概率论第3章

(3)求条件概率：
P{Y 1 | X 1}, P{Y 3 | X 1}
42
42
18
第3章 多维随机变量及其分布
解：已知联合概率密度为
cx2 y, x2 y 1 f (x, y) 0, 其他
边缘概率密度分别为
f
X
(
x)
1 2
cx2
(1
x
4
),
0,
1 x 1 其他
fY
(
y)
2 3
cy
eydy ex ,
x
x0
fY ( y)
f (x, y)dx
y e ydx ye y ,
0
y0
习题8
12
第3章 多维随机变量及其分布
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
cx2 y, x2 y 1 f (x, y) 0, 其他
(1) 确定常数c; (2) 求边缘概率密度.
习题9
x
1) 2
2y 1 (1/ 2)4
0,
32 y ， 15
1 y 1 4 其他
21
第3章 多维随机变量及其分布
(3)
习题13
P{Y
1|X 4
1} 2
1/ 4
fY|X ( y,1/ 2)dy
1 32 ydy 1 1/ 4 15
3
1
1 32
7
P{Y | X 4
} 2
3/4 fY|X ( y,1/ 2)dy
解(1)
z 0
f
(z
y, y)dy
z2,
0 z 1
fZ (z)
f (z y, y)dy
1 f (z y, y)dy z(2 z),
z1 0,
1 z 2 其他
YX
y=z
y=z-1
1
0
1
2Z
25
第3章 多维随机变量及其分布
21(2) Z=XY的概率密度
习题21(2)
解：
fZ (z)
其他
20
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
(2)
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
cx2 y
1 2
cx2
(1
x
4
)
1
2
y x
4
，x
2
y 1
0,
其他
fY|X ( y |
x
1) 3
2y 1 (1/ 3)4 0,
81y ， 40
1 y 1 9 其他
fY|X ( y |
(1) 解：根据概率密度的归一性要求可得
1
dx dyf (x, y)
1
dx
1
dycx2 y
4c
c 21
1 x2
21
4
13
第3章 多维随机变量及其分布
(2) 解：根据边缘概率密度的定义可得
习题9(2)
f X (x)
f
(
x,
y)dy
cx2
0,
1 ydy 1 cx2 (1 x4 ),
m!
m!
n
n e14 (7.14)m (6.86)nm
P{X n} P{X n,Y m}
m0
m0
m!(n m)!
n e14
n! (7.14)m (6.86)nm e1414n
m0 n!m!(n m)!
n!
15
第3章 多维随机变量及其分布
11(2)求条件分布律
习题11
已知联合分布律：
m}
Cnm pm (1
p)nm
,
习题11
p 0.51
则 P{Y m | X 20} C2m0 pm (1 p)20m , p 0.51
17
第3章 多维随机变量及其分布
13. 在第9题中
习题13
(1)求条件概率密度 f X|Y (x | y)，特别，写出Y=1/2时X 的条件概率密度。
(2)求条件概率密度 fY|X ( y | x) ，特别，分别写出当 X=1/3, X=1/2时的Y的条件概率密度。
0
2
1
3
1
3
(2) P{X 1,Y 3} dx dyf (x, y) dx dyf (x, y) 3k 3 / 8
0
2
(3) P{X 1.5}
1.5
dx
dyf (x, y)
1.5
dx
4
27 27
dyf (x, y) k
Y
0
2
4 32
(4) 4
2
P{X Y 4}
x2
2
1 x 1 其他
fY ( y)
f
(
x,
y)dx
cy
y x2dx 2 cy5/2 ,
y
3
0,
0 y 1 其他
14
第3章 多维随机变量及其分布
习题11
11. 以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X,Y的
联合分布律为
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
习题2(2)
2(2) 在(1)中求P{X＞Y},P{Y=2X},P{X+Y=3},P{X＜3-Y}.
X0 Y
0
0
1
2
3 P{Y=n}
0 3/35 2/35 5/35
1
0 6/35 12/35 2/35 20/35
2 1/35 6/35 3/35 0 10/35 P{X=m} 1/35 12/35 18/35 4/35 1
概率论与数理统计
作业习题解答
教材：盛骤 等《概率论与数理统计》 第4版. 高等教育出版社, 2008
第3章 多维随机变量及其分布
习题2(1)
2(1)盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球。以X表示取 到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求X,Y的联合分布律。
解： 联合分布律为
P{X
1
1/8 1/4 0 3/8
2
0
1/4 1/8 3/8
3
0
0 1/8 1/8
P{X=i} 1/4 1/2 1/4 1
11
第3章 多维随机变量及其分布
8. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
e y , 0 x y
f (x, y) 0,
其他
求边缘概率密度.
解： fX (x)
f (x, y)dy
(1)求边缘分布律；(2)求条件分布律；
m 0,1, 2,L , n;
n 0,1, 2,L
nm
(3)特别，写出当X=20时，Y的条件分布律
解：(1)根据边缘分布律的计算式
e14 (7.14)m (6.86)nm
P{Y m} P{X n,Y m}
nm
nm
m!(n m)!
e14 (7.14)m e6.86 e7.14 (7.14)m
f (x, y) f X (x) fY ( y)
所求概率计算如下：
P{X Y} G f (x, y)dxdy
Y
G
O
y=x
x 0, y 0
G
:
y
x
X
5
第3章 多维随机变量及其分布
P{X Y} G f (x, y)dxdy
y
dy
0
0
dxf X
(x)
fY
( y)
dy
0
y
0 dxf X
1 | x |
f
(x,
z )dx x
11 (x
zx
0,
z )dx x
2(1 z),
0 z 1 其他
X
x=z
1
0
1
Z
26
第3章 多维随机变量及其分布
习题23
23. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概
率密度为
tet , t 0 f (t)
0, t 0
设各周的需求量相互独立. 求(1)两周，(2)三周的 需求量的概率密度.
3
第3章 多维随机变量及其分布
3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为
习题3
k(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
f (x, y) 0,
其他
(1)确定常数k；(2)求P{X＜1,Y＜3}；(3)求P{X＜1.5}；(4)求P{X+Y≤4}
解：根据概率密度的性质和含义
2
4
(1) dx dyf (x, y) 1 8k 1 k 1/ 8
1 ex , x 0
FX
(x)
F
(x,
y
)
0,
其他
习题5
1 e y , y 0
FY
(
y)
F
(
x
,
y)
0,
其他
9
第3章 多维随机变量及其分布
习题6
6. 将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现的H的
次数，以Y表示3次中H出现的次数。求X,Y的联合
分布律以及(X, Y)的边缘分布律。
解：根据乘法定理
m,Y
n}
C3mC2nC24mn C74
,
m
0,1, 2,3;
n
0,1, 2
X0 Y
0
0
1
0
2 1/35
P{X=m} 1/35
1
2
0 6/35 6/35 12/35
3/35 12/35 3/35 18/35
3 P{Y=n}
2/35 5/35 2/35 20/35
0 10/35 4/35 1
2
第3章 多维随机变量及其分布
解：先计算两个边缘概率密度
x
f X (x)
f (x, y)dy
dy 2x,
x
0 x 1
习题14
1
fY (y)
f (x, y)dx
dx 1 | y |,
| y|
| y |1
y
y x 条件概率密度为
1
f (x, y) 1
fY|X ( y | x)
, fX (x) 2x
0 x 1, | y | x
(x)
fY
( y)
0dyFX ( y) fY ( y)
0dxFX (x) fY (x)
得证。
习题4(1)
因为X是非负的， 故其分布函数为
x
FX (x) 0 f X (t)dt
6
第3章 多维随机变量及其分布
习题4(2)
4. 设X, Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独 立. (2) 设X,Y相互独立，其概率密度分别为
G
dy
0
dx e y
1x2 y
0
12
1 1 2
Y
y=x
G
O
X
x 0, y 0
G
:
y
x
8
第3章 多维随机变量及其分布
5. 设随机变量(X,Y)具有分布函数
1 ex e y exy , x 0, y 0,
F(x, y) 0,
其他
求边缘分布函数.
解：根据二维连续型随机变量边缘分布函数的定义式
5
/
2
,
0 y 1
0,
其他
习题13
19
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
(1)
f X|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
cx2 y
2 3
cy
5
/
2
3 x2 y3/ 2，x2 2
y 1
0,
其他
f X |Y
(x
|
y
1) 2
3
x2
( 1 )3/2
2 2
0,
3
2x2，x2 1 2
P{X
n,Y
m}
e14 (7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e1414n n!
Cnm pm (1
p)nm
边缘分布律： P{X n} e1414n ， P{Y m} e7.14 (7.14)m
n!
m!
根据条件分布律的计算式可得：
(泊松分布)
P{X n | Y m} P{X n,Y m} e6.86 (6.86)nm
f
X
(
x)
1e1x
0,
,
x0 其他
求P{X<Y}.
fY
(
y)
2e2
0,
y
, y0 其他
(2) 解：联合概率密度为
f
(x, y)
f
X
(
x)
fY
(
y)
12e 1x2 y
0,
,
x 0, y 0 其他
7
第3章 多维随机变量及其分布
习题4(2)
所求概率计算如下：
P{X Y}
f (x, y)dxdy
0
1
x
1
f X |Y (x | y)
f (x, y) 1 , fY ( y) 1 | y |
| y | 1, | y | x 1
y x
24
第3章 多维随机变量及其分布
习题21
21. 设随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
x 0,
y,
0 x 1, 0 y 1, 其他
分别求(1)Z=X+Y,(2)Z=XY的概率密度。
2
dx
4x dy f (x, y) 16 k 2
0
2
33
0
2
4X
4
第3章 多维随机变量及其分布
习题4(1)
4. 设X, Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独 立.
(1) 证明
P{X Y} 0FX (x) fY (x)dx
其中FX(x)是X的分布函数，fY(y)是Y的概率密度.
(1)
证：因为相互独立，故联合概率密度为
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i}
0, j i or j i 2
1 2
C2i
(
1 2
)i
(1
1 2
)2i
,
i 0,1,2; j i or i 1
10
第3章 多维随机变量及其分布
习题6
联合分布律表(含边缘分布)
X
0
1
2 P{Y=j}
Y
0
1/8
0
0 1/8
ydy
3/ 4 15
15
22
第3章 多维随机变量及其分布
14. 设随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(x,
y)
1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其他
求条件概率密度 fY|X ( y | x), f X|Y (x | y)
y
yx
1
0
1
x
1
y x
习题14
23
第3章 多维随机变量及其分布
P{Y m}
(n m)!
P{Y
m|
X
n}
P{X n,Y P{X n}
m}
Cnm pm (1
p)nm
p 7.14 /14 0.51