图（2） B 第5页
小明发觉旗杆上绳子垂到地面还多1米，如图 （1），当他们把绳子下端拉开5米后，发觉下端 刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗杆 高度和绳子长度计算出来吗？请你与同伴交流并 回答用是什么方法.
做一做：
李叔叔想要检测雕塑 底座正面AD边和BC边是 否分别垂直于底边AB，但 他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想方法完成任务吗？
第2页
做一做：
（2）李叔叔量得AD长 是30厘米，AB长是40厘 米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？ 为何？
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做一做：
（3）小明随身只有一个 长度为20厘米刻度尺， 他能有方法检验AD边是 否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
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解：设水池水深AC为x尺，则这根芦苇长 AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2 x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13 答：水池水深12尺，这根芦苇长13尺。
第8页
经过今天学习, 用你自己话说说你收获和体会?
本节课主要是应用勾股定理和它逆定理来处理 实际问题，在应用定理时，应注意：1、没有 图要按题意画好图并标上字母；2、不要用错 定理。
你学会了吗?
第9页
A
图（1）
C 图（2） B 第6页
试一试：术》中记载了一道有趣问题，这个
勾股定理的应用ppt课件
1.3 勾股定理的应用
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
1.3 勾股定理的应用
返回目录
考 ■考点一 立体图形上的最短路线
点 清 1. 确定圆柱侧面上两点之间的最短距离，其步骤如下：
单 解
（1）将侧面展开为长方形；
读
（2）根据“两点之间线段最短”构造直角三角形；
（3）利用勾股定理求距离.
1.3 勾股定理的应用
单 解
一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边时，可设未知
读 数，根据勾股定理建立方程，通过解方程解决问题.
1.3 勾股定理的应用
返回目录
考
对点典例剖析
点 清
典例2 如图，台风过后，一棵白杨树在某处折断，白杨
单 树的顶部落在离白杨树根部 8 m 处，已知白杨树高 16 m， 解
读 则白杨树是在离根部_____ m 的位置折断的.
1.3 勾股定理的应用
考 ［答案］ 6 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
返回目录
重 ■题型 勾股定理中的方案设计问题
难 题
例 一路上 A，B 两地（视为直线上的两点）相距 25
型 突
km，C，D为两村庄（视为两点），DA⊥AB
于点
A，CB⊥AB
破 于点 B（如图），已知 DA=10 km，CB=15 km，现要在路
AB 上建一个土特产收购站 E，使得 C，D 两村到收购站 E
的距离相等，请求出 E 站到 A 地的距离．
1.3 勾股定理的应用
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重 ［答案］ 解：由题意得 CE=DE，在 Rt△DAE和 Rt
难 题
△CBE
中
，DE2
=AD2
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
1.3 勾股定理的应用
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考 ■考点一 立体图形上的最短路线
点 清 1. 确定圆柱侧面上两点之间的最短距离，其步骤如下：
单 解
（1）将侧面展开为长方形；
读
（2）根据“两点之间线段最短”构造直角三角形；
（3）利用勾股定理求距离.
1.3 勾股定理的应用
单 解
一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边时，可设未知
读 数，根据勾股定理建立方程，通过解方程解决问题.
1.3 勾股定理的应用
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考
对点典例剖析
点 清
典例2 如图，台风过后，一棵白杨树在某处折断，白杨
单 树的顶部落在离白杨树根部 8 m 处，已知白杨树高 16 m， 解
读 则白杨树是在离根部_____ m 的位置折断的.
1.3 勾股定理的应用
考 ［答案］ 6 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
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重 ■题型 勾股定理中的方案设计问题
难 题
例 一路上 A，B 两地（视为直线上的两点）相距 25
型 突
km，C，D为两村庄（视为两点），DA⊥AB
于点
A，CB⊥AB
破 于点 B（如图），已知 DA=10 km，CB=15 km，现要在路
AB 上建一个土特产收购站 E，使得 C，D 两村到收购站 E
的距离相等，请求出 E 站到 A 地的距离．
1.3 勾股定理的应用
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重 ［答案］ 解：由题意得 CE=DE，在 Rt△DAE和 Rt
难 题
△CBE
中
，DE2
=AD2
勾股定理的应用公开课课件
G
4cm
F
6cm
路 程 62(45)2117cm
5cm
路 程 (64)252125cm
Hale Waihona Puke 4cm路 程 42(65)2137cm
E D
5cm
C
B
你有什
么发现？
H
G
4cm
A
6cm
F
检测
• 小结：本节课的收获与困惑？
体验成功
B
长方体尺寸如图，单位：cm.
A处有一只蚂蚁，B处有一粒蜜糖， 5
A x E 20 20－x B
10 15
C
D
蚁为，8㎝在，C圆处柱有下一底粒面蜜A点糖处，有蚂一蚁只从蚂蚁点,AB处出有发一 爬颗行蜜到糖，点它C从, 所点走A出的发最，短沿路着程圆是柱的多侧少面cm爬？行
到点B,它爬行的最短路程是多少？
E
C
D
BB
4cm H
A
4cm
G
4cm
F
二变: 如果换成长方体纸盒又会 怎么样呢？
E C
D
B
5cm
H
A
6cm
勾股定理的应用
---关于最短路径问题
平面中的最短路径
如图，l 是河岸（近似看作一直线），岸边A点处有 一匹马，到河岸的距离AC为3米， B点是马房， 到河岸的距离BD为2米，CD长12米。
若变若马一马夫变夫从： 从AA处处牵先马牵回着马马房去B河，边所饮走水最，短然路后程再是回多马少房？ B，这时的最短路程是多少？
0.3
A
2
终极
• 小结：本节课的收获与困惑？
终极挑战
如图，公路边A、B两站（视为线上两点）相距25千米， C、D为公路同旁的两个村庄（视为线上两点）， AD⊥AB于A点，CB ⊥ AB于B点，AD=15km， CB=10km。现在要在公路的AB路段上建一个土特产 收购站E，使C、D两村庄到收购站E的距离相等，问 收购站E应建在离A站多远处？
勾股定理应用举例ppt课件
24m，高为
6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为
.
选做题
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 为12cm ,8cm,30cm，在AB中点C处有一滴蜜 糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，则最短路程 是多少？
A
D
.C
30
B
8 12
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
数学思想：
本节课充分利用了数学中的转化思想，即将 立体图形转化为平面图形。
七、当堂检测，达标反馈 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
分层检测 ☞
必做题
1、有一圆柱体如图，高8cm，底面半径5cm，A处 有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最 短距离（π取值为3）
五、知识总结
这节课你学习了什么内容？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
谈谈这节课你的收获
这节课主要是应用勾股定理来解决路程最短问题。 数学方法：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之 间线段最短”的性质找出最短距离，构造直角三 角形，运用勾股定理解决问题。
最短距离问题小结
（1）将立体图形转化为平面图形，画出适当的示意图 。 （2）找准点的位置，根据“两点之间，线段最短” 确定行
走路线，找到最短路径。
（3）以最短路径为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。
B
6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为
.
选做题
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 为12cm ,8cm,30cm，在AB中点C处有一滴蜜 糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，则最短路程 是多少？
A
D
.C
30
B
8 12
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
数学思想：
本节课充分利用了数学中的转化思想，即将 立体图形转化为平面图形。
七、当堂检测，达标反馈 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
分层检测 ☞
必做题
1、有一圆柱体如图，高8cm，底面半径5cm，A处 有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最 短距离（π取值为3）
五、知识总结
这节课你学习了什么内容？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
谈谈这节课你的收获
这节课主要是应用勾股定理来解决路程最短问题。 数学方法：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之 间线段最短”的性质找出最短距离，构造直角三 角形，运用勾股定理解决问题。
最短距离问题小结
（1）将立体图形转化为平面图形，画出适当的示意图 。 （2）找准点的位置，根据“两点之间，线段最短” 确定行
走路线，找到最短路径。
（3）以最短路径为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。
B
勾股定理的应用勾股定理市公开课一等奖省优质课获奖课件
B
8cm
牛奶盒
6cm
A 10cm
第11页
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296
AB22= 82 +（10+6）2 =320
B1
AB32= 62 +（10+8）2 =360
B
B2 8
A 10
6
第12页
二 勾股定理实际应用
问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面AD边和BC边是否分别垂直于底边AB， 但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想方法完成任务吗？
解：在Rt△AOB中， OB2 AB2 AO2 252 242 ,
OB 7.
在Rt△COD中， OD2 CD2 CO2 252 202 ,
OD 15.
BD OD OB 8.
梯子顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m.
第22页
4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣问题，这个问题意思是： 有一个水池，水面是一个边长为10尺正方形，在水池中央有一根新生芦苇， 它高出水面1尺，假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它顶端恰好抵达岸边水面， 请问这个水池深度和这根芦苇长度各是多少？
E
E
F
F
第9页
E
E
F
解：如图，可知△ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， ∴EF=10(cm).
F
第10页
变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料兴奋劲儿，小明又灵光乍现， 拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿 火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务最短旅程么？
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
8cm
牛奶盒
6cm
A 10cm
第11页
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296
AB22= 82 +（10+6）2 =320
B1
AB32= 62 +（10+8）2 =360
B
B2 8
A 10
6
第12页
二 勾股定理实际应用
问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面AD边和BC边是否分别垂直于底边AB， 但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想方法完成任务吗？
解：在Rt△AOB中， OB2 AB2 AO2 252 242 ,
OB 7.
在Rt△COD中， OD2 CD2 CO2 252 202 ,
OD 15.
BD OD OB 8.
梯子顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m.
第22页
4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣问题，这个问题意思是： 有一个水池，水面是一个边长为10尺正方形，在水池中央有一根新生芦苇， 它高出水面1尺，假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它顶端恰好抵达岸边水面， 请问这个水池深度和这根芦苇长度各是多少？
E
E
F
F
第9页
E
E
F
解：如图，可知△ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， ∴EF=10(cm).
F
第10页
变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料兴奋劲儿，小明又灵光乍现， 拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿 火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务最短旅程么？
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
1.3勾股定理的应用(赛课)PPT演示课件
最短距离是多少？
若食物在距E点5厘米的M点
G
F
H
M5 E
处，蚂蚁如果沿着长方体的表 面从点A爬到点M，需要爬行
20
的最短距离又是多少呢？
2019年10月15日7时 44分
D C 15
A B 10 19
M5 20 A 10
15
2019年10月15日7时 44分
M 5 20 A 10
20
课后作业
右图是学校的旗杆,旗杆上 的绳子垂到了地面,并多出 了一段,现在老师想知道旗 杆的高度,你能帮老师想个 办法吗?请你与同伴交流设 计方案?
2019年10月15日7时
3
44分
1.勾股定理的内容是:
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方. 2.两点之间, 线段最短.
2019年10月15日7时
4
44分
回顾与思考
1.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则∆ABC的面积为 120 。
如何判断一个三角形为直角三角形的方法 是： 较短的两边平方和等于最长边的平方。 2.两点之间 线段 最短。
2019年10月15日7时
21
44分
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面, 并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度, 你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设 计方案?
A
图（1） 2019年10月15日7时
44分
2. 有两棵树,一棵 高8米,另一棵高2 米,两树相距8米, 一只小鸟从一棵
A 6 6
树的树梢飞到另 8 米
一棵树的树梢,至
CC
8
少飞了 10 米.
解:
如图所示,在Rt△ABC中,
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勾股定理的应用
教学目标
能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题 ．
在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问 题中抽象出直角三角形这一几何模型，
利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并 进一步求出未知边长．
教学重点 运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题 ．
教学难点 利用勾股定理解决实际问题 ．
三边上相似图形的面积关系
如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作正方形，然 后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半 径作圆，求三个圆的面积之间的关系．
三边上相似图形的面积关系
如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分 别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分 的面积．
已知两边和高求第三边
△ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求线段BC 的长和△ABC的面积．
已知两边和高求第三 边
1．已知三角形两边和第三边上的高，怎么求第三边 ？
坐标距离公式
如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标为（x，0） ，（0，y），你能求这两点之间的距离吗？
练习
2．如图，在平面直角坐标系中两点A（5，0）和B（0，4） ．求这两点之间的距离．
练习
如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一 个加固木条,则木条的长为________．
练习
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处 ，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折 断前的高度吗？
练习
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量 了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽 ，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能 解释这是为什么吗？
三边上相似图形的面积关系
如图，分别以Rt∆ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积
分别用
表示，猜想
之间有什么关
系？ 请加以说明．
数学来源与生活，同时又服务于我们的生活.数学就在我们 的身边，我们要能够学以致用．
需要列勾股方程求解的问题
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸
，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
分析：
可设AB=x,则AC=x+1，
有
，
可列方程，得Βιβλιοθήκη ，通过解方程可得．
利用勾股定理列方 程
什么样的问题需要列勾股方程 ？
怎么列勾股方程解决问题？
需要列勾股方程求解的问题
荷花问题 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证
：
．
构造等腰三角形
如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个 顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x 轴上的顶点坐标．
将军饮马问 题 如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离
分别为AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6，若牧 童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处 饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
例题
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这 时AO 为2.4米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯 子底端B也外移0.5米吗？
练习
1．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的 AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m，求A，B两 点间的距离（结果取整数）．
需要列勾股方程求解的问题
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两 村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
需要列勾股方程求解的问题
矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上F处，已知AB=8， BC=10，求EF的长．
知识回顾
勾股定理
已知一个直角三角形的两边， 应用勾股定理可以求出第三边， 这在求距离时有重要作用．
例题
一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股 定理，得
AC= ≈2.24． 因为 大于木板的宽2.2 m，所 以 木板能从门框内通过．
将军饮马问题
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为 AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6，若牧童从A处将牛 牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短 ？最短路程是多少？
总结
运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的直角 三角形．
在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条边是直角边 ，哪一条是斜边．
已知三边求高
在△ABC中，AD为BC边上的高，已知AB=15，BC=30， AC=20，求BD的长？
弦图问题
在直线L上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的
三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的
面积依次是
，求
=______
．
证明三边之间的平方关系
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
教学目标
能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题 ．
在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问 题中抽象出直角三角形这一几何模型，
利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并 进一步求出未知边长．
教学重点 运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题 ．
教学难点 利用勾股定理解决实际问题 ．
三边上相似图形的面积关系
如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作正方形，然 后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半 径作圆，求三个圆的面积之间的关系．
三边上相似图形的面积关系
如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分 别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分 的面积．
已知两边和高求第三边
△ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求线段BC 的长和△ABC的面积．
已知两边和高求第三 边
1．已知三角形两边和第三边上的高，怎么求第三边 ？
坐标距离公式
如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标为（x，0） ，（0，y），你能求这两点之间的距离吗？
练习
2．如图，在平面直角坐标系中两点A（5，0）和B（0，4） ．求这两点之间的距离．
练习
如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一 个加固木条,则木条的长为________．
练习
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处 ，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折 断前的高度吗？
练习
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量 了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽 ，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能 解释这是为什么吗？
三边上相似图形的面积关系
如图，分别以Rt∆ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积
分别用
表示，猜想
之间有什么关
系？ 请加以说明．
数学来源与生活，同时又服务于我们的生活.数学就在我们 的身边，我们要能够学以致用．
需要列勾股方程求解的问题
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸
，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
分析：
可设AB=x,则AC=x+1，
有
，
可列方程，得Βιβλιοθήκη ，通过解方程可得．
利用勾股定理列方 程
什么样的问题需要列勾股方程 ？
怎么列勾股方程解决问题？
需要列勾股方程求解的问题
荷花问题 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证
：
．
构造等腰三角形
如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个 顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x 轴上的顶点坐标．
将军饮马问 题 如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离
分别为AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6，若牧 童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处 饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
例题
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这 时AO 为2.4米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯 子底端B也外移0.5米吗？
练习
1．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的 AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m，求A，B两 点间的距离（结果取整数）．
需要列勾股方程求解的问题
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两 村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
需要列勾股方程求解的问题
矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上F处，已知AB=8， BC=10，求EF的长．
知识回顾
勾股定理
已知一个直角三角形的两边， 应用勾股定理可以求出第三边， 这在求距离时有重要作用．
例题
一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股 定理，得
AC= ≈2.24． 因为 大于木板的宽2.2 m，所 以 木板能从门框内通过．
将军饮马问题
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为 AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6，若牧童从A处将牛 牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短 ？最短路程是多少？
总结
运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的直角 三角形．
在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条边是直角边 ，哪一条是斜边．
已知三边求高
在△ABC中，AD为BC边上的高，已知AB=15，BC=30， AC=20，求BD的长？
弦图问题
在直线L上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的
三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的
面积依次是
，求
=______
．
证明三边之间的平方关系
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，