波的叠加,干涉,驻波

相邻两个波腹间的 2 距离为
18
T t 0, : 2
能量分布
各质点最大位移v 0, Ek 0, E Ep集中于波节附近（形变 最大）
T 3 t , T: 4 4
各质点达平衡位置，形 变为零, Ep 0, E Ek , 集中于波腹附近(速率最大)
在驻波形成后，各个质 点分别在各自的平衡位置附 近作简谐运动。能量(动能
A A1 A2
即：两列相干波源为同相位时，在两列波叠加 的区域内，在波程差等于零或等于波长的整数倍的 各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的 各点，振幅最小。
7
波强的叠加 因 IA2 A12
A A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
A 2 A1 A2 cos
波的叠加原理 波的干涉 驻波
1. 波的叠加
波传播的独立性:如果在同一介质中，同时有几列 波传播, 那么每一列波都将保持自己原有的特性(频 率、波长、振动方向等)独立地传播，不因其他波的 存在而改变。
S1
S2
1
波的叠加原理: 有几列波同时在媒质中传播时，在 各波相遇或叠加区域，任一点的位移为各波单独在该 点产生的位移的合成，即为各波在该点引起的振动的 叠加。 对于某一给定点，波的叠加即为振动的叠加 叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列 简谐波的组合。
2 2
I I1 I 2 2 I1I 2 cos
即波强也随空间位置而分布
若I1=I2，叠加后波的强度：
I 2 I1[1 cos( )] 4 I1 cos 2
2
2k ,
I 4I ;
(2k 1) ,
I 0
8
I
6 4 2

k 1,0,1,2,
28
多普勒效应
1. 机械波的多普勒效应
多普勒效应：波源或观察者相对于 介质运动，使观察者接收到的波的频率 发生变化的现象。
29
(1) 波源不动，观察者以速度vR相对于介质运动 波源速度vS = 0, 观察者向波源运动的速度为vR( > 0 )
30
波源S 静止, 观察者O 以速度vR相对介质运动
u
n 1
u 1 基频（音调） n 1 2L 谐频 泛音（音色）
所有可能的振动模式：简正模式
对应频率为简正频率，为系统固有频率（多个）
22
驻波的特征 (1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前一 质点的振动。 振幅最强 A 2 A1位置： 波腹 振动相消 A=0 位置： 波节
两相邻波腹（或波节） 相距 2
y
3λ 4
λ 2
λ 4
λ 4
λ 2
3λ 4
O
相位分布图
x
20
半波损失
对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 与波速 u的乘积u 较大的介质称为波密介质，u 较小的介质 称为波疏介质。 当波从波疏介质传播到波密介质分界面，反射点 是波节，表明入射波在反射点反射时有相位 的突变 相当于在波程上突变 2。这一现象称为半波损失。
波疏
波密
波密
波疏
21
当波从波密介质传到波疏介质再反射，反射点 两振动同相，为波腹。
4. 弦线上的驻波
n L n , n 1, 2 2
两端 固定
两端固定，必为波节
弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。
2L n n
n2
nu vn n 2 L
n4 u nu vn n 2 L
u入
O
3 4
疏 密
P
x 反 A cos[ 2v(t ) ] u 2
由干涉相消条件
x
得 又
4vx 4x 2 1 (2k 1) u x ( 2k 1) （或者先求出驻波方程， 4 再得到波节点的位置）
3 x 4
3 3 5 即所求波节位置： x , , , , , 4 4 4 4 4
P
x
2) 入射波在反射点P引起的振动方程为 3 / 4 Ψ 入p A cos2v t A cos2vt u 2 由半波损失 P为波节点 p 入p 反p 0 反射波在P点振动方程为
反p A cos(2vt )
（合振幅最大）干涉相长
当 20 10 2 (r2 r 1 ) (2k 1) 时，得
A A1 A2
（合振幅最小）干涉相消
当 为其他值时，合振幅介于
A A1 A2 和 A A1 A2 之间
6
20 10 2 (r2 r1 )

S1
S2
u p
S1、S 2为相干波源，相距 ，I I 2 I 0 , 10 20 4 1
求:
2wk.baidu.com
S1、S2连线上， S1外侧，S2外侧合成波强度
20 10 2
干涉相消，合成波
）对S1外侧P点 解： 1
r2 r1

4 2 2
12
3. 驻波
是一种特殊的干涉现象，是由两列振幅相同的相 干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
13
实验——弦线上的驻波：
14
实验——弦线上的驻波：
t 0
t T 4 t T 2 t 3T 4
OA B C D EF GH
波节O B D F H
波腹A C E G
24
例： 已知：平面简谐行波 A、 、u 沿 +x 传播
t = 0 时 原点处 0 0, v0 0, P为反射点 求： 1) 入射波函数； 2) 反射波函数； 3) x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
u入
O
3 4
疏 P
密
x
25
解：1)
t=0时 原点处 O
u入
3 4
疏 密 P x

y1 A1 cos( t 10 2r1 ) y2 A2 cos( t 20 2r2 )
2r1 2r2 A1 sin 10 A2 sin 20 tg0 2r1 2r2 A1 cos 10 A2 cos 20 对于P点 20 10 2 (r2 r1 ) 为恒量，
稳定的分段振动
(2)相邻波节之间各点同相 同一波节两侧的点反相
没有振动状态或相位的传播，而是介质中各质点作稳 23 定的振动或段与段之间的相位突变，与行波完全不同
(4) 驻波系统的固有频率：
L n
(n 1,
n
2
2,
2L n n
3,)
nu vn n 2 L
u
总之： “驻”波 外形象波： 具有空间、时间周期性； 波形、能量不向前传播、无滞后效应
即 S1 外侧不动
11

A 0, I 0
u p S1
S2
r2 r1
u p
2）对S2外侧P点
20 10 2



2
2
4

0
干涉相长、合成波
A 2 A1 , I 4I 0
即S 2外侧各点振动最强。
思考：
S1 , S 2 之间如何？
相邻两个波节间的 2 距离为
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x (2k 1)

y y 1 y 2 2 A cos
2 x

cos t
振幅 2 A cos x
2
o、b、d、f ...
振动最强 A 2 A1 , 称波腹 波腹位置： cos
2
2

x 1

x k
xk

2
(k 0,1,2,....)
o
2
4
6

干涉现象的强度分布 同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇 区域内,不同位置处对应不同的恒定的相位差，从而 合振动的振幅大小随空间位置而分布，某些点处振 动始终加强,另一些点处的振动始终减弱,这一现象 称为波的干涉。
9
干涉现象的强度分布
相干波的产生方法：杨氏双缝实验
10
例题 已知： p u
若10=20，上述条件简化为： 2 (r2 r1 ) 引入波程差

r2 r1

2
r2 r1 k , k 0, 1, 2,
r2 r1 2k 1
A A1 A2 （干涉相长）
（干涉相消）
, k 0, 1, 2,
反射波函数： 3 / 4 x x Ψ 反 A cos 2 v t A cos 2 v t 27 u u 2
3) 入射波、反射波干涉静止条件：
x Ψ入 A cos[ 2 (t ) ] u 2
合成波的振幅 2 A cos
2

x 与位置x 有关。
驻波方程
16
y y 1 y 2 2 A cos
2 x

cos t
振幅 2 A cos
2

x
a、c、e、g... 始终不振动 A=0，称波节 2 x 0 波节位置 cos
2


x (2k 1)

2
4 (k 0, 1, 2,....)
(2)观察者不动，波源以速度vS相对于介质运动
因此 A 也是恒量，并与 P点空间位置密切相关。 A随空间位置而变化
5
A A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
20 10 2 (r2 r1 )
当 20 10 2 (r2 r1 )
2k 时，得
A A1 A2
0 0,
v0 0,
原点初相 0

2

2 )
原点振动方程为： 0 A cos( 2t 入射波函数为：
x Ψ入 A cos[ 2 (t ) ] u 2
26
x Ψ入 A cos[ 2 (t ) ] u 2
u入
O
3 4
疏 密
和势能)在波节和波腹之间
来回传递，无能量的传播。
19
相位分布
y y 1 y 2 2 A cos
2 x

cos t
振幅项2 A cos 2x 可正可负,时间项 cos(t ) 对波线上所有质点有相同的值，表明驻波上相邻 波节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振 动有相位差 。

·
vR u
S
O
单位时间内，位于观察者 左边的波源发出的波向右传 播了距离 u ，同时观察者向左 移动了距离 v R , 这相当于波通 过观察者的距离为u+vR。 单位时间内，通过观察者 的完整波的个数(频率)为：
f
u vR

u vR uT
u vR f f u
若O背离S 运 动,则以－vR代 替vR。 31
S2
S 2 P r2
P
S1和 S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为:

y1 A1 cos( t 10 2r1 ) y2 A2 cos( t 20 2r2 )
4
P 点实际合振动为:
y y1 y2 A cos(t 0 ) 振幅A和相位 0 2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos20 10 2 (r2 r1 )
2
2.波的干涉
相干条件： 振动方向相同
频率相同 相位相同或相位差恒定
相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。
显然，在相遇点，两相干波的叠加为两同方向、 同频率的振动的合成问题
3
强弱分布规律
两个相干波源S1和 S2 的振动方程分别为：
S1
S1P r1

yS 1 A10 cos( t 10 ) yS 2 A20 cos( t 20 )
15
定量分析： 沿x轴的正、负方向传播的波 （设在原点处二者初相位均为零）
t x y1 A cos 2 T
合成波
t x y2 A cos 2 T
t x t x y y1 y2 Acos 2 ( ) cos 2 ( ) T T 2 2 (2 A cos x) cos t T