概率论与数理统计模拟题

A． P(A) P(B) B． P(A) P(AB) C． P( A) P(B) D． P(B A) 7. 设 A 与 B 相互独立， P(A) 0.3， P(B) 0.4 ，则 P( A B) ( )
A．
B．
C．
D．
8. 任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为 7 的概率为（ ）
《概率论与数理统计》模拟题（补）
一． 单项选择题
1. 掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现大于 2 点的概率为( ).
A. 1/3
B. 2/3
C. 1/6
D. 3/6
2. 设 A, B 为两随机事件，且 A B ，则下列式子正确的是( ).
A. P(A B) P(B)
B． P AB P A P(B)
x 1 x0
（2）
P
1 2
X
3
F (3)
F (1 /
2)
2
/
3
y/2
（3）Y 的分布函数 FY ( y) P{ 2X y} P{ X y / 2} = fX (x)dx
2
所以
fY
( y)
FY( y)
1 2
fX
(y
/
2)
y2 0
x2
.
x2
10.解：（1） f X x
f x, ydy
2
x2
1
xy dy
2x2
2
x
0 3
3
f
X
x
2 x 2
2 3
x,
0,
0 x 1 其他
fY y
f x, ydx
1
x2
1
xy dx
1
2
y，
0 3 6
fY
y
1 6
2
y,
0,
0 y2 其他
（2） 因为 f X x fY ( y) f (x, y) ，所以 X 和Y 不相互独立。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率分布依次为
X
-1
1
Y
-1
1
p
1/2
1/2
P
1/2
1/2
则下列各式正确的是 ( )
A. P{X Y} 1 4
B. P{X Y} 0 C. P{X Y} 1 2
D. P{X Y} 1
6. A、B 为两个事件，则 P(A B) = ( )
Ｃ. PB | A P(B)
Ｄ. PB A PB P(A) P(B) P(AB)
3. 一批产品中有 10%不合格品，而合格品中一等品占 60%，从这批产品中任取一件，则该件
产品是一等品的概率为 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 设随机变量 X 的分布律为 P{x k} a , k 1,2, N, 则常数 a 等于 ( ) 2N
(2)已知 XY 0.3 ，求 D( X Y ) 。
9.
设随机变量
X
的概率密度为
f
X
(x)
1 x2
,
x 1, ，（1）求 X 的分布 FX (x) ；（2）求
0, x 1.
P 12
X
3 ；（3）令
Y=2X，求
Y
的密度
fY
( y) 。
10．设随机变量 X ,Y 的联合概率密度为
f
x,
P{Y 1} P{X 1} 1 ;, 2
(2) E(Y ) 1 1 0 1 1 1 1 , 4 4 24
E(Y 2 ) 1 3 0 1 3 4 44
所以 D(Y ) E(Y 2 ) E 2 (Y ) 11 . 16
6.解：设 A 表示知道答案，B 表示猜对，C 表示答对这道题，则
案乱猜而猜对的概率为 1 ，求该考生答对这道题的概率. 4
7. 袋中有 9 个球（4 白，5 黑），现从中任取两个，求： （1）两球均为白球的概率； （2）两球中，一个是白球，一个是黑球的概率； （3）至少有一球是黑球的概率。
8. 设 X ~ B(10,0.2) ，Y ~ N (1,10) ，(1)已知 X ,Y 相互独立，求 E(2X 3XY 4X 2 ) ；
f x，
ydx
21 4
y y
x2 ydx
7 2
yx 3
y 0
7 2
5
y2
所以，随机变量Y 的边缘密度函数为
fY
y
7 2
y
5 2
0 y 1
；
0 其它
f x, y f X x fY y，所以 X 与Y 不独立．
5. 解：(1)Y 的分布律为: P{Y 1} P{X 0} 1 4
P{Y 0} P{1 X 0} 1 4
C41C52 C92
5； 9
（3）设 C 表示“至少有一球是黑球”，显然， C A ，则 PC 1 PA 5 .
6
8.解：由题意知 EX 2, DX 1.6, EY 1, DY 10 ，
（1） EX 2 DX (EX )2 1.6 4 5.6
所以 E(2X 3XY 4X 2 ) 2EX 3EXEY 4EX 2 2 2 3 21 45.6 20.4
9/64
1/3 1/4
1. 解：设 A 第一次取出白球 ， B 第二次取出白球 ．则由全概率公式，得 PB PAPB A PAPB A 4 3 7 4 4 ．
11 10 11 10 11
2. 解: P{X 1} 1 24
P{2 X 5} 1
3
22
P{2 X 3} 1 1 3 24 4
y
x 2
1 3
xy,
0,
试求：（1） X 和Y 的边缘概率密度； （2） X 和Y 是否相互独立？请说明理由。
0 x 1,0 y 2 其他
参考答案：
一．单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
B
C
B
C
D
A
C
二．填空题
1.
4.
6.
63/64
9.
1/3
三．计算题
2.
3.
5.
16/3
7.
8.
10.
A． 3 36
B． 4 36
C． 5 36
D． 6 36
9.
某一随机变量的分布函数为 F (x)
a bex 4 ex
，则 F(0)的值为（
）
A.
B.
C.
D. 都不对
10. 设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布，其分布函数记为 F(x) ，则 F (1) ( ) 3
A． 1 3e
B． e 3
，则
其它
A=
。
10.设随机变量
X
的密度函数为
f
x
2x,
0,
0 x 1, ，用Y 表示对 X 的 3 次独立重复观察
其他
中事件
X
1 2
出现的次数，则
PY
2=
。
三、计算题 1. 袋中有 4 个白球，7 个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．求第二次取出白球的
概率.
2. 设离散型随机变量 X 的分布律为
。
6. 连续抛一枚均匀硬币 6 次，则正面至少出现一次的概率为
。
7.设 P(A) 0.3 ，P(B|A)=，则 P( AB)
。
8.随机变量
X
的密度函数
f
(x)
cx3
0
x [0,1] 则常数 c = 其它
。
9.设二维随机变量
(
X
,
Y
)
的联合密度为：f(x，y)=
A(x
y) 0
0 x 2,0 y 1
（2） COV ( X ,Y ) XY DXDY 0.3 1.6 10 1.2 D(X Y ) DX DY 2COV (X ,Y ) 1.6 10 2.4
9.
解：（1）因 FX (x)
x
f
(t)dt
x 1
1 t2
dt
1
1 x
0
x 1 x0
所以
FX
(
x)
1
1 x
0
P{2 X 3} 1 2
3. 解: (1)由概率密度的性质 f (x)dx 1,
0
a
s
in
xdx
a
c
os
x
|0
a cos
a cos0 a a 1
得a 1 2
(2)
P{0 X } 4
4 0
1 2
sin
xdx
1 2
cos
x
|04
1 2
2 4
(3) X 的概率分布为:
0 ,
C A AB 所求概率 P(C) P( A) P( A)P(B | A) 0.625
7.解：从 9 个球中任取两球，取法总数为 n C92 。
（1）设 A 表示“两球均为白球：，则 nA
C42 ， P
A
C42 C92
1； 6
（2）设 B 表示“两球中，一白一黑”，则 nB
C41C51 ，则 P B
f
x，
y
21 x2 y 4
x2 y 1
0
其它
分别求出求 X 与Y 的边缘密度函数；判断随机变量 X 与Y 是否相互独立？
1
5.
设随机变量 X
~ U[1,3] ，随机变量Y
0
1
X 1 0 X 1， X 0
求(1)Y 的分布律; (2) D(Y ) .
6. 一道选择题有四个答案，其中只有一个正确，某考生知道正确答案的概率为，不知道答
X -1 2 3 P
求 P{X 1},P{2 X 5},P{2 X 3},P{2 X 3}.
23
2
3.
设随机变量
X
的概率密度为:
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(x)
a sin x , 0 ,
0 x ，求: (1)常数 a ;
其他
(2) P{0 X } ; (3) X 的分布函数 F(x) . 4
4. 设二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
0,
F
(
x)
2, 3 1,
x 1, 1 x 2,
x 2,
则 PX 2
。
4.
设 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 概 率 密 度 为
f
(x
,
y)
1, 0,
0 x 1, 其他,
0 y 1, 则
P X
1 ,Y 2
1 2
。
5.设 X 服从二项分布 B(4,0.6) ，则 D(2X 1)
x0
F
( x)
1 2
(1
c
os
x)
,
0 x
1,
x
4. 解：当 1 x 1时，
f X x
f x， ydy 21
-
4
1 x2 ydy 21 x2 1 x4
x2
8
所以，随机变量 X 的边缘密度函数为
f
X
x
21 8
x2
1
x4
1 x 1 ；
0
其它
当 0 y 1时，
fY x
C．1 e1
D．1 1 e1 3
二． 填空题
1. A、B 为两事件， P(A B) 0.6 ， P(A) 0.3， P(B) 0.6 ，则 P(B A) 2.设 P(A) 0.4 , P(B) 0.6 , P(B | A) 0.5 ，则 A, B 至少发生一个的概率为
。 。
3.设离散型随机变量 X 的分布函数为