高二数学(文)期末试卷及答案
陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题(含答案解析)
陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．若实数x ，y 满足约束条件020x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且354a b +=，598a b +=，则47a b +=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知()110m a a a=++>，()31xn x =<，则m ，n 之间的大小关系是（）A ．m n >B ．m n <C ．m n=D ．m n≤5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4,30a b A ===︒，则B =（）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒6．若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，则a b +=（）A ．2B ．0C ．1-D ．2-7．抛物线()220x py p =>上一点M 的坐标为()2,1-，则点M 到焦点的距离为（）A ．3B ．2C ．1D ．17168．函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，令(2)a f ='，(4)b f ='，(4)(2)2f f c -=，则下列数值排序正确的是（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a<<9．已知椭圆221(0)y x m m+=>的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m =（）A ．2B ．1C ．14D ．410．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，以下结论：①()f x 在区间(2,3)-上有2个极值点②()f x '在=1x -处取得极小值③()f x 在区间(2,3)-上单调递减④()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0正确的序号是（）A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④11．函数()sin e xxf x =在[],ππ-上大致的图象为（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()e xf x '<，且()22e 2f =+，则不等式()ln 2f x x >+的解集是（）A ．()20,eB ．()0,2C ．()2,e-∞D ．(),2-∞二、填空题13．若命题“x ∃∈R ，22x m ->”是真命题，则实数m 的取值范围是______.14．已知直线1l ：()2100mx y m ++=>，与双曲线C ：2214x y -=的一条渐近线垂直，则m =__________.15．设{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且248,,a a a 成等比数列，则1291011a a a a ++= ___16．已知钝角三角形的三边a =k ，b =k +2，c =k +4，则k 的取值范围是___________.三、解答题17．设2:3,:11180p a x a q x x <<-+≤．(1)若1a =，“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()29f x x x =+-.(1)解不等式()15f x <；(2)若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围.19．如图，已知平面四边形ABCD ，45A ∠=︒，75ABC ∠=︒，30BDC ∠=︒，2BD =，CD =（1）求CBD ∠；（2）求AB 的值.20．已知函数()2()4(),R f x x x a a =--∈且(1)0f '-=．(1)求a 的值；(2)讨论函数()f x 的单调性；(3)求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A -，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在实数m ，使直线:l y x m =+与椭圆有两个不同的交点M 、N ，并使||||AM AN =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；(2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．参考答案：1．D【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇒++=-+⇒=-⇒≤，所以必要性不成立；当1,2a b ==-时，满足0ab <，但||||||a b a b +≠-，所以必要性不成立；所以||||||a b a b +=-是0ab <的既不充分也不必要条件.故选:D ．2．A【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此来求得z 的最小值.【详解】020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1A ，平移基准直线20x y -=到可行域边界()1,1A 处时，2z x y =-取得最小值1211-⨯=-.故选：A3．B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为354a b +=，598a b +=，所以355912a b a b ++=+，即355912a a b b ++=+，根据等差数列的性质可知3559472212a a b b a b ++=+=+，所以476a b +=.故选:B.4．A【分析】利用基本不等式及其指数函数的单调性即可求解.【详解】∵0a >，∴1113m a a=++≥=，当且仅当1a =时，等号成立,即3m ≥，又∵1x <，∴1333x n =<=，即3n <，则m n >，故选：A .5．D【分析】根据4,30a b A ===︒，利用正弦定理求解.【详解】解：在ABC 中，4,30a b A ===︒，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 30sin 42b A B a ⋅===，所以B =60︒或120︒，故选：D 6．A【分析】求出导数，将0x =代入后，可得1a =，将()0,b 代入10x y -+=后可得1b =，进而得到a b +．【详解】由2y x ax b =++得2y x a '=+，又曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，故当0x =时，1y a '==又点()0,b 在10x y -+=上，则1b =，故2a+b =．故选：A ．7．B【分析】将点M 坐标代入抛物线可得p ，则所求距离为12p+.【详解】()2,1M - 在抛物线上，42p ∴=，解得：2p =，∴点M 到焦点的距离为122p+=.故选：B.8．C【分析】利用导数的几何意义判断.【详解】由函数图象知：()()()42(2)442f f f f -''<<-，所以a c b <<，故选：C 9．D【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解.【详解】由条件可知，2a m =，21b =，且22=⨯，解得：4m =.故选：D 10．B【分析】根据导函数()f x '的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断①②③，对于④：由于()f x 的图像在0x =处的切线斜率为()0f '，从而可由导函数的图像判断.【详解】根据()f x '的图像可得，在()2,3-上，()0f x '≤，所以()f x 在()2,3-上单调递减，所以()f x 在区间()2,3-上没有极值点，故①错误，③正确；由()f x '的图像可知，()f x '在()2,1--单调递减，在()1,1-单调递增，故②正确；根据()f x '的图像可得()00f '<，即()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0，故④正确.故选：B.11．B【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在[]0,π上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的[]π,πx ∈-，()()()sin sin eexxx x f x f x ---==-=-，所以，函数()sin ex xf x =在[],ππ-上的图象关于原点对称，排除AC 选项，当0πx ≤≤时，()sin ex xf x =，则()πcos sin 4e e xxx x xf x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==-，因为ππ3π444x -≤-≤，由()0f x '<可得π3π044x <-≤，则ππ4x <≤，由()0f x ¢>可得ππ044x -≤-<，则π04x ≤<，所以，函数()f x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，排除D 选项.故选：B.12．A【分析】设()()e 2xg x f x =-+，求导可得()g x 在R 上单调递减，再根据()ln 2f x x >+转化为()ln 4g x >，再结合()g x 的单调性求解即可.【详解】设()()e 2x g x f x =-+，则()()e xg x f x '-'=.因为()e xf x '<，所以()e 0x f x '-<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减.不等式()ln 2f x x >+等价于不等式()ln 24f x x -+>，即()ln 4g x >.因为()22e 2f =+，所以()()222e 24g f =-+=，所以()()ln 2g x g >.因为()g x 在R 上单调递减，所以ln 2x <，解得20e x <<故选：A 13．(),2-∞【分析】求得22y x =-的最大值，结合题意，即可求得结果.【详解】22y x =-的最大值为2，根据题意，2m >，即m 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞.14．4【分析】求得双曲线C 的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.【详解】对双曲线C ：2214x y -=，其渐近线方程为12y x =±，对直线1l ：()2100mx y m ++=>，且斜率为02m-<，根据题意可得1122m -⨯=-，解得4m =.故答案为：4.15．910【详解】分析：由题意先求出{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.详解：∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴（1+3d ）2=（1+d ）（1+7d ），解得d=1，或d=0（舍），∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ．∴129101111111111191112239102239101010a a a a ++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯故答案为910点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16．26k <<【分析】先解不等式cos 0C <，再结合两边之和大于第三边求解.【详解】解：∵c b a >>，且ABC 为钝角三角形，∴C ∠为钝角，∴()()()()222222224412cos 022222k k k a b c k k C ab k k k k ++-++---===<++，∴24120k k --<，解得26k -<<，由两边之和大于第三边得24k k k ++>+，∴2k >.∴26k <<.故答案为：26k <<17．(1){23}x x ≤<(2){0a a ≤或23}a ≤≤【分析】（1）先分别求得P 为真命题和q 为真命题的实数x 的取值范围，再根据p 且q 为真命题，利用集合的交集运算求解；（2）记{3}C x a x a =<<，根据p 是q 的充分不必要条件，由C B Ü求解.【详解】（1）解：当1a =时，P 为真命题，实数x 的取值范围为{13}A x x =<<，211180(2)(9)029x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，q 为真命题，实数x 的取值范围为{}29B x x =≤≤，∵p 且q 为真命题所以实数x 的取值范围为{23}A B x x ⋂=≤<；（2）记{3}C x a x a =<<∵p 是q 的充分不必要条件所以C BÜ当0a ≤时，C =∅，满足题意；当0a >时，239a a ≥⎧⎨≤⎩解得23a ≤≤；综上所述：实数a 的取值范围为{0a a ≤或23}a ≤≤18．(1){}311x x <<；(2)9a >.【分析】（1）根据零点分段法可得()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，然后分段解不等式，即得；（2）由题可得()min a f x >，然后求函数的最小值即得.【详解】（1）因为函数()29f x x x =+-，所以()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，∵()15f x <，所以931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩，解得311x <<，所以原不等式的解集为{}311x x <<；（2）由()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，可得函数()f x 在(),9-∞上单调递减，在()9,+∞上单调递增，当9x =时，函数()f x 有最小值为9，∴9a >.19．（1）60︒；（2.【分析】（1）由余弦定理求2BC ，根据勾股逆定理知90DCB ∠=︒，即可求CBD ∠.（2）由（1）得120ADB ∠=︒，应用正弦定理即可求AB 的值.【详解】（1）在△BCD 中，由余弦定理，有2222cos301BC BD CD BD CD =+-⋅︒=，222BC CD BD ∴+=，即90DCB ∠=︒，60CBD ∴∠=︒.（1）在四边形ABCD 中，756015ABD ∠=︒-︒=︒，∴120ADB ∠=︒，在△ABD 中，由正弦定理sin120sin 45AB BD =︒︒，则sin120sin 45BD AB ⋅︒=︒20．(1)12a =(2)调递增区间为4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)最大值为92，最小值为5027-【分析】(1)求导得2()324f x x ax '=--，代入(1)0f '-=，得可得答案；(2)由题意可得()(34)(1)f x x x '=-+，分别解()0f x '>，()0f x '<，即可得函数的单调递增、减区间；(3)根据导数的正负，判断函数在[2,2]-上的单调性，即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()2()4(),R f x x x a a =--∈，∴()22()2()4324f x x x a x x ax =-+-=--'，由(1)0f '-=，得3240a +-=，解得12a =；（2）解：由（1）可知2()34(34)(1)f x x x x x ==-'--+，解不等式()0f x '>，得43x >或1x <-，所以函数()f x 的单调递增区间为4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，解不等式()0f x '<，得413x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）解：当22x -≤≤时，函数()f x 与()f x '的变化如下表所示：令()0f x '=，解得43x =或=1x -，x[)2,1--=1x -41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭43x =4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为9(1)2f -=，(2)0f =；所以当=1x -时，函数()f x 取得极大值9(1)2f -=；又因为(2)0f -=，450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以当43x =时，函数()f x 取得极小值450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为92，最小值为5027-．21．(1)2213x y +=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；（2）首先求线段MN 的中垂线方程，根据点A 在中垂线上，求m ，并判断是否满足0∆>.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A -得1b =椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2a =a =所以椭圆的方程为2213x y +=（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点()()1122,,,M x y N x y ∵||||AM AN =所以，点A 在线段MN 的中垂线l '，下面求l '的方程联立方程2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩去y ，可得2246330x mx m ++-=由()222(6)443312480m m m ∆=-⨯⨯-=-+>，解得22m -<<1232mx x +=-设MN 的中点为()00,P x y ，有120003244x x m m x y x m +==-=+=则l '的方程为344m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭即2m y x =--由于点A 在直线MN 的中垂线l '上，解得2m =又∵22m -<<所以不存在实数m 满足题意．22．(1)1y x =-+或()2314y x =-(2)证明见解析【分析】（1）易知()1,0不在()f x 上，设切点()3000,1x x x -+，由导数的几何意义求出切线方程，将()1,0代入求出对应0x ，即可求解对应切线方程；（2）构造()()31cos 0g x x ax x x =-+->，求得()23sin g x x a x '=-+，再令()()u x g x '=，通过研究()u x '正负确定()g x '单调性，再由()g x '正负研究()g x 最值，进而得证.【详解】（1）由题，1a =时，()31f x x x =-+，()231f x x '=-，设切点()3000,1x x x -+，则切线方程为()()()320000131y x x x x x --+=--，该切线过点()1,0，则()()3200001311x x x x -+-=--，即3200230x x -=，所以00x =或032x =．又()01f =；()01f '=-；32328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32324f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．所以，切线方程为1y x =-+或()2314y x =-；（2）设()()31cos 0g x x ax x x =-+->，则()23sin g x x a x '=-+，令()()()23sin 0u x g x x a x x '==-+>，则()6cos u x x x '=+，可知π02x <<，时，()0u x '>；π2x ≥时，()0u x '>，故0x >时均有()0u x '>，则()u x 即()g x '在()0,∞+上单调递增，()0g a '=-，因为0a ≤时，则()00g a '=-≥，()()00g x g ''>≥，故()g x 在()0,∞+上单调递增，此时，()()00g x g >=．所以，当0a ≤时，对于任意0x >，均有()cos f x x >．。
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知点(3,0,4)A -，点A 关于原点的对称点为B ，则||AB =（ ） A ．25 B ．12C ．10D ．5【答案】C【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可. 【详解】因为点(3,0,4)A -关于原点的对称点为B ，所以(3,0,4)B -, 因此222||(33)(00)(44)10AB =--+-++=， 故选：C2．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．12【答案】B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.3．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）A ．13时~14时B ．16时~17时C ．18时~19时D ．19时~20时【答案】B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可 【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间 故选：B .【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题. 4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．332+D ．332+【答案】A【分析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解. 【详解】由三视图还原原几何体如图：其中PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥，1PA AB AC ===，则该四面体的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A.5．下面三种说法中，正确说法的个数为（ ） ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈．A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A【分析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确； 两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 若M α∈，M β∈，l αβ=，可知M 必在交线上，则M l ∈，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的. 故选：A6．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【分析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K 为1BB 的四等分点，L 为1CC 的中点，M 为1DD 的四等分点，1,2BK CL ==， 取1AA 的中点N ，易证//KN LM ，则异面直线AK 和LM 所成角即直线AK 和KN 所成角AKN ∠， 在AKN △中，2AK NK ==2AN =， 故90AKN ∠= 故选：D7．在区间0,1内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是（）．A．45B．15C．1725D．825【答案】C【分析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于65的区域，进而根据面积比求概率. 【详解】由题意知：若两个数分别为,(0,1)x y∈，则65x y<+<，如上图示，阴影部分即为65x y<+<，∴两数之和小于65的概率144117255125EBOD AECEBODS SPS-⨯⨯-===.故选：C8．已知实数x、y满足4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11yzx-=+的最大值为（）A．1B．12C．13D．2【答案】A【分析】作出可行域，利用代数式11yzx-=+的几何意义，利用数形结合可求得11yzx-=+的最大值.【详解】作出不等式组4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立340y x y =⎧⎨+-=⎩可得13x y =⎧⎨=⎩，即点()1,3A ，代数式11y z x -=+的几何意义是连接可行域内一点(),M x y 与定点()1,1P -连线的斜率， 由图可知，当点M 在可行域内运动时，直线MP 的倾斜角为锐角， 当点M 与点A 重合时，直线MP 的倾斜角最大，此时z 取最大值，即max 31111z -==+. 故选：A.9．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大的．”如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．1或7-D ．2或7- 【答案】A【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，设圆心C 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】解：设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b b a b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍去），因此，点P 的横坐标为1，故选：A.10．已知点()2,3A -，()3,2B --，直线:10l mx y m --+=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．34m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或34m ≥ C ．344m -≤≤ D ．344m -≤≤【答案】B【分析】由()11y m x =-+可求出直线l 过定点()1,1P ，作出图象，求出PA k 和PB k ，数形结合可得PA m k ≤或PB m k ≥，即可求解.【详解】由10mx y m --+=可得：()11y m x =-+，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l ：10mx y m --+=过定点()1,1P ，作出图象如图所示：31421PA k --==--，213314PB k --==--，若直线l 与线段AB 相交，则4m ≤-或34m ≥， 所以实数m 的取值范围是4m ≤-或34m ≥， 故选：B11．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm【答案】C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为221068d =-=cm ． 故选：C ．【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．12．已知圆()22:22C x y -+=，P 为圆C 外的任意一点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，使得PA PB ⊥，其中A 、B 为切点．在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为（ ） A ．2π B ．πC ．22πD ．2π【答案】D【分析】连接PC 、AC 、BC ，分析可知四边形PACB 为正方形，求出点P 的轨迹方程，分析可知线段PA 所扫过图形为是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接PC 、AC 、BC ，由圆的几何性质可知AC PA ⊥，BC PB ⊥，又因为PA PB ⊥且AC BC =，故四边形PACB 为正方形，圆心()2,0C -2，则2PC ，故点P 的轨迹方程为()2224x y -+=，所以，线段PA 扫过的图形是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环， 故在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为()2422πππ-⨯=.故选：D. 二、填空题13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．【答案】9【详解】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ， 乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据． 14．过圆222440x y x y +-+-=内的点()3,0M 作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最长，则直线l 的方程是______． 【答案】30x y --=【分析】当直线l 过圆心时满足题意，进而求出答案.【详解】圆的标准方程为：()()22:129C x y -++=，圆心()1,2C -，当l 过圆心时满足题意，02131CM k +==-，所以l 的方程为：330y x x y =-⇒--=. 故答案为：30x y --=.15．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个n 次多项式写成n 个一次式相组合的形式，如可将5432()421022f n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)22f n n n n n n =---++，由此可得(5)f =__________． 【答案】2022【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】(5)((((51)54)52)510)522(((204)52)510)522((802)510)522(39010)5222000222022.f =-⋅-⋅-⋅+⋅+=-⋅-⋅+⋅+=-⋅+⋅+=+⋅+=+=故答案为：202216．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面正方形ABCD 的中心，点P 在侧面正方形11BB C C 的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则点P 的轨迹的长度为______．【答案】5【分析】取1BB 中点Q ，利用线面垂直的判定方法可证得1D O ⊥平面OQC ，由此可确定P 点轨迹为CQ ，再计算即可.【详解】取1BB 中点Q ，连接1,OQ D Q ，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，1DD OC ∴⊥，又四边形ABCD 为正方形，OC BD ∴⊥，又1DD BD D =，1,DD BD ⊂平面11BDD B ，OC ∴⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ，1D O OC ∴⊥；由题意得：1426DO +=123OQ =+=1813D Q +=， 22211D O OQ D Q ∴+=，1D O OQ ∴⊥；,OQ OC ⊂平面OQC ，OQ OC O =，1D O ∴⊥平面OQC ，1D O OP ⊥，P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动，P ∴点轨迹为线段CQ ；2222215CQ BC BQ ∴=++5三、解答题17．有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.【答案】（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中a的值；（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数．【详解】（1）由频率分布直方图得：++++⨯=，(0.0100.0150.0200.015)101aa=．解得0.040∴图中a的值为0.040．-+⨯=，（2）竞赛分数不少于70分的频率为：1(0.0100.015)100.75∴估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为10000.75750⨯=．（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．0.01010550.01510650.04010750.02010850.015109576.5【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，1AC 与1A C 交于点D ，E 为1BC 的中点，(1)求证：//DE 平面111A B C ； (2)求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 且四边形11ACC A 为平行四边形，又11AC A C D =，则D 为1AC 的中点，又E 为1BC 的中点，故//DE AB ，即：11//DE A B ，且DE ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， 所以//DE 平面111A B C ； (2)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 则1AA BC ⊥，且AC BC ⊥，1AA AC A =，1AA AC ⊂，平面11ACC A ，故BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AC CC =，则四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，且1BC AC C =， 1BC A C ⊂，平面1A BC ，故1AC ⊥平面1A BC ，因为1AC ⊂平面1AC B ，所以平面1AC B ⊥平面ABC .19．己知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y．(1)当直线ll 与圆C 相交所得的弦长；(2)设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【答案】(1)(2)y x =或y x =-【分析】（1）、由题意可知直线l的方程为y =，圆C 的圆心为()0,3求出圆心到直线l 的距离，根据勾股定理即可求出l 与圆C 相交所得的弦长；（2）、设()11,A x y ，因为A 为OB 的中点，所以()112,2B x y ，又因为A ，B 均在圆C 上，将A ，B 坐标代入圆C 方程，即可求出A 点坐标，即可求出直线l 的方程． (1)由题意：直线l 过坐标原点O ，且直线l直线l的方程为y =， 圆C 的方程为22640x y y∴圆C 的方程可化为：()2235x y +-=∴圆C 的圆心为()0,3，半径为R =∴圆C 的圆心到直线l：y =的距离为d ==l ∴与圆C相交所得的弦长为L =(2)设()11,A x y ，A 为OB 的中点 ∴()112,2B x y ，又A ，B 均在圆C 上，()()2211122111640221240x y y x y y ⎧+-+=⎪∴⎨+-+=⎪⎩2211122111640441240x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩ 2211122111640310x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩1111x y =±⎧∴⎨=⎩ ∴()1,1A 或()1,1A -∴直线l 的方程y x =或y x =- 20．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：()()71i ii x xy y =--=14.00∑，()7217.08ii y y =-=∑14.10．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ0.5 2.3y x =+；失效费为6.3万元． 【分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数r 可得结果；（2）根据公式求出ˆb和ˆa 可得y 关于x 的线性回归方程，再代入8x =可求出结果. 【详解】（1）由题意，知123456747++++++==x，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428i i x x=-=-+-+-+-+-+-+-=∑．∴结合参考数据知：14.000.9914.10r =≈≈．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）∵()()()7172114ˆ0.528iii i i x x y y bx x==--===-∑∑， ∴ˆ 4.30.54 2.3ˆy abx -==-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3yx =+， 将8x =代入线性回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y=⨯+=万元， ∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元．21．已知正三棱柱底面边长为26，M 是BC 上一点，1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)证明：M 是BC 的中点； (2)求点C 到平面1AMC 的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)2.【分析】（1）证明出AM ⊥平面11BB C C ，可得出AM BC ⊥，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；（2）计算出三棱锥1C ACM -的体积以及1AC M 的面积，利用等体积法可求得点C 到平面1AMC 的距离. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -，1CC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则1AM CC ⊥， 因为1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则1AM MC ⊥， 111CC MC C =，则AM ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，所以，AM BC ⊥，因为ABC 为等边三角形，故点M 为BC 的中点. (2)解：因为ABC 是边长为26266032AM == 1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则1CC BC ⊥，即1CC CM ⊥，所以，221118623CC C M CM =-=-=116323322ACM S CM AM =⋅==△11113323633C ACM ACM V S CC -∴=⋅=⨯=△，设点C 到平面1AMC 的距离为d ，(12192AC M S =⨯=△，11119633C AC M AC MV Sd d -∴=⋅=⨯=，解得2d =.因此，点C 到平面1AMC 的距离为2.22．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 在x 轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于5π． (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点()0,3M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)()2214x y -+=； (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，可得出a <，根据已知条件可得出关于实数a 的方程，求出a 的值，可得出r 的值，进而可得出圆C 的标准方程； （2）分析可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与圆C 的方程联立，由0∆>可求得k 的取值范围，列出韦达定理，分析可得OD OA OB =+，可求得点D 的坐标，由已知可得出OD MC k k =，求出k 的值，检验即可得出结论. (1)解：设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，则0r <<375a r +=，由勾股定理可得ra <<由题意可得375a a ⎧+=⎪⎨⎪<⎩1a =，则2r =，因此，圆C 的标准方程为()2214x y -+=. (2)解：若直线l 的斜率不存在，此时直线l 与y 轴重合，则A 、B 、O 三点共线，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22314y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可得()()2216260k x k x ++-+=，()()22622410k k ∆=--+>，解得k <或k > 由韦达定理可得122261kx x k -+=+，12261x x k =+，则()121222661k y y k x x k ++=++=+， 因为四边形OADB 为平行四边形，则()1212222626,,11k k OD OA OB x x y y k k -+⎛⎫=+=++= ⎪++⎝⎭， 因为//OD MC ，则30301OD MC k k -===--，则26332613k k k k ++==---，解得34k =，因为34k k ⎧⎪∉<⎨⎪⎩或k >⎪⎭， 因此，不存直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行.。
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
高二数学上学期期末考试试卷(文科)(共5套,含参考答案)
高二上学期期末考试数学试题（文）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 已知,,a b c 满足a b c <<，且0ac <，则下列选项中一定成立的是（ ）A.ab ac <B.()0c a b ->C.22ab cb <D.()220a cac ->2.若不等式202mx mx ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.2m > B.2m < C. 0m <或2m >D.02m <<3．2014是等差数列4，7，10，13，…的第几项( )． A ．669B ．670C ．671D ．6724.△ABC 中，a=80,b=100,A=450则三角形解的情况是（ ） A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为(－12，13)，则a ＋b 的值是( )． A ．10B ．－10C ．14D ．－146.等差数列{an}中s 5=7,s 10=11,则s 30=( ) A 13 B 18 C 24 D 317.△ABC 中a=6,A=600 c=6 则C=( ) A 450, B 1350C 1350,450D 6008.点（1,1）在直线ax+by-1=0上，a,b 都是正实数，则ba 11+的最小值是（ ）A 2B 2+22C 2-22D 4 9.若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a|＝1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件10.下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”； B ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”； C ．在ABC ∆中，“B A >”是“B A 22cos cos <”的充要条件； D ．“2x ≠或1y ≠”是“3x y +≠”的非充分非必要条件.11中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A ． +=1B ． +=1C ．+=1 D ．+=112.抛物线x 2=4y 的焦点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（0，﹣1）第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式31≤+xx 的解集是_____________ 14. 已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为_____. 15.在等比数列{a n }中，a 3a 7＝4，则log 2（a 2a 4a 6a 8）＝________.16.ABC ∆中，a 2-b 2 =c 2+bc 则A= .三、解答题17.已知函数()(2)()f x x x m =-+-(其中m>－2). ()22x g x =-. （I ）若命题“2log ()1g x ≥”是假命题，求x 的取值范围；（II ）设命题p ：∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0；命题q ：∃x ∈(－1，0)，f(x)g(x)<0. 若p q ∧是真命题，求m 的取值范围.18函数f(x)=3lnx-x 2-bx.在点（1，f （1））处的切线的斜率是0 （1）求b ，（2）求函数的单调减区间19.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos 2sin .2C B A -=（Ⅰ）求sin sin A B 的值；（Ⅱ）若3,2a b ==，求ABC ∆的面积.20. （本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(N )22n n S a n n n *+=--+∈ （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列｛n b ｝是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；21已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的短半轴长为1，离心率为（1）求椭圆C 的方程（2）直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，设直线l 的斜率为k ，M 在椭圆C 上移动时，作OH ⊥l 于H （O 为坐标原点），当|OH|=|OM|时，求k 的值． 22.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[03]x ∈，时，函数()y f x = 的图像恒在直线2y c =的下方，求c 的取值范围．答案一选择题、D D C B ． D D C B A .D A C二、填空题. {|0x x <或1}2x ≥ .3 4. 120017、.解：（I ）若命题“2log ()1g x ≥”是假命题，则()2log 1g x <即()2log 221,0222x x -<<-<，解得1＜x ＜2；（II ）因为p q ∧是真命题，则p,q 都为真命题，当x ＞1时，()22x g x =-＞0，因为P 是真命题，则f(x)<0，所以f(1)= ﹣(1+2)(1﹣m) ＜0，即m ＜1；当﹣1＜x ＜0时，()22x g x =-＜0，因为q 是真命题，则∃x ∈(－1，0)，使f(x) ＞0，所以f(﹣1)= ﹣(﹣1+2)( ﹣1﹣m) ＞0，即m ＞﹣1，综上所述，﹣1＜m ＜1. 18，（1）b=1 (2)(1,∞)19. 解：（Ⅰ）由条件得cos(B －A)=1－cosC=1+cos(B+A), 所以cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA －sinBsinA,即sinAsinB=12;（Ⅱ）sin 3sin 2A aB b ==，又1sin sin 2A B =，解得：sin 23A B ==，因为是锐角三角形，1cos ,cos 23A B ∴==，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=11sin 322262S ab C ∆+==⨯⨯⨯=. 略20．【答案】解：（Ⅰ）∵ 213122n n a S n n +=--+，…………………………①∴ 当1=n 时，121-=a ，则112a =-， …………………1分当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+，……………………②则由①-②得121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，…………………3分∴ 11(2)2n n b b n -=≥，又 11112b a =+=， ∴ 数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，…………………4分 ∴ 1()2n n b =. ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2n nn nb =． ∴ n n n nn T 221..........242322211432+-+++++=-,……………③ 1232221..........24232212--+-+++++=n n n nn T ,……………④……………8分 由④-③得n n n nT 221......2121112-++++=- 1122212212nn n n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--.……………………12分21、【解答】解：（1）椭圆C：=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，由题意可知b=1，由椭圆的离心率e==，a 2=b 2+c 2，则a=2∴椭圆的方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设直线l ：y=kx+m ，M （x 0，y 0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，整理得：（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令△=0，得m 2=4k 2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由韦达定理得：2x0=﹣，x02=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴丨OM丨2=x02+y02=x02+（kx+m）2=①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又|OH|2==，②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由|OH|=|OM|，①②联立整理得：16k4﹣8k2+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k2=，解得：k=±，k的值±．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（Ⅰ）a=-3，b=4（Ⅱ）（-∞，-1）∪（9，+∞）（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即6630241230a ba b++=⎧⎨++=⎩解得a=-3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜-1或c＞9，第一学期期末调研考试高中数学(必修⑤、选修1-1)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若p q ∧是假命题，则A ．p 是真命题，q 是假命题B ．,p q 均为假命题C ．,p q 至少有一个是假命题D ．,p q 至少有一个是真命题 2．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则该数列的第1项等于 A .27 B ．163 C ．812D ．8 3．已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ,1a =，b = 120=B ，则A 等于 A ．30或150 B ．60或120 C ．30 D ．60 4．曲线xy e =在点(1,)e 处的切线方程为（注：e 是自然对数的底）A . (1)x y e e x -=-B . 1y x e =+-C ．2y ex e =-D ．y ex =5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，表示的平面区域的面积是A ．41 B ．49 C ．29 D ．236．已知{}n a 为等差数列，1010=a ，前10项和7010=S ，则公差=d A .32- B .31- C . 31 D . 327．函数()f x 的导函数．．．()'f x 的图象如图所示，则 A ．1x =是()f x 的最小值点xB ．0x =是()f x 的极小值点C ．2x =是()f x 的极小值点D ．函数()f x 在()1,2上单调递增8. 双曲线22221(0,0)x y a bb a -=>>的一条渐近线方程是y =，则双曲线的离心率是A .B .2C . 3D .9．函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是 A . 1a <-B . 1a <C . 0a <D . 0a >10．已知点F 是抛物线x y =2的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，且3||||=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．43 B ．1 C ．45 D ．4711．已知直线2+=kx y 与椭圆1922=+my x 总有公共点，则m 的取值范围是 A ．4≥m B ．90<<m C ．94<≤mD ．4≥m 且9≠m12．已知定义域为R 的函数)(x f 的导函数是)(x f '，且4)(2)(>-'x f x f ，若1)0(-=f ，则不等式x e x f 22)(>+的解集为A ．),0(+∞B ．),1(+∞-C ．)0,(-∞D ．)1,(--∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“若24x =，则2x =”的逆否命题为__________．14．ABC ∆中，若AB =1AC =，且23C π∠=，则BC =__________.15．若1x >，__________. 16．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，若1ABF ∆是等边三角形，则椭圆C 的离心率等于________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，60B =︒． （Ⅰ）若2b ac =，请判断三角形ABC 的形状；（Ⅱ）若54cos =A ，3c =+，求ABC ∆的边b 的大小．18.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，4332=+a a （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知(21)n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为离心率e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当直线l 的倾斜角为4π时，求POQ ∆的面积．20.（本小题满分12分）某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？21.（本小题满分12分）设函数329()62f x x x x a =-+-． 在 （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若方程()0f x =有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行 的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，求N 的横坐标 的取值范围．x第一学期期末调研考试高中数学（必修⑤、选修1-1）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2x ≠，则24x ≠； 14．1 ； 15．15 ； 16． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ）由2222cos b a c ac B ac =+-⋅=，1cos cos 602B =︒=，……………………2分得0)(2=-c a ，即：c a =.………………………………………………………5分 又60B =︒，∴ 三角形ABC 是等边三角形. ……………………………………………………5分（Ⅱ）由4cos 5A =，得3sin 5A =，…………………………………………………………6分 又60B =︒，∴ sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=⋅+⋅314525=⨯+7分 由正弦定理得(3sin sin c Bb C+⋅===10分18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，∴43)(2132=+=+q q a a a ……………………………………………………1分 由432=+q q 解得：21=q 或23-（舍去）．…………………………………3分∴所求通项公式11121--⎪⎭⎫ ⎝⎛==n n n q a a ．………………………………………5分（Ⅱ）123n n T b b b b =++++即()0112123252212n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅------------①…………………………………6分①⨯2得 2()132123252212nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ -----②……………………7分①-②：()1121222222212n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--…………………………………8分9分()3223n n =--,……………………………………………………………………………11分 ()3232n n T n ∴=-+．………………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题得：22222c a a b c a ===+..................................................................2分 解得1a b ==， (4)分椭圆的方程为2212x y +=. (5)分（Ⅱ）(1,0)F ，直线l 的方程是tan (1)14y x y x π=-⇒=- (6)分由2222232101x y y y x y ⎧+=⇒+-=⎨=+⎩（*）…………………………………………………………………………7分设1122(,),(,)P xy Q x y ，（*）2243(1)160∆=-⨯⨯-=>………………………………………………………8分124||3y y ∴-===……………………………………………………10分121142||||12233OPQ S OF y y ∆∴=-=⨯⨯= POQ ∆的面积是23……………………………………………………….…………………………………………12分20. 解：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x ，y 亩，农场的总收益为z 万元，则 ………1分300,0.060.029,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩………① …………4分 目标函数为0.30.2z x y =+， ……………5分不等式组①等价于300,3450,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩可行域如图所示，……………………………7分 目标函数0.30.2z x y =+可化为z x y 523+-= 由此可知当目标函数对应的直线经过点M 时，目标函数z 取最大值．…………………9分 解方程组300,3450,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得75,225,x y =⎧⎨=⎩M 的坐标为(75,225)．……………………………………………………………………10分所以max 0.3750.222567.5z =⨯+⨯=．…………………………………………………11分 答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． ………………………………………………………………………………12分21. 解：（Ⅰ）/2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--，………………………………………2分令/()0f x >，得2x >或1x <；/()0f x <，得12x <<， …………………………4分∴()f x 增区间()1,∞-和()+∞,2；减区间是()2,1．………………………………………6分（Ⅱ）由（I ）知 当1x =时,()f x 取极大值5(1)2f a =-，………………………………7分 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-，………………………………………………8分因为方程()0f x =仅有三个实根.所以⎩⎨⎧<>0)2(0)1(f f …………………………………………10分解得：252<<a ， 实数a 的取值范围是5(2,)2．………………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离.……………………2分由抛物线的定义得12p=，即p =2. …………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠± (5)分由题知AF 不垂直于y 轴，可设直线:1(0)AF x sy s =+≠,()0s ≠,由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，………………………………6分 故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.…………………………………………………………………………………7分又直线AB 的斜率为221tt -，故直线FN 的斜率为212t t --，从而的直线FN :()2112t y x t -=--，直线BN :2y t=-， (9)分由21(1)22t y x t y t ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得N 的横坐标是2411N x t =+-，其中220,1t t >≠…………………………………10分1N x ∴>或3N x <-.综上，点N 的横坐标的取值范围是()(),31,-∞-+∞.…………………………………………………12分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.x绝密★启用前第一学期期末考试高二年级(文科数学)试题卷 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
2021-2022学年广西壮族自治区桂林市崔家中学高二数学文期末试卷含解析
2021-2022学年广西壮族自治区桂林市崔家中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( )A. B. C. D.参考答案：D由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：不同的报名方法的种数是.本题选择D选项.2. 设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行，∴a2=1，解得a=±1，当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行．当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行，a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键．3. 椭圆11x2+20y2=220的焦距为（）A．3 B．6 C．2D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．【解答】解：椭圆11x2+20y2=220化为：，椭圆的焦距2c=2=6．故选：B．4. 在下图中，直到型循环结构为（）参考答案：A5. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A．B．C．D．参考答案：B【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0）到双曲线﹣y2=1的渐近线x±2y=0的距离为：=．故选：B．6. 已知i为虚数单位，则复数i（1－i）所对应点的坐标为A. （－1，1）B. （1，1）C. （1，－1）D. （－1，－1）参考答案：B7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是()A.(－∞,]B. [,+∞)C. [,]D. [ ,]参考答案：D8. 已知的三内角,则“成等差数列”是“”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C若成等差数列，则若则所以成等差数列。
2022年河南省济源市郑州第二外国语学校高二数学文期末试卷含解析
2022年河南省济源市郑州第二外国语学校高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则 ( )A． B． C．D．参考答案：D2. 抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为( )A. B. 1 C.D. 2参考答案：A3. 已知中心在原点，焦点F1、F2在x轴上的双曲线经过点P（4，2），△PF1F2的内切圆与x轴相切于点Q（2，0），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A 【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据三角形内切圆的性质结合双曲线的定义，求出a，c即可得到结论．【解答】解：中心在原点，焦点F1、F2在x轴上的双曲线为﹣=1，作出对应的图象如图：设三个切点分别为A，B，C，∵△PF1F2的内切圆与x轴相切于点Q（2，0），∴|F1Q|=|F1C|=c+2，∴|F2Q|=|F2B|=c﹣2，∴由双曲线的定义得||F1P|﹣|F2P|=|F1C|﹣|F2B|=c+2﹣（c﹣2）=4=2a，∴a=2，∵双曲线经过点P（4，2），∴﹣=1，即=1，则b2=4，c===2，则双曲线的离心率e===，故选：A4. 已知函数的导数为，且满足关系式，则=（）A． B．C．D．参考答案：C5. 已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．6. 集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）A．｛0，2，－2，2，－2｝B．｛0，2｝C．｛0，2，－2，2｝D．｛0，2，－2｝参考答案：D略7. 展开式中不含x4项的系数的和为（）A．2 B．1 C．0 D．－1参考答案：C8. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是( )A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x参考答案：B【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．【解答】解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．9. 下列向量中不垂直的一组是A.,B. ,C. ,D. ,参考答案：B10. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )A．1 B．C．2 D．2参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；三角形的面积公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，﹣1）、半径为2．由垂直的两直线斜率的关系算出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y﹣1=0，进而算出圆心C到l的距离d=，再根据垂径定理算出l被圆C截得的弦长|AB|=2．最后由点到直线的距离公式算出原点O到AB的距离，根据三角形的面积公式即可算出△OAB的面积．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2=4，由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．因此，圆心C到直线l的距离d==．∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．故选：A【点评】本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦AB与原点O构成三角形的面积．着重考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.（1）当时，求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.参考答案：(1)设椭圆方程为，当时，，又，故椭圆方程为5分(2)，由得，即7分，，10分若的三条边的边长是连续的自然数，则，即略12. 已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为___．参考答案：（2,3）【分析】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.【详解】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得.所以函数的图像过定点A（2,3）.故答案为：（2,3）【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13. 函数的导函数的部分图象如图所示，其中，为图象与轴的交点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点．（1）若，点的坐标为，则；（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为 ．参考答案：（1）3；（2）.14. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，如图所示，孩子已经出生_______天．参考答案：46815. 化简：.参考答案：-116. 在锐角△ABC 中，，，AC 的取值范围为__________．参考答案：解：由题意，得，解得．由正弦定理，得，∵的取值范围为，故．17. 若x ，y 满足，则目标函数z=x+2y 的最大值为 ．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+2y 得y=﹣x+z ，平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大， 此时z 最大．由，解得，即B （1，1），代入目标函数z=x+2y 得z=2×1+1=3 故答案为：3．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2022-2023学年湖南省长沙市第二十二中学高二数学文期末试卷含解析
2022-2023学年湖南省长沙市第二十二中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A．B．C．1 D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物线准线y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：S==由抛物线定义=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）≥﹣1=2故选D．2. 不等式对于一切实数都成立，则（）A B C D 或参考答案：略3. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为A．B．C．4 D．10参考答案：C4. 离心率为的椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线C2的离心率等于（）A. B. C. D.参考答案：5. 两定点，点P在椭圆上，且满足，则为( )A.－9B. 9C. －12 D.12参考答案：6. 已知平行四边形的三个顶点A.B.C的坐标分别是..，则顶点的坐标为（）A． B． C．D．参考答案：B7. 已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】平方已知式子结合三角形内角范围可得cosA为负数，可得A为钝角，可得结论．【解答】解：∵△ABC中，∴平方可得，∴，由三角形内角范围可得sinA＞0，∴cosA＜0，A为钝角．故选：B8. 下列命题错误的是（）A．命题“”的逆否命题为“”B．命题“”的否定是“”C．“”是“或”的必要不充分条件D．“若”的逆命题为真参考答案：D9. 若，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C10. 过抛物线(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且，那么直线l的斜率为A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线C由两部分组成，若过点（0，2）作直线l与曲线C有且仅有两个公共点，则直线l的斜率的取值范围为参考答案：12. 向量a、b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b夹角的余弦值等于________．参考答案：－13. 若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则+的最小值为．参考答案：3【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，当且仅当x=y=1时取等号．所以的最小值为3．故答案为：314. 函数的定义域和值域均为(0,+∞)，的导数为，且，则的范围是______．参考答案：【分析】构造函数，利用的导数判断出在上为增函数，由得.构造函数，利用的导数判断出在上为减函数，由得.综上所述可得的取值范围.【详解】解：根据题意，设则，又由，则，则函数在上为增函数，则，即，变形可得，设则，又由，则，则函数在上为减函数，则，即，变形可得，综合可得：，即的范围是；故答案为：．【点睛】本小题主要考查构造函数法求表达式的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.15. 若，则目标函数z=x+2y的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿参考答案：2_略16. 观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.参考答案：F+V E=217. 在北纬45︒圈上的甲、乙两地，甲在东经30︒，乙在西经60︒处，若地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析
2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“00x ∃>，200x x >”的否定是（）A ．0x ∀>，2x x ≤B ．00x ∃>，200x x ≤C ．00x x ∃≤，200x x ≤D ．0x ∀≤，2x x ≤2．抛物线2y x =-的焦点坐标为（） A ．()1,0-B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭3．已知a ，b ∈R ，则“0a b >>”是方程“22220x y ax b +++=表示圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在空间直角坐标系中，点A 、B 坐标分别为()3,0,1A -，()2,3,3B -．则A 、B 两点的距离为（） A ．25B ．2C ．10D ．5055A ．22123x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．22132y x -=6．P 是椭圆22143x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，O 是坐标原点，已知点M 是线段PF 的中点，且34OM =，则PF =（） A ．54B ．32C ．52D ．1347．已知圆O ：224x y +=与圆22260x y x +--=交于A 、B 两点，则AB =（） A ．23B 3C ．2D ．48．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虛轴长相等9．M 是椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，若122MF MF =，且12MF MF ⊥，则椭圆Γ的离心率为（）A ．12B 3C 25D 510．已知命题p ：椭圆()22210,1x y a a a +=>≠的离心率为e ，若2a >．则230,4e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；命题q ：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线的夹角为θ，若a b =，则90θ=︒．下列命题正确的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝11．M 、N 是双曲线2213y x -=上关于原点O 对称的两点，1F 、2F 是左、右焦点．若12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是（） A ．23B ．3C ．4D ．612．在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ．以下各曲线：①22132x y +=；②()2222x y ++=；③22y x =；④221x y -=中，存在两个不同的点M 、N ，使得MA MB =且NA NB =的曲线是（） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．以双曲线22135x y -=的焦点为顶点，以双曲线22135x y -=的顶点为焦点的椭圆方程为______．14．抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离为6，则点M 到抛物线焦点的距离为______．15．在平面直角坐标系中，过()1,3P -作圆O ：221x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为______．16．设1F 、2F 为椭圆Γ：2212521x y +=的两个焦点，P 为Γ上一点且在第二象限．若112PF F F =，则点P的坐标为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知圆C 过()4,3A ，()0,1B -，且圆心C 在直线l ：10x y --=上．经过点()4,0M 的直线m 交圆C 于P 、Q 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）若CP CQ ⊥，求直线m 的方程．18．（12分）抛物线()220y px p =>的准线被圆22230x y y +--=截得的弦长为23（1）求p 的值；（2）过点()4,0M 的直线交抛物线于点A 、B ，证明：OA OB ⊥．19．（12分）已知椭圆Γ的对称中心为原点O ，焦点在y 3 （1）求椭圆Γ的离心率；（2）若椭圆Γ的一个焦点为()0,2F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆于两点A 、B ．求椭圆的标准方程并求AOB △的面积．20．（12分）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,0A -，()1,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为2． （1）求M 的轨迹方程；（2）记M 的轨迹为曲线Γ，过点()1,1P 能否作一条直线l ，与曲线Γ交于两点D 、E ，使得点P 是线段DE 的中点？21．（12分）已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>左右焦点分别为1F 、2F 3k 的直线l 交椭圆于两点A 、B ，当直线l 过1F 时，2AF B △的周长为8． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设OA 、OB 斜率分别为1k 、2k ，若12k =，求证：1214k k ⋅=，并求当AOB △面积为74时，直线l的方程．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos cos 2x y m ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）当0m =时，求曲线C 与x 轴交点的直角坐标； （2）直线l 与曲线C 有唯一公共点，求实数m 的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知x 、y 、z 均为正实数，且22243x y z ++=． （1）求2x y z ++的最大值； （2）若2y x =，证明：113x z+≥． 2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷文科数学参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题13．22185x y +=14．10 15．310x y -+=16．5372⎛-⎝⎭三、解答题17．解：（1）直线AB 的垂直平分线方程为3y x =-+ 与10x y --=联立得，2x =，1y =，即()2,1C 圆C 半径22R CA ==所以，圆C 的标准方程为()()22218x y -+-=．（2）∵22CP CQ ==，CP CQ ⊥∴圆心C 到直线m 的距离2d = 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为()4y k x =- 由22121k d k +==+得34k =当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为4x =，C 到m 距离为2 综上可得，直线m 方程为34120x y --=或40x -=． 18．解：（1）圆22230x y y +--=的圆心()0,1C ，半径为2；所以C 到准线距离为1，所以准线方程为1x =- 所以2p =．（2）由（1）得，抛物线标准方程为24y x =． 设直线AB 方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y4x my =+与24y x =联立得24160y my --=216640m =+>∆，由韦达定理1216y y ⋅=-，2212121644y y x x ⋅=⋅=12120OA OB x x y y ⋅=+=，即以线段AB 为直径的圆过点M ．19．解：（1）设椭圆标准方程为()222210y x a b a b+=>>则有232a b =，因为222c a b =- 所以椭圆离心率63c e a ==． （2）椭圆标准方程为22162y x +=，直线l 的方程为2y x =+设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 方程代入椭圆方程得22210x x +-=． 解得1,2132x -±=所以AOB △的面积12132S OF x x =⋅⋅-= 20．解：（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM yk x =-由2AM AN k k ⋅=得211y yx x ⋅=+-整理得()22221y x x =-≠±所以，点M 得轨迹方程为()22112y x x -=≠．（可以不化为标准方程的形式，限制条件也可以为0y ≠）（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，可得221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 由题意，122x x +=，122y y +=，所以12122AB y y k x x -==-直线AB 方程为21y x =-代入()22112y x x -=≠±得，22430x x -+=．∵80∆=-<，∴不存在这样的直线l ． 21．解：（1）由题意，48a =，3c e a ==5c =1b = 椭圆Γ的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为()10,12y x m m m =+≠≠±，()11,A x y ，()22,B x y ， 与椭圆方程联立得，222220x mx m ++-=122x x m +=-，21222x x m =-可得2121211112222y y x m x m m ⎛⎫⎛⎫=++=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以12121214y y k k x x == ()2222121621115222m AB k x m -⎛⎫=+-=+=- ⎪⎝⎭O 到直线AB 得距离25m d =OAB 的面积()2272S m m =-=解得12m =±，或7m =所以直线l 方程为1122y x =±，或172y x =±． 22．解：（1）2cos 2cos 10y ϕϕ==-=，得2cos ϕ= 所以曲线C 与x 轴交点得坐标为2,02⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． （2）cos cossin sin244ππρθρθ+=得22222x y +=2x y +=为直线l 的方程 曲线C 的普通方程为221y x m =+-方程221y x m =+-与2x y +=联立得2230x x m ++-=()1830m ∆=--=得258m =． 23．解：（1）由柯西不等式()()()222211142x y zx y z ++++≥++所以23x y x ++≤，当且仅当21x y z ===时等号成立． （2）证明：因为2y x =，0x >，0y >，0z >， 由（1）得243x y z x z ++=+≤ 即043x z <+≤，所以1143x z ≥+因为()114445529z x z x x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当4x zz x=，即21z x ==时，等号成立． 因为043x z <+≤，所以11934x z x z +≥≥+，即113x z+≥．。
2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学(文)试题 解析版
2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：北师大版必修5占30%，选修1-1占70%.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 椭圆C ：22143x y +=的长轴为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c =，4b =，3A π=，则a =（ ）A.B. C. 5 D. 63. 已知p ：0x ∀>，230x x +>；q ：x ∃∈R ，210x +=.则下列命题中，真命题是（ ）A. p q ⌝∧B. p q ⌝∨C. p q ∧⌝D. p q ∧4. 设0(3)(3)lim 6x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则()3f '=（ ）A. －12B. －3C. 3D. 125. 已知等比数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，若25T T =，则4a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是（ ）A.43B.53C.54D.7. 已知抛物线C ：220x y =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，且()3,6Q --，则PF PQ +的最小值为（ ）A. 8B. 16C. 11D. 268. 已知数列{}n a 满足1n n a a d -=+，2n ≥，n ∈N ，则“2m n a a d -=”是“2m n -=”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数21()ln 32f x x x =++的最小值是（ ） A.92 B. 4C.72D. 310. 设1a <，则1211a a+-+的最小值为（ ）A.32B. 32- C. 1D. 211. 已知P 为抛物线C ：216x y =-上一点，F 为焦点，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，若PFH △的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是（ ） A. (],5-∞-B. (],4-∞-C. (],2-∞-D. (],1-∞-12. 定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()4xf x f x '<恒成立，则（ ）A. 16(1)4(2)f f f >>B. 16(1)(2)4f f f >>C. 16(1)4(2)f f f <<D. 16(1)(2)4f f f <<第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的焦距为10，则a =______.14. 若x ，y 满足约束条件10201x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值为______.15. 已知函数()ln 1f x x x mx =++的零点恰好是()f x 的极值点，则m =______.16. 已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上的一点，若121cos 3F PF ∠=-，则12PF PF ⋅=______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知函数()f x 满足32()(1)1f x x f x '=-⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程. 18.（12分）已知抛物线C ：()220y px p =->，()06,A y -是抛物线C 上的点，且10AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为()4,2-，求直线l 的方程. 19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(7)2n n n S +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin()bC A B a=--. （1）求A ；（2）设2a =，当b 的值最大时，求ABC △的面积. 21.（12分）已知函数()()ln 1f x x x a x =+-. （1）当2a =-时，求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a <-时，()f x 在()1,+∞上存在唯一零点. 22.（12分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为)，渐近线方程为2y x =±. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）设D 为双曲线C 的右顶点，直线l 与双曲线C 交于不同于D 的E ，F 两点，若以EF 为直径的圆经过点D ，且DG EF ⊥于点G ，证明：存在定点H ，使GH 为定值.高二数学试卷参考答案（文科）1. D 椭圆C ：22143x y +=的长轴为4. 2. A 由余弦定理可得2222cos 13a b c bc A =+-=，所以a = 3. C 由题意可得p 为真命题，q 为假命题.故p q ∧⌝为真命题.4. B 因为0(3)(3)lim2(3)6x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()33f '=-.5. A 因为25T T =，所以3451a a a =.因为2354a a a =，所以41a =.6. C 因为()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，所以:3:4b a =，54c e a ===.7. C 记抛物线C 的准线为l ，作PT l ⊥于T ，当P ，Q ，T 共线时，PF PQ +有最小值，最小值为6112p+=. 8. C 因为()2m n a a m n d d -=-=，所以2m n -=或0d =，故“2m n a a d -=”是“2m n -=”的必要不充分条件.9. C 由题意可得233111()x f x x x x -'=-=，令()0f x '>，1x >，令()0f x '<，得01x <<，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()f x 的最小值是()712f =.10. A12112(11)11211a a a a a a ⎛⎫+=+-++ ⎪-+-+⎝⎭12(1)331122a a a a +-++-+=≥，当且仅当12(1)11a a a a+-=-+，即3a =-. 11. A 如图，设点P 的坐标为(),m n ，准线4y =与y 轴的交点为A ，则4PF PH n ==-，FH ====PFH △的周长为()24n -.设函数()2(4)(0)f n n n =-≤，则()f n 为减函数，因为()530f -=，所以()30f n ≥的解为5n ≤-.12. A 设函数4()()f x g x x=，0x >，则4385()4()()4()()0x f x x f x xf x f x g x x x''--'==<， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减，从而(1)(2)g g g >>，即44(1)(2)12f f >>，则16(1)4(2)f f f >>.13. 2125a +=，解得a =a =-（舍去）.14. －1 作出可行域（图略），当直线y x z =+经过点()1,0时，z y x =-取最小值，最小值为－1.15. －1 设0x 是()ln 1f x x x mx =++的零点，也是()f x 的极值点，则()ln 1f x x m '=++，所以0000ln 10ln 10x x mx x m ++=⎧⎨++=⎩，解得01x =，1m =-. 16. 3 因为22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅()21212122122PFPF PFPF PF PF +-⋅-=⋅122113PF PF =-=-⋅，所以123PF PF ⋅=.17. 解：（1）因为2()32(1)f x x f x ''=-⋅，所以(1)32(1)f f ''=-，解得(1)1f '=. （2）由（1）可得32()1f x x x =-+，2()32f x x x '=-，则()25f =，()28f '=.故所求切线的方程为()582y x -=-，即811y x =-. 18. 解：（1）因为6102pAF =+=， 所以8p =，故抛物线C 的方程为216y x =-.（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，()11,M x y ，()22,N x y ，则2112221616y x y x ⎧=-⎨=-⎩，两式相减得()22121216y y x x -=--，整理得12121216y y x x y y -=--+.因为MN 的中点为()4,2-，所以12121644y y k x x -==-=--，所以直线l 的方程为()244y x -=-+，即4140x y ++=. 19. 解：（1）当1n =时，111842a S ⨯===. 当2n ≥时，1(1)(6)2n n n S --+=，所以1(7)(1)(6)322n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+，因为1n =也满足，所以通项公式为3n a n =+.（2）因为11111(3)(4)34n n n b a a n n n n +===-++++， 所以1111111145563444416n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20. 解：（1）三角形的性质和正弦定理可知sin sin sin()sin()sin()2cos sin sin b B C A B A B A B A B a A==--=+--=⋅，其中sin 0B ≠，所以2sin cos sin 21AA A ==，因为()0,A π∈，所以()20,2A π∈，故22A π=，4A π=.（2）由正弦定理有22sin 4sin sin b B Cb B C a A++===+，且34sin 4sin 4B C B B π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭cos ))B B B ϕ=+=+，其中1tan 2ϕ=，所以当()sin 1B ϕ+=时，b +有最大值，此时sin cos 5B ϕ==，cos 5B =，所以sin sin()sin (sin cos )42C A B B B B π⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭由正弦定理有sin sin a bA B=，故b =，所以1112sin 2225ABC S ab C ==⨯=△. 21.（1）解：当1a =时，()ln 1f x x '=-.令()0f x '<，得0e x <<，令()0f x '>，得e x >， 所以()f x 的单调递减区间为()0,e ，单调递增区间为()e,+∞. （2）证明：()()ln 1f x x a '=++，令()0f x '=，得1e a x --=，因为1a <-，所以10e e 1a -->=.当()11,e a x --∈时，()0f x '<，()f x 在()11,e a --上单调递减；当()1e ,a x --∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1e ,a --+∞单调递增. 而()1e (1)0af f --<=，且()()e e ln e e 10a a a af a a ----=+-=->， 又因为()f x 在()1e ,a --+∞上单调递增， 所以()f x 在()1e ,a --+∞上有唯一零点. 当()11,e a x --∈时，恒有()()10f x f <=，()f x 无零点.综上，当1a <-时，()f x 在()1,+∞上存在唯一零点.22.（1）解：由题意知c =因为双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，所以2b a =.因为222a cb =-，所以2a =，b =故双曲线C 的标准方程为22143x y -=. （2）证明：设()11,E x y ，()22,F x y .①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，联立方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得()()2223484120k x kmx m ---+=，则()()222(8)4412340km m k ∆=++->，即22430m k -+>，且122212283441234km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩. 因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=， 所以()()2212121(2)4k x x km x x m ++-+++()2222241281(2)403434m km k km m k k--=+⋅+-⋅++=--， 化简得221628(2)(14)0m km k m k m k ++=++=， 所以2m k =-或14m k =-，且均满足22430m k -+>.当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾； 当14m k =-时，直线l 的方程为()14y k x =-，过定点()14,0M . ②当直线l 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，联立方程组222143y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2x =（舍去）或14x =，此时直线l 也过定点()14,0M .因为DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径. 故存在定点()8,0H ，使GH 为定值6.。
2022年陕西省咸阳市新兴中学高二数学文期末试卷含解析
2022年陕西省咸阳市新兴中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某地区对用户用电推出两种收费办法，供用户选择使用：一是按固定电价收取；二是按分时电价收取------在固定电价的基础上，用电高峰时段电价每千瓦时上浮0．03元；非用电高峰时段时段电价每千瓦时下浮0．25元。
若一用户某月用电高峰时段用电140千瓦时，非用电高峰时段用电60千瓦时，则相对于固定电价收费该月（）A．多付电费10．8元B．少付电费10．8元C．少付电费15元D．多付电费4．2元参考答案：B略2. 已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，0＜c=0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．3. 复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是，则是（）A. +2iB. -2iC. +2iD. -2i 参考答案：B略4. 已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，斜率不0的直线l过点F1，且交椭圆于A，B两点，则的周长为（）．A．10 B．16 C．20D．25 参考答案：C解：由题意可得，周长：，故选．5. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线A1 D与BE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A6. 三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．48πB．12πC．4πD．32π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=12π故选：B．7. 等差数列中，，则=（）....参考答案：C略8. 正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）的底面边长为2，高为2，为边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为（）A．B．C．D．参考答案：D 略9. 观察下列关于变量x和y的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是（）A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关参考答案：D【考点】BI：散点图．【分析】根据散点图的点的分布即可得到结论．【解答】解：第一个图点的分布比较集中，且y随x的增加，而增加，是正相关．第二个图点的分布比较分散，不相关．第三个图点的分布比较集中，且y随x的增加，而减少，是负相关．故选：D10. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值, 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在某比赛中，选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，则有____种选题方法.参考答案：6【分析】从5个试题中选答3题，有1题是必答题，等价于从4个非必答题中选答2题，进而可得出结果. 【详解】因为选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，所以只需该选手从4个非必答题中选答2题，即有种选题方法.故答案为6【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念即可，属于基础题型.12. 在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）。
四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含答案)
成都树德中学高2021级高二上期期末检测数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用系统抽样法，②用分层抽样法C.①用分层抽样法，②用随机抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法2.下面命题正确的是A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若1x <，则21x <”的否定是“存在1≥x ，则21x ≥”；C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.3.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为A.3π B.3π-或3πC.3π或23π D.6π或56π4.执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A.1B.32C.53D.525.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.3y x =±C.12y x =±D.2y x=±6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球7.已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为A ．24B ．25C ．25.5D ．26取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.7511.已知O 为坐标原点，双曲线)0(14:222>=-b b y x C 的右焦点为F ,以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点,,B A 若||332||||AB OB OA =+，则ABF ∆的周长为A.6B.36C.324+D.344+12.已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为________.14.已知“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为.15.在区间[0,1]上随机取两个数x、y ，则满足13x y -≥的概率为___________.16.已知直线y kx =与椭圆C ：222212x yb b+=交于,A B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有__________.①椭圆C 的离心率为2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B .x2223242526y2324▲2628三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知圆C 上有两个点()()2,3,4,9A B ，且AB 为直径.(1)求圆C的方程；(2)已知()0,5P ，求过点P 且与圆C 相切的直线方程.18.（本小题满分12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．20.(本题满分12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．（1）求y 关于x 的回归直线方程；附：=J1 (−p(−p(−p2，=−．（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？22.(本小题满分12分)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．公众号高中僧试题下载高2021级期末考试数学（文）试题参考答案一、1-5CDCCA6-10BCABD11-12BD二、13、11614、2m≤15、9216、②③④18、(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a+⨯+++⨯=，解得a=0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得()()0.004 0.006 0.023210700.0280.5m++⨯+-⨯=，解得m=76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a，()11,a b，()12,a b，()13,a b，()21,a b，()22,a b，()23,a b，()12,b b，()13,b b，()23,b b，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b，()13,b b，()23,b b，有3种情况，所以概率为P=310.…………………………………12分19、（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x y a ba b-=>>，由题意得24c=，所以2c=，①又双曲线C的一条渐近线为y x=，所以3ba=，②又222+=a b c，③联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213x y-=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x+-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x+=-，1224x x=-，即AB===20、（1）由表格数据得=18+19+20+21+225=20，=61+56+50+48+455=52．则J15 （i−）（y i−）＝﹣40，J15 （i−）2＝10，则=−4010=−4，=−=52﹣（﹣4）×20＝132，则y关于的回归直线方程为=−4x+132；（2）获得的利润z＝（x﹣10）（﹣4x+132）＝﹣4x2+172x﹣1320，对应抛物线开口向下，则当x=−1722×(−4)=21.5时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．22、（1）由题意得12p=，即2p=，所以抛物线的准线方程为1x=-．（2）设(,),(,),(),A AB B c cA x yB x yC x y，重心(,)G GG x y．令2,0Ay t t=≠，则2Ax t=．由于直线AB过F，故直线AB方程为2112tx yt-=+，代入24y x=，得222(1)40ty yt---=，故24Bty=-，即2Byt=-，所以212(,Bt t-．又由于11(),(3)3G A B c G A B cx x x x y y y y=++=++及重心G在x轴上，故220ct yt-+=，得422211222((),2()),(3t tC t t Gt t t-+--．所以直线AC方程为222()y t t x t-=-，得2(1,0)Q t-．由于Q在焦点F的右侧，故22t>．从而424222124422242221|1||2|||223221222211||||1||||2||23Act t tFG yS t t ttt tS t tQG y t tt t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-．令22m t=-，则0m>，1221223434S mS m m mm=-=-++++3212≥-=+．当m=12SS取得最小值12+，此时(2,0)G．。
许昌市2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(文科)(含答案解析)
许昌市2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(文科)班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共12小题，共60分）1、命题“∀x >1，x 2−x >0”的否定是（ ）A. ∃x 0≤1，x 02−x 0>0B. ∃x 0>1，x 02−x 0≤0C. ∀x >1，x 2−x ≤0D. ∀x ≤1，x 2−x >02、已知抛物线y =34x 2，则它的焦点坐标是（ ）A. (0,316)B. (316,0)C. (13,0)D. (0,13)3、“m =−2”是“直线l 1：mx +4y +4=0与直线l 2：x +my +2=0平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、设实数x ，y 满足{x +4y −5≥0x +y −5≤0x ≥1，则z =x +5y 的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85、已知数列{a n }满足，a 1=1，log 2a n+1−log 2a n =1，数列{a n }的前n 项和S n =（ ）A. 2n+1−1B. 2n+1−2C. 2n −1D. 2n −26、在△ABC 中，A =60°，a =√6，b =2，满足条件的三角形的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无数多7、已知F 1，F 2为椭圆x 29+y 216=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=10，则|AB|=（ ）A. 2B. 4C. 6D. 108、设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，则下列结论错误的是（ ）A. d <0B. a 7=0C. S 9>S 5D. S 6和S 7均为S n 的最大值9、若直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x−4y+1=0所截得的弦长为4，则1 a +1b的最小值为（）A. 14B. 12C. 2D. 410、数列{a n}满足a n+2=2a n+1−a n，且a2014，a2016是函数f(x)=13x3−4x2+6x−1的极值点，则log2(a2000+a2012+a2018+a2030)的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 511、过双曲线x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. √5B. √52C. √5+1 D. √5+1212、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有xf′(x)−f(x)x2<0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集是（）A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(0,2)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知椭圆x210−m +y2m−2=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=______ ．14、在△ABC中.若sinA，sinB，sinC成公比为√2的等比数列，则cosB=______ ．15、若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是______．16、阿基米德(公元前287−公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：x2 a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(√2,1)，则当e+ba取得最大值时，椭圆的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)(1)求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程；(2)求经过点P(−2,−4)的抛物线的标准方程．18、(本小题12.0分)设p：关于x的不等式x2−4x+m≤0有解，q：m2−6m+5≤0．(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．19、(本小题12.0分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosBcosC+2cosA=√3sinC．(1)求B；(2)若b=2√7,△ABC的面积为6√3，求a+c的值．20、(本小题12.0分)已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，且a2，a6，a22成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n=3a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21、(本小题12.0分)已知函数f(x)=e x−ax+a(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．22、(本小题12.0分)已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，且AF2⊥x轴，OM⊥AF1，M为垂足，O为坐标原点，且|OM||AF2|=25．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆交于P，Q两点，G为x轴正半轴上一点，且∠PGF2=∠QGF2，求点G的坐标．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查命题的否定，属于基础题．利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x>1，x2−x>0”的否定是：∃x0>1，x02−x0≤0．所以选：B．2.答案：D解析：∵抛物线方程为y=34x2，∴化成标准形式，得x2=43y，因此，2p=43，得p2=13，所以焦点坐标为(0,13).所以选：D．将抛物线化成标准方程得x2=43y，从而得到2p=43，由此即可写出该抛物线的焦点坐标．本题给出抛物线的方程，求它的焦点坐标．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．3.答案：C解析：直线l1：mx+4y+4=0与直线l2：x+my+2=0的方向向量分别为a⃗=(−4,m)，b⃗⃗=(−m,1)．∵a⃗//b⃗⃗，由−m2−(−4)×1=0，解得m=±2，经过验证m=2时两条直线重合，舍去．∴m=−2”是“直线l1：mx+4y+4=0与直线l2：x+my+2=0平行”的充要条件．所以选：C．由m2−4=0，解得m，去掉重合情况，即可判断出关系．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由z =x +5y 得y =−15x +15z ， 结合图形可知，当y =−15x +15z过B(5,0)时，在y 轴上的纵截距15z最小，此时z 取得最小值5． 所以选：A ．作出不等式组所表示的平面区域，由z =x +5y 得y =−15x +15z ，结合直线在y 轴的截距先求出z 取得最小值的位置，代入可求． 本题主要考查了线性规划在求解目标函数最值中的应用，属于基础题．5.答案：C解析：依题意，由log 2a n+1−log 2a n =1，可得log 2a n+1a n =1，即an+1a n=2，故数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴S n =1−2n 1−2=2n −1．所以选：C ．先根据已知条件及对数的运算，可得数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式即可计算出S n 的表达式，得到正确选项．本题主要考查等比数列的判定，以及等比数列的求和问题．考查了转化与化归思想，等比数列的定义，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．6.答案：B解析：△ABC 中，A =60°，a =√6，b =2， 满足a sinA=bsinB ，整理得sinB =√22，所以B =45°或135°， 由于a >b ， 所以A >B ，故B=45°．所以满足条件的三角形有1个．所以选：B．直接利用正弦定理和三角函数的值的应用确定三角形的个数．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.答案：C解析：根据椭圆的定义|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16，所以|AB|=|F1A|+|F2B|=6．所以选：C．利用椭圆的定义，转化求解|AB|即可．本题考查椭圆的定义的应用，椭圆的简单性质的应用，是基础题．8.答案：C解析：∵S5<S6，S6=S7>S8，∴a6>0，a7=0，a8<0，可得d<0.S6和S7均为S n的最大值．S9=9(a1+a9)2=9a5，S5=5(a1+a5)2=5a3．S9−S5=9(a1+4d)−5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d<0，∴S9<S5．因此C错误．所以选：C．S5<S6，S6=S7>S8，可得a6>0，a7=0，a8<0，可得d<0.S6和S7均为S n的最大值．作差S9−S5= 4a7+2d<0，可得S9<S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：D解析：圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心坐标(−1,2)，半径是2，弦长是4，所以直线2ax−by+2= 0(a>0,b>0)过圆心，即：−2a−2b+2=0，∴a+b=1，将它代入1a +1b得，a+ba+a+bb=2+ba+ab≥4(因为a>0，b>0当且仅当a=b时等号成立)．所以选：D．先求圆的圆心和半径，求弦心距，用弦心距、半径、半弦长的关系得到a、b关系，来求1a +1b的最小值．分析中用的是一般方法，解答中比较特殊，解题灵活，本题是一个好题目，学生容易受挫．10.答案：C解析：函数f(x)=13x3−4x2+6x−1，可得f′(x)=x2−8x+6，∵a2014，a2016是函数f(x)=13x3−4x2+6x−1的极值点，∴a2014，a2016是方程x2−8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1−a n，可知{a n}为等差数列，∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4．所以选：C．利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．11.答案：A解析：如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，∵E为PF的中点，∴OE为△FF′P的中位线，∴PF′=2OE=2a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵点P在双曲线上，∴PF−PF′=2a，∴PF=PF′+2a=4a，在Rt△PFF′中，有：PF2+PF′2=FF′2，∴16a2+4a2=4c2，即20a2=4c2，∴离心率e=ca=√5．所以选：A ．通过双曲线的特点知原点O 为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF ，通过勾股定理得到a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a ，b ，c 的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．12.答案：B解析：f(x)是R 上的奇函数，则f(x)x为偶函数； (f(x)x )′=xf′(x)−f(x)x 2； ∵x >0时，xf′(x)−f(x)x 2<0恒成立；∴x >0时，(f(x)x)′<0恒成立；∴f(x)x 在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增； 由xf(x)>0得：f(x)x>0；∵f(2)=0，∴f(−2)=0； ∴①x >0时，f(x)x >f(2)2； ∴0<x <2；②x <0时，f(x)x >f(−2)−2； ∴−2<x <0；综上得，不等式xf(x)>0的解集为(−2,0)∪(0,2)． 所以选：B ．根据f(x)是R 上的奇函数，即可得出f(x)x为偶函数，并根据条件可得出x >0时，(f(x)x)′<0，这样即可得出函数f(x)x的单调性，根据f(2)=0即可得出f(−2)=0，可知xf(x)>0等价于f(x)x>0，从而可讨论x >0，和x <0，即可得出f(x)x>0的解集，从而得出xf(x)>0的解集．考查奇函数、偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数单调性的定义．13.答案：8。
(完整word版)高二第一学期数学期末考试题及答案(人教版文科)
2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试题文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1．在相距2km的A、B两点处测量目标C, 若∠CAB＝75°, ∠CBA＝60°, 则A、C两点之间的B. 3 km距离是（）A. 2 kmA．2kmC. kmD. 3 km2. 已知椭圆（）的左B．4C．3D．2焦点为,则（）A．93. 在等差数列中,,则B. 15C. 20D. 25的前5项和=（）A．74. 某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一B. 100m2C. 200m2D. 250m2个矩形的停车场.若圆的半径为10m,则这个矩形的面积最大值是（）A. 50m2A．50m25. 如图所示, 表示满足不等式的点所在的平面区域为（）B ．C ．D ．A ．6. 焦点为(0, ±6)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）B ．A ．C ．D ．7. 函数的导数为（）B ．A ．C ．D ．8. 若＜＜0, 则下列结论正确的是（）B ．A. bA ．bC. -2D ．9. 已知命题: 命题.则下列判断正确的是（）B. q是真命题A. p是假命题A．p是假命题C. 是真命题D. 是真命题10. 某观察站B. 600米C. 700米D. 800米与两灯塔、的距离分别为300米和500米, 测得灯塔在观察站北偏东30 , 灯塔在观察站正西方向, 则两灯塔、间的距离为（）A. 500米A．500米11. 方程表示的曲线为（）A. 抛物线A．抛物线B. 椭圆 C. 双曲线D．圆12. 已知数列的前项和为, 则的值是（）A. -76A．-76B. 76C. 46D. 13二、填空题（每题5分, 共20分）13.若, , 是实数, 则的最大值是_________14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点, 如果, 那么＝___________.15.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点, 且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1, 则双曲线的方程是____________．16.直线是曲线y=l.x（x>0）的一条切线，则实数b=___________2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试文科数学（提高班）答题卡二、填空题（共4小题, 每题5分）13. 2 14、 815. 16.三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.已知数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证数列是等比数列；18.已知不等式组的解集是, 且存在, 使得不等式成立.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求实数的取值范围.19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收益满足函数:（其中是仪器的月产量）.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时, 公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益-总成本）20.根据下列条件, 求双曲线的标准方程.(1)经过点, 且一条渐近线为；(2) 与两个焦点连线互相垂直, 与两个顶点连线的夹角为.21.已知函数在区间上有最小值1和最大值4, 设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上有解, 求实数k的取值范围.22.已知函数（）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在常数, 使得, 恒成立？若存在, 求常数的值或取值范围；若不存在, 请说明理由.文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1.考点: 1. 2 应用举例试题解析：由题意, ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°, 由正弦定理得＝, 所以AC＝·sin60°＝(km)．答案：C2.考点: 2. 1 椭圆试题解析：, 因为, 所以, 故选C．答案：C3.考点: 2. 5 等比数列的前n项和试题解析: .答案：B4.考点: 3. 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析：如图,设矩形长为, 则宽为,所以矩形面积为 , 故选C答案: C5.考点：3．.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析: 不等式等价于或作出可行域可知选B答案: B6.考点: 2. 2 双曲线试题解析：与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为，又因为双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为.答案：B7.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：, 故选B.答案：B8.考点: 3. 1 不等关系与不等式试题解析：根据题意可知, 对两边取倒数的得, 综上可知, 以此判断：A．正确；因为：, 所以：, B错误；, 两个正数相加不可能小于, 所以C错误；, D错误, 综上正确的应该是A．答案：A9.考点: 1. 3 简单的逻辑联结词试题解析：当时, （当且仅当, 即时取等号）, 故为真命题；令, 得, 故为假命题, 为真命题；所以是真命题.答案：C10.考点: 1. 2 应用举例试题解析：画图可知在三角形ACB中, , , 由余弦定理可知, 解得AB=700.答案：C11.考点: 2. 1 椭圆试题解析：方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离, 点不在直线上, 符合抛物线的定义；答案：A12.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析：由已知可知：, 所以, , , 因此, 答案选A.答案：A二. 填空题（每题5分, 共20分）13.考点: 3. 4 基本不等式试题解析：, , 即,则, 化简得, 即, 即的最大值是2.答案：214.考点: 2. 3 抛物线试题解析：根据抛物线方程知, 直线过焦点, 则弦, 又因为, 所以．答案：815.考点: 2. 2 双曲线试题解析：椭圆长轴的端点为, 所以双曲线顶点为, 椭圆离心率为,所以双曲线离心率为, 因此双曲线方程为答案：16.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：设曲线上的一个切点为（m, n）, , ∴,∴.答案：三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析: （Ⅰ）设数列由题意得:解得:（Ⅱ）依题,为首项为2, 公比为4的等比数列（Ⅲ）由答案: （Ⅰ）2n-1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）{1, 2, 3, 4}18.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析：（Ⅰ）解得；（Ⅱ）令, 由题意得时, ．当即, （舍去）当即, .综上可知, 的取值范围是.答案: （Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是19.考点: 3. 4 生活中的优化问题举例试题解析：（1）（2）当时,∴当时, 有最大值为当时,是减函数,∴当时, 的最大值为答：每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元.答案：（1）；（2）每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元20.考点: 双曲线试题解析:（1）由于双曲线的一条渐近线方程为设双曲线的方程为（）代入点得所以双曲线方程为（2）由题意可设双曲线的方程为则两焦点为, 两顶点为由与两个焦点连线垂直得, 所以由与两个顶点连线的夹角为得, 所以, 则所以方程为21.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析: （1）, 因为, 所以在区间上是增函数,故, 解得．（2）由已知可得, 所以, 可化为,化为, 令, 则, 因, 故,记, 因为, 故,所以的取值范围是22.考点: 3. 3 导数在研究函数中的应用试题解析:（1）, 所求切线的斜率所求切线方程为即（2）由, 作函数,其中由上表可知, , ；,由, 当时, , 的取值范围为, 当时, , 的取值范围为∵, 恒成立, ∴答案：（1）（2）存在, , 恒成立100.在中, 角所对的边分别为, 且满足, .（.）求的面积；（II）若, 求的值.46.考点: 正弦定理余弦定理试题解析：（Ⅰ）又, , 而, 所以, 所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 而, 所以所以答案: (1)2(2)。
高二数学下学期期末考试试卷 文含解析 试题
2021—2021学年第二学期高二期末考试文科数学试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分,一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项。
，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合A=,所以,A∩B={0},故答案为：C【点睛】此题主要考察集合的化简和运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.2.(为虚数单位) ，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得，再利用复数的除法计算得解.【详解】由题得，故答案为：B【点睛】此题主要考察复数的运算，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.是定义在上的奇函数，当时，，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出的值.【详解】由题得，故答案为：D【点睛】(1)此题主要考察奇函数的性质，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)奇函数f(-x)=-f(x).4.以下命题中，真命题是A. 假设，且，那么中至少有一个大于1B.C. 的充要条件是D.【答案】A【解析】【分析】逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项A,假设x≤1，y≤1，所以x+y≤2，与矛盾，所以原命题正确.当x=2时，2x=x2，故B错误．当a=b=0时，满足a+b=0，但=﹣1不成立，故a+b=0的充要条件是=﹣1错误，∀x∈R，e x＞0，故∃x0∈R，错误，故正确的命题是A，故答案为：A【点睛】〔1〕此题主要考察命题的真假的判断，考察全称命题和特称命题的真假，考察充要条件和反证法，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕对于含有“至少〞“至多〞的命题的证明，一般利用反证法.，那么该抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出p的值，再写出抛物线的焦点坐标.【详解】由题得2p=4,所以p=2,所以抛物线的焦点坐标为〔1,0〕.故答案为：C【点睛】〔1〕此题主要考察抛物线的简单几何性质，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2)抛物线的焦点坐标为.是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的选项是A. 大前提B. 小前提C. 推理形式D. 以上都是【答案】A【解析】【分析】由于三段论的大前提“对数函数是增函数〞是错误的，所以选A. 【详解】由于三段论的大前提“对数函数是增函数〞是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A【点睛】(1)此题主要考察三段论，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.【详解】由题得，a>0,b>0.所以.故答案为：C【点睛】(1)此题主要考察指数函数对数函数的单调性，考察实数大小的比拟，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕实数比拟大小，一般先和“0〞比，再和“±1〞比.，，假设∥，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据∥得到，解方程即得x的值.【详解】根据∥得到.故答案为：D【点睛】(1)此题主要考察向量平行的坐标表示，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2) 假如=,=，那么||的充要条件是.那么的值是．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出f(2)的值，再计算的值.【详解】由题得f(2)=,故答案为：C【点睛】(1)此题主要考察分段函数求值，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)分段函数求值关键是看自变量在哪一段.10.为等比数列,,,那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，由等比数列性质可知考点：等比数列性质视频11.某几何体的三视图(单位：cm)如下图，那么该几何体的体积是( )A. 72 cm3B. 90 cm3C. 108 cm3D. 138 cm3【答案】B【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：V=3×4×6+×3×4×3=90〔cm3〕．故答案选：B．上的奇函数满足，且在区间上是增函数.，假设方程在区间上有四个不同的根，那么A. -8B. -4C. 8D. -16【答案】A【解析】【分析】由条件“f〔x﹣4〕=﹣f〔x〕〞得f〔x+8〕=f〔x〕，说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【详解】f(x-8)=f[(x-4)-4]=-f(x-4)=-·-f(x)=f(x),所以函数是以8为周期的函数，函数是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×〔﹣6〕=-12，另两个交点的横坐标之和为2×2=4，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为：A【点睛】(1)此题主要考察函数的图像和性质〔周期性、奇偶性和单调性〕，考察函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和数形结合分析推理才能.(2)解答此题的关键是求出函数的周期，画出函数的草图，利用数形结合分析解答.二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分。
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】C【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在x 轴上且122p =，∴其焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.2．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（）A ．①简单随机抽样，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，②分层抽样D ．①②都用分层抽样【答案】B【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.3．点(0,0)与点(2,2)-关于直线l 对称，则l 的方程是（）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】B【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.【详解】过点(0,0)与点(2,2)-直线的斜率为20120-=---，则直线l 的斜率为111-=-，点(0,0)与点(2,2)-的中点为(1,1)-，所以直线l 的方程为11y x -=+，即20x y -+=.故选：B4．下列叙述中，错误的是（）A ．数据的标准差比较小时，数据比较分散B ．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响C ．数据的极差反映了数据的集中程度D ．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变【答案】A【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A 错误；样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故B 正确；数据的极差反映了数据的集中程度，故C 正确；任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D 正确.故选：A.二、多选题5．已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A ．ab ac>B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．三、单选题6．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）记忆能力x46810识图能力y 3568A ．9.2B ．9.7C ．9.5D ．9.9【答案】C 【分析】求出,x y ，线性回归方程 45y x a =+恒过(),x y ，代入即可求出a ，再令x ＝12，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14681074x =⨯+++=，()13568 5.54y =⨯+++=，线性回归方程为45y x a =+，则45.575a =⨯+，解得0.1a =-，故41510y x =-，当x ＝12时， 41129.5510y =⨯-=.故选：C.7．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，给出下列三个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若α⊥β，β⊥y ，则α∥y ；③若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，则l ∥m ∥n .其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由线面、面面的平行、垂直的判定与性质逐一判断即可.【详解】l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，对于①，若m ∥l ，且m ⊥α，则由线面垂直的判定定理得l ⊥α，故①正确；对于②，若α⊥β，β⊥y ，则α与y 相交或平行，故②错误；对于③，如图，若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，结合图形得l ，m ，n 交于同一点，故③错误.故选：B.8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a ＝12，b ＝8，i ＝0，则输出的结果为（）A ．a ＝6，i ＝2B ．a ＝5，i ＝3C ．a ＝4，i ＝2D ．a ＝4，i ＝3【答案】D 【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.【详解】初始值a ＝12，b ＝8，i ＝0，第一次执行循环体后，i ＝1，a ＝4，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i ＝2，b ＝4，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i ＝3，a ＝b ＝4，满足退出循环的条件；故输出i ＝3，a ＝4，故选：D.9．直线l 经过点()1,2A ，在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线l 的方程，得到其在x 轴的截距，列出不等式，即可得到结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，则方程为()21y k x -=-，令0y =，解得21x k=-，故直线l 在x 轴上的截距为21k-，∵在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，∴2313k-<-<，解得1k <-或12k >.故选：C.10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度|AB |＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度约为（）A ．3.1mB ．3.3mC ．3.5mD ．3.7m【答案】B 【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则()4,4C -，设抛物线方程()220x py p =->，将点C 代入抛物线方程得2p =，∴抛物线方程为24x y =-，行车道总宽度6m AB =，∴将3x =代入抛物线方程，则 2.25m y =-，∴限度为6 2.250.5 3.25m --=.故选：B.11．已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的33倍，若其外接球的表面积为60π，则该棱柱的底面边长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先设底面边长为a ，从而用a 表示出棱柱的高（它的一半即为球心到底面的距离d ）和底面外接圆的半径r ，再由球的表面积求出球的半径，然后利用222R r d =+即可列式求解.【详解】设该棱柱的底面边长为a ，则该棱柱的高为33a ，设正三角形的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得2πsin 3ar =，即3a r =，设其外接球的半径为R ，则24π60π=R ，即215R =，又22236a R r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以236a =，即6a =，则该棱柱的底面边长为6，故选：C.12．已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【分析】因为1//OQ PF ，O 是12F F 的中点，所以Q 为PF 2的中点．又2QF OP ⊥，2F 到渐近线b y x a =的距离为b ，得出21QF F ∠的余弦值，在△QF 2F 1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.【详解】根据对称性不妨设P 为第一象限的点，∵O 为F 1F 2的中点，又1//OQ PF ，∴Q 为PF 2的中点，又F 2（c ，0）到b y x a=的距离22bc d b a b ==+，∴|PF 2|＝b ，∴|QF 2|＝2b ，连接1QF ，所以12222b QF QF a a =+=+，又|F 1F 2|＝2c ，∵PO 的斜率为b a，又QF 2⊥PO ，∴QF 2的斜率为a b -，∴21tan a QF F b ∠=，∴21cos b QF F c∠=，在△QF 2F 1中，由余弦定理可得：224242222b b c a b b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⋅⋅，化简可得a ＝b ，∴双曲线C 的离心率为221b a+＝2.故选：A.四、填空题13．写出使“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值___.【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）【分析】由双曲线焦点在x 轴上的特征求解即可.【详解】∵方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则030m m >⎧⎨-<⎩，即3m >，∴“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.14．已知变量x ，y 满足约束条件320x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_____.【答案】5【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+得1122y x z =-+，平移直线1122y x z =-+，由图象可知当直线1122y x z =-+经过点A 时，直线1122y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由23y x x y =⎧⎨+=⎩解得(1,2)A ，此时1225z =+⨯=，故答案为：5.15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台O ′O 的母线长为________cm.【答案】9【分析】设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，利用相似知识，求出圆台的母线长．【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，根据相似三角形的性质得334x y x=+．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm ．故答案为9cm ．【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.16．关于曲线:1C x x y y +=有如下四个命题：①曲线C 经过第一、二、四象限；②曲线C 与坐标轴围成的面积为π2；③直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点；④直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点.其中所有真命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】分0,0x y ≥≥，0,0x y <>，0,0x y ><，0,0x y <<四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.【详解】当0,0x y ≥≥，可得曲线方程为221x y +=，为圆的一部分；当0,0x y <>，可得曲线方程为221y x -=，为双曲线的一部分；当0,0x y ><，可得曲线方程为221x y -=，为双曲线的一部分；当0,0x y <<，曲线方程为221x y --=，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示，由图可知，曲线C 经过第一、二、四象限，故①正确；②中，围成的面积S ＝21ππ144S =⋅⋅=，故②不正确；③中，因为直线x y m +=的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，圆心O 到直线的距离||12m d ==，0m >，则2m =时，直线与曲线相切，只有一个交点，当()0,2m ∈时，直线与曲线有两个交点，当2m >或0m ≤时，直线与曲线无交点，所以直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故③正确；④由图象知直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.五、解答题17．已知函数2()1f x x x m =-+，R m ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()10f x x m --+<.【答案】(1)()2,2-(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出m 的范围；（2）化简不等式，然后讨论1m =，1m >，1m <三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为R ，则240m ∆=-<，解得22m -<<，所以实数m 的范围为()2,2-；（2）不等式()10f x x m --+<化简为2(1)0x m x m -++<，即(1)()0x x m --<，因为方程2(1)0x m x m -++=的两根分别为11x =，2x m =，当1m =时，不等式化为2(10)x -<，此时不等式无解，当1m >时，解不等式可得1x m <<，当1m <时，解不等式可得1m x <<，综上可得：当1m =时，不等式的解集为∅，当1m >时，不等式的解集为(1,)m ，当1m <时，不等式的解集为(,1)m ．18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为SD 、BC 的中点.(1)证明：//EF 平面SAB ；(2)若平面SAD ⊥平面ABCD ，且△SAD 是边长为2的等边三角形，120BAD ∠=︒.求四棱锥S ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据题意，取SA 中点M ，连接BM ，EM ，即可证明MEFB 为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，取AD 的中点N ，连接SN ，由线面垂直的判定定理即可得到SN ⊥平面ABCD ，再由三棱锥的体积公式即可得到结果.【详解】（1）证明：取SA 中点M ，连接BM ，EM .又E 分别为SD 的中点，所以//ME AD ，且ME ＝12AD ，因为底面ABCD 为菱形，F 分别为BC 的中点，所以BF ＝12AD ，//BF AD ，所以//ME BF ，且ME ＝BF .所以MEFB 为平行四边形.所以//EF BM .又因为EF ⊄平面SAB ，BM ⊂平面SAB ，所以//EF 平面SAB .（2）取AD 的中点N ，连接SN ，因为SAD 是边长为2的等边三角形，所以SN ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SN ⊂平面SAD ，所以SN ⊥平面ABCD ，因为菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AD ＝2，所以3sin 22232ABCD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=，因为SA ＝AD ＝SD ＝2，N 是AD 的中点，易得SN ＝3.所以三棱锥S ﹣ABC 的体积V ＝11233233ABCD S SN ⋅=⨯⨯=.19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】(1)18.32（万元）(2)20.8万元，理由见解析【分析】（1）根据概率和为1算出a 的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：（0.03+a +0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a ＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：x ＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x ，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x ）×0.1+0.08＝0.2，解得x ＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.20．已知圆心为C 的圆过点()3,0A ，()2,3B ，在①圆心在直线10x y --=上；②经过点()1,2M -这两个条件中任选一个作为条件.(1)求圆C 的方程；(2)经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，已知切线长为4，求点P 的坐标.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，()2214x y -+=(2)()3,4或()5,2【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线AB 垂直平分线所在直线方程，然后与直线10x y --=联立，即可得到圆心，从而得到圆C 的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.【详解】（1）若选①，∵圆过点()3,0A ，()2,3B ，则直线AB 的斜率为3323k ==--，所以与直线AB 垂直的直线斜率32k '=，且AB 的中点为323,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，即53,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则AB 的垂直平分线所在直线方程为335232y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即310x y --=，又知圆心在直线10x y --=上，∴31010x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得1,0x y ==，所以圆心()1,0C .半径为2r AC ==.所以圆的标准方程为()2214x y -+=.若选②，设圆的方程为220x y Dx Ey F +++==，（其中2240D E F +->），则930432301420D F D E F D E F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得2,0,3D E F =-==-，所以，圆方程为22230x y x +--=，化为标准方程为()2214x y -+=.（2）设(),7P x x -，∵经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，切线长为4，∴()()()22221744x x -+-=+，化简得22165020x x -+=，∴28150x x -+=，解得3x =或5x =，∴点P 的坐标为()3,4或()5,2.21．已知曲线C 上任意点到点F （1，0）距离比到直线x +2＝0的距离少1.(1)求C 的方程，并说明C 为何种曲线；(2)已知A （1，2）及曲线C 上的两点B 和D ，直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2＝1，求证：直线BD 经过定点.【答案】(1)y 2＝4x ，抛物线；(2)证明见解析.【分析】（1）设曲线C 上的点P （x ，y ），化简方程22(1)1|2|x y x -++=--，即得解；（2）由直线AB ，AD 的斜率之和为1，可以用齐次式方程，设直线BD 的方程，将求出C 的方程也整理，两式联立，可得齐次式方程，曲线斜率之和，整理可得直线恒过的定点的坐标．【详解】（1）设曲线C 上的点(,)P x y ，由题意22(1)1|2|x y x -++=--，且2x >-，整理可得：24y x =；可得曲线C 的方程为24y x =,曲线为抛物线；（2）证明：显然直线AB ，BD 的斜率存在，设1(B x ，1)y ，2(D x ，2)y ，11121y k x -=-，22221y k x -=-，利用齐次式方程，所以设直线BD 的方程为(1)(2)1m x n y -+-=，设抛物线的方程为2[(2)2]4[(1)1]y x -+=-+，整理可得：2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，将(1)(2)1m x n y -+-=代入2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，整理可得：2(2)4(2)[(1)(2)]4(1)[(1)(2)]0y y m x n y x m x n y -+--+----+-=，即22(14)(2)(44)(1)(2)4(1)0n y m n x y m x +-+-----=，两边同时除以2(1)x -可得：222(14)()(44)4011y y n m n m x x --+⋅+-⋅-=--，△0>，设方程的根为1k ，2k ，则124414m n k k n-+=-+，由题意可得44114m n n --=+，整理可得41m -=，与(1)(2)1m x n y -+-=对应项相等，可得14x -=-且20y -=，解得3x =-，2y =，即直线(1)(2)1m x n y -+-=恒过定点(3,2)-，即可证得直线BD 恒过定点(3,2)-．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为105，短轴长为23.(1)求C 的方程；(2)过C 的右焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB += ，过点M 作AB 的垂线与x轴和y 轴分别交于D ，E 两点.记MFD △，△OED （O 为坐标原点）的面积分别为1S ､2S ，求1221S S S S +的取值范围.【答案】(1)22153x y +=(2)97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由短轴长可求出b ，由离心率的值可求出a ，即可求出椭圆方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，将直线和椭圆方程联立，进而求出点M 的坐标，由直线MD 的方程可求出点D ,E 的坐标，求出MFD △，△OED 的面积的表达式，再由三角形相似，可得对应边的比，进而求出面积比，最后由函数的单调性求出范围.【详解】（1）由题意可得223b =，解得3b =，221015c b e a a ==-=，解得，25a =，所以椭圆的方程为：22153x y +=；（2）由（1）得右焦点(2F ，0)，由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为点M 满足0MA MB += ，所以M 为AB 的中点，联立222153x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(53)6290m y my ++-=，因为F 在椭圆内部，显然0∆>，1226253m y y m +=-+，122953y y m -=+，所以AB 的中点M 的纵坐标为23253m m -+，代入直线l 的方程为22325225353m x m m m -=⋅+=++，即252(53M m +，232)53m m -+，即直线ME 的方程为225232()5353m y m x m m =---++，令0x =，解得22253E m y m=+，即222(0,)53m E m +，令0y =，解得22253D x m =+，即222(53D m +，0)，12DOE S OD OE =⋅ ，12MFD S MF MD = ，由题意可得△DOE ∽△DMF ，所以DOOEDM MF =，设DO OEk DM MF ==，则212S k S =，而2222222222228||84(53)||18(1)9(1)522232()()535353OD m k DM m m m m m m +====++--++++，所以21222149(1)9(1)4S S m S S m ++=++，设211t m =+>，令12211649981()944S S t f t t S S t t ⎛⎫ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，1t >，函数在()1,+∞单调递增，所以4997()9436f t >+=，所以1221S S S S +的取值范围为97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
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高二(上)期末考试
数学试卷(文科)
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．抛物线24
1x y =的准线方程是( )
A ．1-=y
B ．1=y
C ．16
1-=x
D ．16
1=x
2．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞)
B ．(0，2)
C ．(1，+∞)
D ．(0，1)
3．若双曲线E ：116
92
2=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|
等于 ( ) A ．11
B ．9
C ．5
D ．3或9
4．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2
x -5x -6<0，则p 是q 的
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
5．一动圆P 过定点M (-4，0)，且与已知圆N ：(x -4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( ) A ．)2(112
42
2≥=-x y x
B ．)2(112
42
2≤=-x y x
C ．112
422
=-y x
D ．112
42
2=-x y
6．设P 为曲线f (x )=x 3+x -2上的点,且曲线在P 处的切线平行于直线y =4x -1,则P 点的坐标为( ) A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)或(-1,-4)
D ．(2,8)或(-1,-4)
7．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
2
1
，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，点A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |= ( ) A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
8．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
9．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A ．)4
5
,23(
B ．(1，1)
C ．)4
9
,23(
D ．(2，4) 10. 函数x e y x =在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡221，上的最小值为 ( ) A ．e 2
B ．
2
21e C ．
e
1
D ．e
11．已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 ( ) A ．
4
3 B ．2
3 C ．1 D ．2
12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A 、B 两点,连接AF 、
BF . 若|AB |=10,|BF |=8，cos ∠ABF =4
5
,则C 的离心率为 ( ) A.
3
5
B.
5
7 C.
4
5
D.
67
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若抛物线y ²=-2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为
________. 14．已知函数f (x )=
3
1x 3+ax 2
+x +1有两个极值点,则实数a 的取值范围是 . 15．过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________.
16．双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双
曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为__________. 三、解答题（共70分） 17. （本小题满分10分）
(1)是否存在实数m ，使2x +m <0是x 2-2x -3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m ，使2x +m <0是x 2-2x -3>0的必要条件？
18. （本小题满分12分）
已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另外一条切线,且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程.
(2)求由直线l 1,l 2和x 轴围成的三角形的面积.
19. （本小题满分12分）
双曲线C 的中心在原点，右焦点为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0,332F ，渐近线方程为x y 3±=.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设点P 是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m 、n .证明n m ⋅是定值.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且10=⋅OA FA .
(1)求此抛物线C 的方程.
(2)过点(4，0)作直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，求证：OM ⊥ON
21. （本小题满分12分）
已知函数),()(2
3
R b a bx ax x x f ∈++=，若函数)(x f 在1=x 处有极值4-. (1)求)(x f 的单调递增区间；
(2)求函数)(x f 在[]2,1-上的最大值和最小值.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的一个顶点为A(2，0)，离心率为
2
2.直线y=k(x-1)与椭圆C
交于不同的两点M、N.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN的面积为
3
10时，求k的值.
高二期末数学（文科）试卷答案
一.选择题（每小题5分，共60分） 1-6ADBBCC 7-12BCBDDB 二．填空题（每小题5分，共20分）
13 （-9,6）或（-9，-6） 14 ()()∞+⋃-∞-，1
1, 15 3
5
16 1± 二．解答题（共70分） 17. (1)欲使得是
的充分条件, 则只要或
,
则只要
即
,
故存在实数时, 使是
的充分条件.
(2)欲使是
的必要条件,
则只要
或,
则这是不可能的,
故不存在实数m 时, 使
是
的必要条件.
18. （1）由题意得y′=2x+1.
因为直线l 1为曲线y=x 2+x-2在点（1，0）处的切线， 直线l 1的方程为y=3x-3.
设直线l 2过曲线y=x 2+x-2上的点B （b ，b 2+b-2），则l 2的方程为y-(b 2+b-2)=(2b+1)(x-b). 因为l 1⊥l 2，则有k 2=2b+1=-，b=-，
所以直线l 2的方程为y=-x-.
（2）解方程组得.
所以直线l 1、l 2的交点坐标为（，-）.
l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、(-，0）.
所以所求三角形的面积为S=××|-|=.
19. （1）易知 双曲线的方程是1322=-y x . （2）设P ()00,y x ，已知渐近线的方程为：x y 3±= 该点到一条渐近线的距离为：1
3300+-=
y x m
到另一条渐近线的距离为1
3300++=
y x n
4
1
2232
020=⨯-=⋅y x n m 是定值.
20.（1）根据题意，设抛物线的方程为（
），因为抛物线上一点
的横坐标为，
设，因此有， ......1分
因为
，所以
，因此
，
......3分
解得，所以抛物线的方程为； ......5分
（2）当直线的斜率不存在时，此时的方程是：
，因此M
，N
，因此
N
O M O
⋅，所以OM ⊥ON ； ......7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程是
，因此
，得，设M
，N
，则
，
，
， ......9分
所以N
O M O
⋅，所以OM ⊥ON 。
......11分
综上所述，OM⊥ON。
......12分
21.(1),根据题意有,,
即得.
所以,
由,得,
所以函数的单调递减区间.
(2)由(1)知,
,
令,计算得出,.
,随x的变化情况如下表:
由上表知,函数在上单调递减,在上单调递增.
故可得,.
22.（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为。
（2）由，得。
设点、的坐标分别为，则，，。
所以
又因为点到直线的距离，所以的面积为。
由得，。