置信区间

2
P{| U | z } 1 1 2
即
P
x
/
n
z1 2
1
P
x
z1 2
n
x
z1 2
1
n
区间
[x z12
,
n
x z12
]
n
即为的置信区间。称z1-/2为在置信 度1-下的临界值，或称为标准正态分布
的双侧分位点。
当＝0.05时,查标准正态分布表
得临界值
z12 z0.975 1.96
解 由于总体方差未知，故统计量
T x ~ t(n 1)
s/ n
于是对给定的，查t分布表可得临界值
t (n 1) 1
使得
P
x
s/
n
t 1
(n
1)
1
即
P
x t 1
(n
1)
s n
1
由此得到的置信度为1-的单侧置信区间:
x
s n
t1
(n
1),
的置信度为1-的单侧置信下限为:
1 x
,
(n 1)s 2
2 (n 1) 2 (n 1)
1 2
2
注意这里选取的临界值
2
(n
1)
,
2 1
(n
1)
2
2
不是唯一的。例如可以选取
2 (n 1), 2 (n 1)
2
等等。
1
3
3
顺便指出，的置信区间是
(n 1)s 2 ,
(n 1)s 2
2 (n 1) 2 (n 1)
1
2
2
例3.某自动车床生产的零件,其长度X服从正态分布, 现抽取16个零件，测得长度(单位：mm)如下： 12.15,12.12, 12.01 , 12.08, 12.09, 12.16,12.03,12.01,12.06 ,12.13 , 12.07 , 12.11,12.08, 12.01 ,12.03 , 12.06 试求DX的置信度为95%的置信区间。
s n
t1
(n
1)
二.方差DX的区间估计
设总体 X ~ N (, 2 ) , x是1, x2来,L自, xn于总体的样本。 现利用样本给出2的置信区间。考虑统计量
Y
(n 1)s2
2
, 其中s2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
由第七章定理三可知，统计量
Y
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
于是，对给定的(0<<1)，查2分布
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
1
2
x (14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1) 14.95
6
2 0.06, 0.06 , n 6
使得
t1 (n 1) 2
P
T
t1 2
(n 1)
1
2
P T
t 1 2
(n
1)
1
P
x
s/ n
t1 2
(n
1)
1
即
P
x
t1 2
(n
1)
s n
x
t1 2
(n 1)
s
1
n
故得均值的置信区间为
x
t1 2
(n
1)
s n
,
x
t1 2
(n
1)
s
n
当=0.05，n=9时，查t分布表得临界值
表，可得临界值
2 2
(n
1)及1使22 (得n
1)
P{
2
(n
2
Baidu Nhomakorabea1)
Y
2 12
(n
1)} 1
P{
2
(n
1)
2
(n 1)s2
2
2 1
2
(n
1)}
1
P
(n
2 1 2
1)s 2 (n 1)
2
(n 1)s2
2
2
(n
1)
1
因此，当总体N(,2)中的参数为未 知的情况下，方差2的置信区间为
(n 1)s 2
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
解：当=0.01,n=9时,查t分布表得
于是
t
1
(n
1)
t0.95
(8)
1.86
2
x t1 (n 1) 2
s n
9.28 1.86 0.36 9.06 3
x
t
1
(n
1)
2
s 9.50 n
故所求置信区间为〔9.06，9.50〕。
例3 : 设灯泡的寿命服从正态分布，现从 一批灯泡中随机地抽取6只，测得寿命的 数据(单位：h)为: 1020 ,1010 ,1050 ,1040 ,1050 ，1030. 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧 置信下限。
F
1 0.975 (14, 9)
1 3.80
s12 0.21 0.31 s22 0.67
故所求置信区间为
0.096 ,1.18
x
1 n
( x1
x2
xn
)
~
N(, 2
n
)
U x ~ N (0,1)
/ n
1 n
s2
(x x)2
n 1 i i 1
V
(n 1) s2
~
2 (n 1)
2
U与V独立
根据第七章定理四，统计量
x
U
T
~ t(n 1)
s/ n V
(n 1)
请比较U与T U x ~ N (0,1)
/ n
对给定的，查t分布表可得临界值
解：经计算可得 x 12.075, s2 0.00244
查 2分布表得
2 /2
(n
1)
2 0.025
(15)
6.26
2 1
/2
(n
1)
2 0.975
(15)
27.45
(n 1)s2 15 0.00244
0.0058
2 (n 1)
6.26
2
(n 1)s2 15 0.00244 0.0013
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
此时的置信区间是
[x 1.96 , x 1.96 ]
n
n
当＝0.01时,查标准正态分布表 得临界值
z1 z0.995 2.58 2
此时的置信区间是
x
2.58
n
,
x
2.58
n
例1. 已知某种滚珠的直径服从正态分布，且 方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随 机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm） 为
容量为10和15的独立样本，测得样本方差
分别为
，s12 求 0.2二1, s2总2 0体.67 方差 比 的0.95
置信12 区/ 22间。
解 这里=0.05，m=10，n=15， 查F分布表得
F1 (m 1, n 1) F0.975 (9,14) 3.21 2
F
2
(m 1, n
1)
F0.025 (9,14)
解：由抽样的随机性可推知两样本相互独 立，又因它们的总体方差相等，因此由(*) 式可求得置信区间。
在这里 0.05,m 8,n 9
查t分布表得临界值 t1 (m n 2) 2.131
2
(m 1)sm2 (n 1)sn2 70.096 80.078 1.138
m n 89 0.125 mn(m n 2) 8915
t1 (n 1) t0.975 (8) 2.306 2
因此，在方差2未知的情况下，的 置信区间是
x 2.306
s , x 2.306 9
s 9
例2 : 设有某种产品,其长度服从正态分 布，现从该种产品中随机抽取9件,得样
本均值 ＝x9.28(cm),样本标准差 s＝
0.36(cm),试求该产品平均长度的90％ 置信区间.
2 (n 1) 27.45 1 2
故DX的置信区间为
0.0013,0.0058
例 设正态总体N(,2)的方差2为已知, 问容量n为多大的样本,才能使总体均值 的1-的置信区间的长度不大于L？
解: 因为
P
x
z 1 2
x z
n
1
2
n
1
所以, 的1-的置信区间为
x
z 1 2
, x z
xA xB 0.38 故所求置信区间是[0.077，0.683]，由此可认为
A B
二. 正态总体方差比的区间估计
设二正态总体
N
(
1
,
和
2 1
)
N，(2其, 22中) 参数
均为未知。
是分s1别2 , s来22 自于两总体且容
量各为m和n的独立样本的方差考虑统计量
s12 / s22
2 1
/
2 2
设总体X~N(,2)，其中2已知， 又x1,x2,,xn为来自于总体的样本。
由第七章第三节中的结论可知
x
1 n
(x1
L
xn ) ~
N(, 2 )
n
于是 U x ~ N (0,1)
/ n
由标准正态分布可知，对于给定的， 可以找到一个数z1-/2 ，使
P{U z } (z ) 1
1 2
1 2
由于 所以
(m 1)s12 ~ 2 (m 1) , (n 1)s22 ~ 2(n 1)
12
2 2
(m 1)s12
2 1
(n 1)s22
2 2
/(m 1) /(n 1)
s12
2 1
/ s22
/
2 2
~F(m-1,n-1)
对于给定的，查F分布表得临界值
F1 (m 1, n 1) 和 F (m 1, n 1)
第四节 正态分布均值和方的区间估计
我们知道，正态随机变量是最为常见 的，特别是很多产品的指标服从或近似服 从正态分布。因此,我们主要研究正态总体 参数的区间估计。先研究均值的区间估计， 然后再研究方差的区间估计。这些在实际 应用中是很重要的.
一. 均值EX的区间估计 下面分两种情况进行讨论。 1.方差DX已知，对EX进行区间估计
样本均值和样本方差分别记为 和 .
我们的x 任, s务m 2 是求y
,
s
2 n
1 2
的置信区间.下面按总体方差的不同情况
分别进行讨论。
1. 方差 和12 都 22已知
由第七章第三节中的结论可知
x
~
N
1,
12
m
,
y
~
N
2
,
2 2
n
x
y
~
N (1
2
,
2 1
m
2 2
n
)
于是
(x y) (1 2 ) ~ N (0,1)
注意：区间[1,2]是随机区间。
二、单侧置信限
若对于给定的(0<<1),统计量 1(x1,x2,,xn)满足
P{ (x , , x )} 1
1
1
n
则称区间[1,+)为相应于置信度是1- 的单侧置信区间，1称为置信度是1-的 单侧置信下限。
问题: 如何确定总体参数的区间估计 [1,2]呢？对于一般总体是难于确定的.现 仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区 间估计这对许多实际应用已经够了.
一、置信区间 设总体分布含有一未知参数，又
x1,x2,,xn为来自于总体的样本，若对于 给定(0<<1)，统计量1(x1,x2,,xn)和 2(x1,x2,,xn)满足
P{1(x1,L , xn ) 2(x1,L , xn )} 1 则称区间[1,2]为相应于置信度是1的置信区间，简称置信区间。 1,2分别称为置信下限和置信上限. (1-)称为置信度。
1)sn2
mn
mn(m
n
2)
例1.有两台车床A和B同生产一种型号的 零件，为了比较这两台车床所生产的零件 的直径的均值，随机地抽取A车床生产的 零 差件s8A个 0，.3测1(。m得m随平) 机均地直x抽A 取15.B20车(m，m床)标生准产离的零 件 差9个，测得sB。平根0均.2据8直(m以m往) 经验y，B可标以14准.认82离(为mm，) 这两台车床所生产的零件的直径都服从正 态 值分差布，且的它95们%的置方A信差区相B间等。，求二总体均
2 1
2 2
mn
如同上节一样讨论，可得1 的2 置信区 间为
x
y
z1 2
2 1
2 2
,
mn
x
y
z 1
2
12
2 2
m n
2. 方差 和12 都为22 未知
这时，只要m,n足够大，就以
s
2 m
,
s分n2 别代
替 并12 ,用 22
x
y
z1 2
sm2 sn2 , mn
x y z1 2
sm2
2
2
使
PF
/
2
(m
1,
n
1)
s12
2 1
/ s22
/
2 2
F1 / 2 (m 1, n 1) 1
于是，
2 1
/
的22 1-置信区间为
s12
,
s22
F1
2
(m
1,
n
1)
s12
s22
F
2
(m
1,
n
1)
当置信区间的下限大于1时，
2 1
；22 当区
间的上限小于1时，则
.
2 1
2 2
例2 设有二正态总体 N (1和,12 ) ，N (其2 ,中22 )参 数均为未知，随机地从两总体中分别抽取