信号与系统第三章习题答案

∫ ∫ Fn
=
1 T
0 −T
2
E 2
e−
jnω0t dt
+
2 T
T 2 0
−
E 2
e−
jnω0t dt
( ) ( ) =
E -jnω0T
e− jnω0t
− e 0
− jnω0t
−T 2
T 2 0
=E -jnω0T
1
−
e
jnω 0T 2
− jnω0T
−e 2
+ 1
= E [2 − 2cos nπ ]
=2 T
T +t0 t0
f
t
cos nω0tdt
∫ ( ) bn
=
2 T
T+t0 t0
f
t
sin
nω0 tdt
n = 1,2,L n = 1,2,L
信号指数型为：
∞
∑ ( ) f t =
F e jnω0t n
n= −∞
Fn = Fn e jϕ n
96
∫ ( ) Fn
=
1 T
f t0 +T
+L
∑ =
a0 2
+
∞
(an
n=1
cos nω 0t
+ bn
sin
nω 0t)
式中 a0 , an , bn 称为傅里叶系数，分别代表了信号 f (t ) 的直流分量，余弦分量和正经弦分量的振荡幅度，
其值分别由下式确定：
∫ ( ) a0
=
2 T
f T + t0
t0
t dt
∫ ( ) an
(sin
) nω0 t
0 −T
2
−
(sin
) nω0t
T 0
2
=0
∫ ∫ 2
bn = T
0 −T
2
E 2
sin
nω
0tdt
+
2 T
T 2 0
−
E 2
sin
nω 0 tdt
[ ] =
E nω 0T
(−
cos
nω 0t )
0 −T
2
+
(cos
nω 0t
)
T 0
2
= E [2 cos(nπ )− 2]
=2 T
T 0
f
(t)cos nω0tdt
=
2 T
T 0
1−
1 T
t
cos
nω0 tdt
∫ ∫ = 2
T
T 0
cos
nω0tdt
−
2 T2
T
0 t cos nω0tdt
T
∫ =
2 T
sin nω0t nω 0
0
−
2 T2
T 0
t nω0
d
sin
nω 0 t
∫ =
2 nω 0T
sin
nω 0T
2
2 nπ
2
+ 1
=
2 n 2π
2
4 + n2π 2
n = 1,3,5,L
故得信号的傅里叶级数展开式为
f
(t
)
=
−
4 π2
cos
ω0t
+
1 9
cos3ω0t
+
1 25
cos5ω0t
+
L
+
2 π
sinω0t
+
1 3
sin3ω0t
+
1 5
s
i
n
5ω0t
+L
其频谱图如图 ３．５ 所示。
−
2 nω 0T
2
t
sin
nω0 t
T 0
−
T 0
sin
nω0tdt
∫ = 1 sin 2nπ + 2 T d cos nω0t
nπ
nω0T 2 0 − nω0
[ ] = − 2 n2ω02T 2
cos
nω 0t
T 0
=0
n = 1,2,L
T = 2π ω0
∫ ∫ bn
=
2 T
T 0
f
(t )sin
变换对，求傅立叶反变换。
8、深刻理解频域系统函数 H ( jω )的定义，物理意义，会求解并应用。
9、掌握系统零状态响应、零输入响应和全响应的频域求解方法；连续周期信号响应的频域 分析方法。
10、理解无失真传输系统，及无失真传输的条件。 11、理解理想滤波器的定义、传输特性等。 12、了解抽样信号的频谱及其求解，理解抽样定理。 13、了解调制与解调的基本定理与应用。 14、用 MATLAB 进行连续时间信号与系统的频域分析
n = ±1, ±2,L
∫ ∫ F0
=
1 T
T f (t ) dt = 1
0
T
T 0
1−
1 T
t
dt
=
1 2
该信号的指数型傅里叶级数为
( ) ∑∞
ft =
1 e jnω0t
n=−∞ j 2nπ
98
其频谱图如图 ３．２（ｂ）所示。
（２）由图 ３．１（ｂ）可知，其周期为T = 2π ，其频ω0 = 1，信号的解析式为：
T 0
−
T 0
e−
jnω0t dt
( ) =
1 − jnω0T
e− jnω0T
+
1 jnω0T
+Leabharlann Baidu
1 jnω0T 2
Te
−
jnω0
T
−1 − jnω0
e− jnω0t T 0
=
1 jnω0T
+
1 j2 n 2ω02T 2
e− jnω0T
−1 =
1 j2nπ
+
1 n 2π
2
1−
e− j2 nπ
=1 j2 nπ
t0
t e− jnω0t dt
n = 0,±1,±2,L
解：（１）由图 ３．１（ａ）可知，该信号的解析式为：
f (t) = 1 − 1 t
T
１） 傅里叶系数
0≤t≤T
∫ ∫ 2
a0 = T
T f (t)dt = 2
0
T
T 0
1
−
1 T
t dt
=
2 T
T
−
1 2T
T
2
=
1
∫ ∫ an
nω0tdt
∫ =
T
−8 2nω0
t
cos
nω0t
T 2 0
−
T 2 0
cos
nω0tdt
=
−4 Tnω0
cos nπ
+ T
8 2n 2ω02
sin
nω0t
T
2 0
= −4 Tnω0
cos nπ
+
8 T 2n 2ω02
sin
nπ
=
2 nπ
102
An =
an2 + bn 2 =
2 nπ
谱宽度。 4、掌握常用周期信号的傅立叶变换和非周期信号的傅立叶变换，理解周期信号与非周期信
号之间的关系。 5、熟练掌握傅里叶变换的性质，并会灵活应用。 6、理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念，会在时域和频域两个域中求解功率
信号的功率和能量信号的能量。 7、熟练利用傅里叶变换对称特性、部分分式展开法、傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶
nω0tdt
=
2 T
T 0
1−
1 T
t sin
nω0 tdt
∫ ∫ = 2
T
T 0
sin
nω0tdt
−
2 T2
T
0 t sin nω0tdt
∫ = 2 cos nω0t T − 2
T − nω0 0 T 2
T 0
−
t nω 0
d
cos nω0t
∫ =
2 nω 0T
2
t
cos nω0t
T 0
−
T 0
cos
nω 0
tdt
∫ = 2 cos 2nπ − 2 T d sin nω0t
nω 0T
nω0T 2 0 nω0
[ ] = 1 nπ
−
2 n 2ω 02T
2
sin
nω 0t
T 0
=1 nπ
n = 1,2,L
T = 2π ω0
该信号的三角傅里叶级数为
∑ f
(t )
=
1 2
+
∞ n=1
1 nπ
sin
4 T
π
2 cos t cos ntdt
0
=
2 T
π
∫2
0
[cos(n
+ 1)t
+
cos(n
− 1)t ]dt
( ) =
2 T
n
1 +
1
sin
π
2(n +
1)
+
1 sin n −1
π
2(n −
1)
=
−
n2
2 −1π
cos
nπ 2
该信号的三角傅里叶级数为
n = 1,2,L
( ) ∑ f (t) = 1 + ∞ π n=1
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
３．１ 学习重点
1、了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念。 2、能用傅立叶级数的定义式、基本性质求解周期信号的频谱、频谱宽度，会画频谱图；理
解连续周期信号频谱的特点，相位谱的作用。 3、能用傅立叶级数的定义式、基本性质求解非周期信号的频谱，会画频谱图，求信号的频
95
３．２ 教材习题同步解析
３．１ 如图 ３．１ 所示信号 f (t ) ，求指数型与三角型傅里叶级数，并画出频谱图。
图 ３．１
【知识点窍】信号指数型与三角型傅里叶级数的写法，频谱图画法。 【逻辑推理】三角型的傅里叶级数为
f
(t) =
a0 2
+ a1 cos ω0t + a2 cos 2ω 0t +L + b1 sin ω 0t + b2 sin 2ω 0t
T 0
1
−
1 T
t
e−
jnω
0t
dt
=1 T
T 0
e−
jnω0t dt
−
1 T2
T te− jnω0t dt
0
∫ =
1 − jnω0T
e− jnω0t
T 0
−
1 − jnω0T 2
T tde − jnω0t
0
∫ =
1
e + − jnω0T
− jnω0T
1 jnω0T
+
1 jnω0T 2
te− jnω0t
An
2 π2
42 + π 2
2 42 + 9π 2
9π
2 25π 2
42 + 25π 2
ω
01
3
5
7
图 ３．５
３．２ 已知某 ＬＴＩ 系统的单位冲激响应为h(t ) = e −4tε (t ) ，对下列输入信号，求输出响应 y(t ) 的傅里叶级数
表示式。
（１） f (t) = cos 2πt （２） f (t) = δ (t − t0 )
f (t) = cos t
0
−π ≤t ≤π
2
2
π ≤ t ≤ 3π
2
2
１）由图可知，该函数为偶函数，故 bn = 0 。由题可傅里叶系数为
∫ ∫ a0
=
2 T
π 2 −π
cos tdt
=
4 T
π 2
cos tdt
=
4
=
2
0
Tπ
2
∫ ∫ an
=
2 T
π 2 −π 2
cos t
cos
nω0tdt
=
π
2 0
e− j(n+1)t
+
e− j(n−1)t
dt
=
−
j
1
π
e− j(n +1)t 2 +
n +1 T
0 −j
1
π
e− j(n−1)t 2
n −1 T
0
=
1
− j ( n +1)T
− j(n+1)π
e
2
+
1
j( n +1) T
+
1
− j( n −1)T
− j (n −1)π
e
2
+
1
j( n −1)T
nω0tdt
∫ =
T
8 2nω0
t
sin
nω0t
T 2 0
−
T 2 0
sin
nω0tdt
=
4 Tnω0
sin
nπ
+ T
8 2n 2ω02
cos
nω0t
T
2 0
=
−
T
16 2n 2ω02
=−
4 n2π 2
∫ ∫ bn
=
4 T
T 2 0
f
(t) sin nω0tdt
=
4 T
T 2 0
2 T
t
sin
1 35π
ω
6
图 ３．３ （3）由图 3.1（c）所示，方波信号在一个周期内的解析式为
E
f
(t
)
=
2 −
E 2
−T 2 ≤ t < 0 0≤ t ≤T 2
分别求得傅里叶系数
∫ ∫ an
=
2 T
0 −T
2
E 2
cos
nω0
tdt
+
2 T
T 2 0
−
E 2
cos
nω
0tdt
[ ] = E nω 0T
-j2π n
其指数型表达式为
∑∞
f (t) =
[ ] E
2 − 2cos nπ e jnω0t
n=−∞ − j 2π n
其频谱图如图 ３．４（ｂ）所示。
An 2E
π 2E
3π
2E
5π
01
3
5
（ａ）
2E 7π
ω
7
101
E
Fn
π
E
E
E
3π
7π
5π
E
π
E
3π
E
E
5π
7π
ω
01
3
5
7
n = 0, ±1, ±2,L
其频谱图如图 ３．３（ｂ）所示。
∞
∑ ( ) f t =
Fn e jnω0t
n= −∞
99
An 1
2
1
π
2
3π
0
1
2
4
−2
15π
（ａ）
2 35π
ω
6
Fn
1
1
1 1π
11
35π
3π 4
4 3π
-6
-4 − 1 -2 15π
-1 0
1
2
（ｂ）
−1 4 15π
【知识点窍】主要考察 ＬＴＩ 系统的系统频率特性 【逻辑推理】输出响应的傅里叶变换为激励的傅里叶变换与系统频率特性乘积，而系统频率特性就是
系统的单位冲激响应的傅里叶变换。即Y (ω ) = F(ω )H (ω )， H (ω) = F[h(t)]
[ ] 解：（１）因为 H (ω) = F[h(t)] = F e −4tε (t) = 1 4 + jω F(ω ) = F[f (t)] = F[cos2πt]= π [δ (ω + 2π )+ δ (ω − 2π )]
（ｂ）
图 ３．４
（３）由图 ３．１（ｄ）所示，该函数为奇谐函数，其只含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次
谐波项，级数中的系统分别为
a0 = 0 an = bn = 0
n为偶数
n 为奇数时，
∫ ∫ an
=4 T
T 2 0
f
(t ) cos nω0tdt
=4 T
T 2 0
2 T
t
cos
2πn
100
即
bn
=
−
2E nπ
n为奇数
0
n为偶数
故得信号的傅里叶级数展开式为
f
(t )
=
−
2E π
sin
ω0t
+
1 sin 3
3ω 0t
+
1 sin 5
5ω 0t
+
L
+
1 n
sin
nω0 t
+
L
n = 1,3,5,L
它只含有 1、3、5、……等奇次谐波分量。其频谱图如图 3.4（a）所示。 ２）指数型
2 cos nπ sin nt n2 −1π 2
其频谱图如图 ３．３（ａ）所示。
２）指数型
∫ ( ) ∫ ∫ ( ) Fn
=1 T
π
2 −π
f
2
t
e− jnω0t dt = 2 T
π
2 cos te− jnt dt =
2
0
T
π 2
1
02
e− jt + e jt
e− jntdt
∫ ( ) ( ) = 1 T
nω 0t
97
其频谱图如图 ３．２（ａ）所示。
An 1 2
1 11
π 2π 3π
ω
0 1 23
（ａ）
Fn 1
11 6π 4π
12 π
11 1 π 4π 6π
-3 -2 -1 0 1 2 3
（ｂ）
ω
图 ３．２
２）指数型
∫ ( ) ∫ ∫ ∫ Fn
=1 T
f t0 +T
t0
t
e− jnω0t dt = 1 T