《幂的乘方与积的乘方》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章整式的乘除

1.2幂的乘方与积的乘方

第2课时 教学设计

一、教学目标

1.掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题．

2.探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力．

二、教学重点及难点

重点：理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则．

难点：运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，运算时正确运用运算法则．

三、教学准备

多媒体课件

四、相关资源

相关图片

五、教学过程

【复习回顾】

1．同底数幂的乘法的运算性质：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

2．幂的乘方的运算性质：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

设计意图：通过复习旧知，进一步巩固、理解同底数幂的乘法、幂的乘方,为本节课的学习作铺垫.

【问题情境】

地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为3610⨯km ，它的体积大约是多少立方千米？（已知：球的体积公式是343

V r =π）．

（33344(610)33

V r =π=π⨯⨯） 如何计算33(610)?⨯=，它是幂的乘方吗？33(610)⨯有怎样的结构特征？

这节课我们就来共同研究和探索积的乘方．

设计意图：对于球的体积的计算公式前面已经接触过，在实际的计算过程中，会遇到积的乘方的计算问题，使学生感受到探索和掌握新知识的必要性，同时也可感受到数学无处不在，它源于生活，又服务于生活．

板书：1.2积的乘方

【探究新知】

1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果能发现什么规律？

（1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝3( ) ×5( )；

（2）(ab )4＝ ＝ ＝a ( )b ( )；

（3）(ab )n ＝ ＝ ＝a ( )b ( )．

解析：（1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝34×54；

其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出（2）、（3）题；

（2）(ab )4＝(ab )·(ab )·(ab )·(ab )＝(a ·a ·a ·a )·(b ·b ·b ·b )＝a 4b 4；

（3）()()()() n ab

n n a n b

n n ab ab ab ab a a a b b b

a b =⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=个个个；． 2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．

积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．

用符号语言叙述便是：() =n n n

ab a b （n 是正整数）．

3．解决导入中地球体积中的计算问题． 球体的体积33344(610)33

V r ππ==⨯⨯ ， (6×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：

(6×103)3＝63×(103)3＝63×103×

3＝63×109＝2.16×1011（km 3）．

通过上述探究，我们发现积的乘方的运算法则： () =n n n ab a b （n 是正整数）．

积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

再考虑如下问题：(abc )n 如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？ 学生讨论后得出结论：

三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即() =n n n n

abc a b c （n 是正整数）．

4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．

积的乘方的运算法则可以进行逆运算．即 ()n n n a b ab ⋅=（n 是正整数）．

分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：

同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．

看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．

对于 ()n n n a b ab ⋅=（n 是正整数）的证明如下： )()()()()()()

()()n n n a n b n ab n a b a a a b b b ab ab ab ab ab a b ⋅=⨯⨯

⨯⨯⨯⨯==⋅个个个(——幂的意义

?—乘法交换律、结合律 ?—乘方的意义

设计意图：通过乘方运算，乘法的交换律和结合律，解决新问题，实现从旧知向新知的迁移，得出同指数幂的乘法运算法则．

【典型例题】

例1．计算：

(1) 2(3)x ； (2) 5(2)b -； (3) 4(2)xy -； (4) 2(3)n a ．

解：(1) 2222(3)39x x x =⋅=；

(2) 5555(2)(2)32b b b -=-=-；

(3) 444444(2)(2)16xy x y x y -=-=；

(4) 222(3)3()3n n n n n a a a ==．

设计意图：通过不同方法的对比，进一步加深对幂的意义和相关性质的理解，让学生将自己的思考过程展现出来，进行交流、讨论，形成比较规范而简洁的解题格式，同时也不失多样性和特殊性，可根据实际情况灵活选择，体现学为主体的精神．

例2．计算：(1)(－5ab )3；

(2)－(3x 2y )2；

(3)(－43

ab 2c 3)3； (4)(－x m y 3m )2． 分析：直接运用积的乘方法则计算即可．

解：(1)(－5ab )3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；

(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2；

(3)(－43ab 2c 3)3＝(－43)3a 3b 6c 9＝－6427

a 3

b 6

c 9； (4)(－x m y 3m )2＝(－1)2x 2m y 6m ＝x 2m y 6m ．

例3．计算：

(1)(－2a 2)3·a 3＋(－4a )2·a 7－(5a 3)3；

(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3．

分析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．

解：(1)原式＝－8a 6·a 3＋16a 2·a 7－125a 9＝－8a 9＋16a 9－125a 9＝－117a 9；

(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0．

设计意图：通过复合运算让学生熟悉运算顺序，先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．

例4．计算：(23)2018×(32

)2019． 分析：将(32)2019转化为(32)2018×32

，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝(23)2018×(32)2018×32＝(23×32)2018×32＝32

． 设计意图：对公式a n ·b n ＝(ab )n 要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形