不确定度的计与合成

第五章 不确定度的估计与合成

测量数据或经数据处理所给出的最终结果都不可能是被测量的客观真实值，只是被 测量具有一定精度的近似(或称为估计量)。所以，数据处理的结果仅给出被测量的估计 量是不够的，还必须对估计量作出精度估计。

测量或测量结果的精度估计(或可信赖程度)以“不确定度”这一参数表征。本章涉及 不确定度的表征参数，不确定度分量的估计和诸项不确定度分量的合成。测量不确定度 的表述涉及到测量误差的性质、分布、误差因素间的相关关系，测量方法及数据处理方法 等，在讨论不确定度时应特别注意有关的前提条件。

不确定度的表述是测量数据处理中的基本问题之一。本章讨论的基本原则和基本方 法同样适用于仪器、设备的精度分析。

5．1 不确定度及其表征参数

一、不确定度的概念

经过修正的测量结果仍然有一定的误差，它们的具体数值是未知的，因此无法以其误差的具体数值来评定测量结果的优劣。

测量误差或大或小，或正或负，其取值具有一定的分散性，即不确定性。在多次重复 测量中，可看出测量结果将在某一范围内波动，从而展示了这种不确定性。测量结果取值 的这一不确定性反映了测量误差对测量结果的影响。可以这样认为，测量结果可能的取值范围越大，即其误差值的可能范围越大，表明测量误差对测量结果的影响越大(在概率的意义上)，测量结果的可靠性越低。反之，测量结果可能的取值范围越小，表明测量误差对测量结果的影响越小，即测量结果不确定的程度越小，因而测量结果也就越可靠。为反映测量误差的上述影响，引入“不确定度”这一概念。

测量的不确定度表示由于存在测量误差而使被测量值不能肯定的程度。它的大小表征测量结果的可信程度。按误差性质，不确定度可分为系统分量的不确定度和随机分量的不确定度；按其数值的估计方法，不确定度可分为用统计方法估计的和用其他方法估计的二类；

应注意，测量的不确定度与测量误差是完全不同的两个概念。不确定度是表征误差对测量结果影响程度的参数，而不是误差。测量误差取值具有不确定性并服从一定的分布，而不确定度对某一确定的测量方法来说具有确定的值(只是在实际估计时，所得不确定度的估计量有一定的不确定性)，两者的性质完全不同。

二、不确定度的表征参数

前面已给出了表征随机误差分布特征的参数——方差D 与标准差σ。方差D 或标 准差σ反映了测量结果(或测量误差)可能取值的分散程度。D 或σ较大，则误差分布曲 线较宽，表明测量结果可能的取值范围较宽，在概率意义上测量误差的影响较大，应认为 该测量结果精度较低，或可靠性较差。反之，D 或σ较小，则相应的误差分布曲线高而窄， 表明测量误差的影响小，测量结果取值不确定的程度小而精度高。方差或标准差是测量 误差作用的表征参数，与误差值本身不同。

因此，方差D 或标准差σ可作为测量不确定性的表征参数。实践上则使用估计的标 准差(子样标准差)s 作为不确定度的表征参数，在不确定度的表述中常称为标准不确定度，用u 表示，即u s =。

测量不确定度也可用扩展不确定度表示为 U ku =

式中，k 为包含因子，是相对应于置信概率1P α=-(α为显著度)的置信系数。置信概率

P 为测量数据包含于区间(,)ku ku -的概率。通常置信概率取约定值，如95%P =，

99%P 等。

当u 值可信度较高时，由选定的P 值按正态分布确定是值(当被测量误差服从正态 分布时)。但当u 值可信度较低时(由小子样获得u 值)，则应按t 分布确定k 值。

不确定度的合成结果不仅与各分量的不确定度有关，而且还与各误差分量间的相关 性有关。因为相关性影响误差间的抵偿作用，进而影响总误差的分散性，这种影响以协方 差(相关矩)反映出来。所以，必要时还应给出各误差分量的协方差(相关矩)或相关系数。 用统计的方法给出不确定度时，因为所依据的测量数据的数目是有限的，所以给出的 方差或标准差仅是其估计量(子样方差或子样标准差)。随着测量数据数目的增加，所给出的方差估计量或标准差估计量的可靠性趋于增强；而在测量数据数目很少时，所给方差 或标准差的估计量的精度则很低。

为反映所给方差(或标准差)估计量的可靠性的这一差别，应给出相应的自由度。 自由度是指所给的方差(或标准差)的估计量中所含独立变量的个数。显然，独立变 量数越多，即自由度越大，所给估计方差就越可靠。

当按t 分布估计扩展不确定度时，自由度是必须涉及的关键参数。 不确定度也可以相对量的形式给出，如x u x ，x

U x

等。

5．2 不确定度的估计

为了给出测量的总不确定度，实践中通常首先估计出其各项分量，然后再按一定方式合

成。因而，在不确定度评定中，如何恰当地估计不确定度各项分量，具有关键性意义。 标准差是不确定度的基本表征参数，为讨论方便，以下仅按标准差讨论不确定度的估计。

我们可以用不同的方法给出标准差，这些方法可以归结为统计的和非统计的两类方法。 一、用统计的方法估计不确定度

用统计的方法估计不确定度是指依据一定数量的测量(或实验)数据，按数理统计的方法给出测量的不确定度。这一方法以统计实验和统计理论为基础，所给结果具有明确的概率意义和一定的客观性。原则上，对于测量的随机误差的不确定度总可以用统计的方法作出估计。 不确定度的统计估计都是根据有限次测量的数据所给出的精度参数，它们是子样的方差，标准差或极限误差等，是总体相应参数的估计量。本书以不同的符号，如2

s 、s 等表示这种子样参数，以区别于总体参数(即理论意义上的参数)。所依据的数据越少(小子样)，给出的不确定度估计(参数2

s 、s 等)的可信程度就越差；而数据越多(大子样)，给出的不确定度的可信程度就越高(即更接近理论意义上的总体参数)。这一差别以所给不确定度的自由度表示。我们总希望给出的不确定度估计可信程度高一些，这就要求获得尽可能多的测量数据。实际上因种种条件的限制，测量数据不会太多，有时甚至很少。因此一般给出的不确定度的可信程度是有限的，给出不确定度的有效数字通常只须取1～2位。

为估计测量的不确定度，通常采用对某一确定量的等精度的重复测量数据作为统计数据。对于不等精度的测量数据应按加权值作统计估计。对于组合量的测量数据则常采用最小二乘法处理，并按相应的方法估计测量的不确定度。

以下着重讨论依据等精度重复测量数据，用统计方法估计测量的(或测量数据的)标准差的方法。 1．矩法