最新初中数学思维技巧专项训练(三) 动态双曲线中的交点个数问题

动态双曲线中的交点个数问题

类型一　双曲线与直线交点个数问题

解决双曲线与直线的交点个数问题，常将两函数的解析式组成方程组，再转化为一元二次方程，最后借助一元二次方程根的判别式解决问题．

1．若反比例函数y ＝与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，则k 的值可以是( )k x

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

2．如图3－Y －1，直线y ＝－x ＋5与双曲线y ＝(x ＞0)相交于A ，B 两点，与x 轴相k x

交于点C ，△BOC 的面积是.若将直线y ＝－x ＋5向下平移1个单位长度，则所得直线与52

双曲线y ＝(x ＞0)的交点有( )k x

图3－Y －1

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．0个或1个或2个

3．若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是k x

________．

4．如图3－Y －2①，已知A (－4，n )，B (3，4)是一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例

函数y 2＝的图象的两个交点，过点D (t ，0)(0＜t ＜3)作x 轴的垂线，分别交双曲线y 2＝m x m x 和直线y 1＝kx ＋b 于P ，Q 两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)当t 为何值时，S △BPQ ＝S △APQ?12

(3)如图②，以PQ 为边在直线PQ 的右侧作正方形PQMN ，试说明：边QM 与双曲线y 2＝(x ＞0)始终有交点．m x

图3－Y －2

类型二　双曲线与多边形交点个数问题

解决双曲线与多边形的边有无交点问题，要在运动变化过程中探索问题中的不变因素，抓住“静”的一瞬间，将一般情形转化为特殊情形．其中对双曲线经过多边形的特殊点的研究是解题关键．

5．如图3－Y －3，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD 黑色区域，其中A (6，2)，

B (6，1)，

C (2，1)，

D (2，2)，有一动态扫描线为反比例函数y ＝(x ＞0)的图象，当扫描线k x

遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的k 的取值范围是( )

图3－Y －3

A ．4≤k ≤6

B ．2≤k ≤12

C ．6＜k ＜12

D ．2＜k ＜12

6．如图3－Y －4，Rt △ABC 在第一象限，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点A 在直线y ＝

x 上，其中点A 的横坐标为1，且AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，若双曲线y ＝(k ≠0)与△ABC 的边k x

有交点，则k 的取值范围是______________．

图3－Y －4

7．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标

轴，点A 的坐标为(a ，a )．如图3－Y －5，若双曲线y ＝(x >0)与此正方形的边有交点，则3x

a 的取值范围是____________．

图3－Y －5

8．如图3－Y －6，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(4，2)，M ，N 分别是AB ，BC 的中点．

(1)若反比例函数y ＝(x ＞0)的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算m x

判断点N 是否在该函数的图象上；

(2)若反比例函数y ＝(x ＞0)的图象与△MNB 的边有公共点，请直接写出m 的取值范m x

围．

图3－Y －6

9．如图3－Y －7，反比例函数y ＝(x ＞0)的图象与Rt △OAB 的两边OA ，AB 分别交于k x

C ，

D 两点，∠OBA ＝90°，点B 的坐标为(2，0)，且BD ∶OB ＝1∶2，BD ∶AD ＝1∶3，连接CD ，DO .

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求点C 的坐标；

(3)将△OCD 先沿x 轴的正方向平移3个单位长度，再沿y 轴的正方向平移3个单位长

度，得到△O ′C ′D ′，要使反比例函数y ＝(x ＞0)的图象与△O ′C ′D ′的边有公共点，请直接写m x

出m 的取值范围．

图3－Y －7

详解

1．A [解析] ∵反比例函数y ＝与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，∴无k x {y ＝k x ，y ＝x ＋2)

解，

即＝x ＋2无解，k x

整理得x 2＋2x －k ＝0，

∴Δ＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1，

四个选项中只有－2＜－1，

∴只有A 符合条件．

2．B [解析] 设直线y ＝－x ＋5与y 轴的交点为D ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F .令直线y ＝－x ＋5中x ＝0，则y ＝5，即OD ＝5；

令直线y ＝－x ＋5中y ＝0，则0＝－x ＋5，

解得x ＝5，即OC ＝5，

∴OD ＝OC ＝5.

又在Rt △COD 中，∠COD ＝90°，

∴∠DCO ＝45°.

∵S △BOC ＝OC ·BF ＝×5BF ＝，121252

∴BF ＝1，

∴CF ＝BF ＝1，

∴OF ＝OC －CF ＝5－1＝4，

∴点B 的坐标为(4，1)，

∴k ＝4×1＝4，

即双曲线的解析式为y ＝.4x

将直线y ＝－x ＋5向下平移1个单位长度得到的直线的解析式为y ＝－x ＋5－1＝－x ＋4，

将y ＝－x ＋4代入y ＝中，得－x ＋4＝，4x 4x

整理得x 2－4x ＋4＝0，

∵Δ＝(－4)2－4×4＝0，

∴平移后的直线与双曲线y ＝只有1个交点．故选B.4x

3．k ＞－且k ≠0　[解析] 把方程组消去y 得到－kx ＋2k ＋2＝，整12

{y ＝－kx ＋2k ＋2，y ＝k x )k x 理得kx 2－(2k ＋2)x ＋k ＝0，

根据题意得Δ＝[－(2k ＋2)]2－4k 2＞0，解得k ＞－，即当k ＞－且k ≠0时，函数y ＝1212

－kx ＋2k ＋2与y ＝(k ≠0)的图象有两个不同的交点．k x

4．解：(1)将B (3，4)代入y 2＝，得m ＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为y 2＝.m x 12x

将A (－4，n )代入反比例函数y 2＝，得n ＝－3，12x

∴A (－4，－3)．

∵直线y 1＝kx ＋b 过点A 和点B ，

∴解得{－3＝－4k ＋b ，4＝3k ＋b ，){k ＝1，b ＝1，)

∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1.

(2)∵PQ ⊥x 轴，

∴以PQ 为底边时，△APQ 与△BPQ 的面积之比等于PQ 边上的高之比．

又∵S △BPQ ＝S △APQ ，∴＝.12S △BPQ S △APQ 12

∵D (t ，0)，A (－4，－3)，B (3，4)，