2-3矩阵的条件数与病态线性方程组

~ ~ ~ 其中A A A ， b b b ， x x x 。
~ ~ A~ x b
设 A
1 A
1
且 A 非奇异， b 0 ，则
1
~ ~ A~ x b 的解的存在性与唯一性
因为 A 1 A A 1 A 1 ，则 I A 1 A 非奇异，又 A 非奇异，故
x1 1 去法可得 。 x2 1
3 ） 残差校正法（迭代改善 ）。
考虑求解Ax b ， 求得的近似解为~ x ，一般 A~ x b， 即残差r b A~ x 0。
~ ~ 以残差r 为右端向量， 求解 Ax r 可得~ x 的修正量x ， 记~ x x x ， 如果
~ A A A A I A1A 非奇异。


2
估计 x的相对误差
A Ax x b b
x A 1b A 1Ax A 1Ax
1
A 1 A
x x

x A 1 b A 1 A x
x1 5 x2 6 x1 4.999x2 6.002
x1 1 x1 16 第一个方程组的解为 ， 第二个方程组的解为 x 1 2 x2 -2
问题：出现这种差异的原因是什么？
~ ~ 考虑求解线性方程组 Ax b ， 设 A和b 分别有了扰动A和b 成了A 和b ，即
计算残差的求解过程是 精确的， 即Ax r ，则
~ A~ x A~ x x b r r b
但实际计算时由于舍入 误差不可避免，故应重 复执行上述过程。
详细算法流程可参考page32-33。
2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组
一、矩阵的条件数与病态线性方程组
进行误差分析的原因：(1) A与b的元素往往通过观测或计算得到；(2) 舍 入误差。 问题：当A与b有了微小的扰动后，这些扰动对方程组的解的影响有多大？
例 1： 考虑如下两个方程组
x1 5 x 2 6 x1 5.001 x 2 6.001
1
常用条件数： cond A A
1 A

， cond A2 A
1 A 。 2 2
2
条件数的性质
1） 对任何非奇异矩阵A ， cond A 1， cond A cond A1 。

2 ） 设 A 为非奇异矩阵， k 0 为常数， condkA cond A 。 3 ） 设 A 为非奇异的实对称矩阵 ， 则有cond A2 1 ，其中1 和n n 分别是矩阵A的模最大和模最小的特 征值。
4 ） 设 A 为正交矩阵， 则有cond A 1。
例 2： 分析例1 的解出现差异的原因。
5 1 1 3 5.001 5 A ， A 10 1 5.001 1 ，A 1

6.001， A-1

10001 ，
0 15 0 0 cond A 60016 .001 1 ， x ， A ， b 3 0 0.002 0.001 ，
A A


b 0.001 x 15 0.002 0.033 % ， 0.016 % ， 1500 % 。 6.001 b 6.001 x 1
对病态( 条件数相对较大) 线性方程组以下两种情 形均会引起所得的解
有很大的相对误差：
1 2
A 和b的原始数据有扰动；
A 和b的原始数据没有扰动， 但求解过程中有舍入误 差。
二、关于病态线性方程组的求解问题
1 2
page31 病态线性方程组的判断
病态线性方程组的求解 办法（目的是减少舍入 误差的影响）
1） 采用高精度的算术运算 。
2 ） 采用平衡方法：将系数 矩阵的各行除以该行绝 对值最大的元素。
100000 x x1 105 x 2 105 1 99999 例 3： 线性方程组 ， 其精确解为 。 99998 x1 x 2 2 x 2 99999 5 x1 0 ~ 5 10 1 cond A 1 10 5 100003 ，在四位机上~ ，A 2 2 4 ， A 在四位机上采用列主元 素 Gauss 消 1 1 ，
A A 1 A b A b A A
1
A A 1

~ ~ ~ 分析：若A的相对误差很小，则解 的相对误差约为A 和b 的相对误差之和的
A A 1 倍。
定义 1 ： 对非奇异矩阵 A ， 称量 A A 1 为矩阵 A的条件数，记为
cond A A A 1 。