运筹学对偶理论与灵敏度分析

y3 2 2 y2 y3
－4
y1－y2
y3
1
y1 0, y2 0, y3无约束
10
2、对偶问题的基本定理
（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
（2）（弱对偶定理）若X (0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶问题的可行解， 则有C X (0) ≤Y(0)b。
( 3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题） 无可行解。
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（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
证：设原问题是
max Z=C X； AX≤b； X ≥0
其对偶问题为
min W= Y b； YA ≥ C； Y ≥ 0
两边取负号，因min W＝ max（-W），得到
max（-W）= -Y b；-YA ≤ -C，Y ≥ 0
对称变换，上式的对偶问题是
min(w) CX ;AX b; X 0
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（3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，
则其对偶问题（原问题）无可行解。
证：由弱对偶性C X (0) ≤Y(0)b，显然得。
注意：不存在逆。 当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原 问题）或具有无界解或无可行解。
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶理论
1
一、对偶问题的提出
在同一企业的资源状况和生产条件下产生的，且是同 一个问题从不同角度考虑所产生的，因此两者密切相 关-----两个LP问题是互为对偶
max S 2
3
x1 x2
y1
minW 15
12
14
y2
y3
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥”的不等式，可 以两边同乘“－1”，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进行适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
归纳-----表2.2
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表2.2
Max 约束条件数=m 第i个约束条件 “≤” “≥” “=”
又因为
min(w) max w
可得
maxw max z CX ; AX b; X 0
12
（2）（弱对偶定理）
若X (0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶问题的可行解， 则有C X (0) ≤Y(0)b。
证：设原问题是 max z CX;AX b;X 0
X (0) 是LP可行解，满足约束,即 AX (0) b
3x1 2x2 x3 20
s.t.
4x1 3x2 3x3 10
x1
x2
2x3
5
x1 0, x2无约束, x3 0
min W 20 y1 10 y2 5 y3
3 y1 4 y2 y3 4
s.t.
2 y1 3 y2 y3 5
y1
Байду номын сангаас
3 y2
2 y3
2
y1 0, y2 0, y3无约束
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
j 1, 2,
,n
yi符号不限, i 1, 2, , m
3
二、对偶理论
1、原问题与对偶问题--对称形式
max Z CX
s.t.
AX X 0
b
minW Yb YA C
s.t.Y 0
(1) 原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量数； (2) 原问题中目标函数的系数是其对偶问题中约束条件的右端项； (3) 约束条件在原问题中为“≤”，则在其对偶问题中为“≥”； (4) 目标函数在原问题中为求最大值，在其对偶问题中则为求最小值
Y (0) 是LD的可行解，将 Y (0) 左乘上式，得到
Y (0) AX (0) Y (0)b 对偶问题是 min w Yb;YA C;Y 0
因为 Y (0) 是LD的可行解，所以满足 Y (0) A C
将 X (0) 右乘上式，得到 Y (0) AX (0) CX (0)
CX (0) Y (0) AX (0) Y (0)b
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例2.4 写出下述线性规划问题的对偶问题
min Z 3 x1 2 x2 4 x3 x4
x1
x2
3
x3
x4
10
2 s.t.
x1
2 x3 x4 8
x2 x3 x4 6
x1
0,
x2
,
x3
0,
x4
无约束
maxW 10 y1 8 y2 6 y3
y1 2 y2
3
s.t.
－y13 y1
（4）（最优性定理），若X(0)、Y(0)分别是互为对偶问题的可行解，且C X(0) =
Y(0) b，则X(0) 、Y(0)分别是它们的最优解。
（5）（强对偶定理）若互为对偶问题之一有最优解，则另一问题必有最优解 ，且它们的目标函数值相等。
（6）（互补松驰性）若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y* 是最优解的充要条件是：Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
变量数=n 第i个变量≥0 ≤0 无限制 第i个约束条件的右端项 目标函第i个变量的系数
Min 变量个数=m 第i个变量≥0 ≤0 无限制
约束条件数=n 第i个约束条件为“≥” 为“≤” 为“=” 目标函数第i个变量的系数 第i个约束条件的右端项
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例2.3 写出下述线性规划问题的对偶问题
max z 4x1 5x2 2x3
4
例2.2 写出下述线性规划问题的对偶问题
max z 4x1 5x2
s.t.
34xx11
2 x2 3x2
20 10
x1
,
x2
0
解：按照上述规则，该问题的对偶线性规划为:
minW 20 y1 10 y2
3y1 4 y2 4 s.t. 2 y1 3y2 5
y1, y2 0
5
非对称形式---例如：当原问题约束条件为等式
0
4 2
3
15
0 2
x1
x2
12 14
X 0
0 3
4 0
2 2
y1 y2 y3
2 3
Y 0
max Z CX
min W bTY T min W Yb
AX b
s.t.
X
0
AT Y T C T s.t.
Y 0
YA C s.t. Y 0 2
即任何一个求maxZ的LP都有一个求minW的LP。 “原问题”----“LP”， “对偶问题”------“DP”。