如何构造中位线

素材：如何构造中位线

一、连中点，构造三角形的中位线

例1 如图1，D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 是等边三角形.连接FM.那么EP 与FM 相等吗？为什么？

分析：由D 、E 、F 是中点，想到连接中点，得到中位线DE 、DF.这样就可以把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，进而推出它们全等使问题得以解决.

解：连接DF 、DE.

因为D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，所以DF ∥BC ，DF=12

BC ；DE ∥AC,DE=12

AC.所以四边形DECF 是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.

因为△ABC 、△DPM 是等边三角形，

所以BC ＝AC ，DP ＝DM ，∠PDM ＝60°.所以DF ＝DE.

因为∠EDP ＝60°－∠PDF ，∠FDM ＝60°－∠PDF ，

所以∠EDP ＝∠FDM.所以△DEP ≌△DFM.

所以EP ＝FM.

跟踪训练1 如图2，四边形ABCD 中，AC=BD ，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，MN 交BD 于点E 、交AC 于点F.OE 与EF 相等吗？为什么？

二、找中点，构造三角形的中位线

例2 如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 分别是BC 、AD 边的中点，延长BA 、MN 交于点F ，延长CD 交MF 于点E.请说明∠1与∠2相等.

分析：因为M 、Ｎ分别是BC 、AD 的中点，若连接BD ，取其中点G ，再连接NG 、

MG ,则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12

CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧM Ｎ中，从而使问题得以解决.

解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接NG 、MG ，则NG ∥AB ，NG ＝12

AB ，MG ∥CD ，MG ＝12

CD. 所以∠1＝∠GNM ，∠2＝∠GMN.

因为AB ＝CD ，所以NG ＝MG .

所以∠GNM ＝∠GMN.所以∠1=∠2.

跟踪训练2 如图4，△ABC 的一个外角平分线AE 与过点C 的直线互相垂直，垂足为

点E ，D 为BC 的中点，试说明：DE ∥AB ，且DE=12

（AB+AC ）

答案:

1. 解：取AD 的中点Ｇ，连接GM 、GN ，

得GM ∥BD ，GN ∥AC ，且GM ＝12 BD ，GN ＝12

AC ， 因为AC ＝BD ，故GM ＝GN ，

所以∠GMN ＝∠GNM ，

又∠OEF ＝∠GMN ，∠OFE ＝∠GNM ，

所以∠OEF ＝∠OFE ，

所以OE ＝OF ．

2. 解：延长BA 、CE 相交于点F ，

由AE ⊥CF ，AE 平分∠CAF ，

得EF ＝EC ，AF ＝AC ，

又D 是BC 的中点，

所以DE 是△BCF 的中位线，

故有DE ∥AB ，且DE=12 BF=12

（AB+AC ）．