2013-2017年高考理科数学大题真题
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高考大题真题训练
1.（2013年Ⅱ卷17题）（本小题满分12分）
A B C ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知co s sin a b C c B =+。
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若2b =，求A B C ∆面积的最大值。
2.（2014年Ⅱ卷17题）（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（Ⅰ）证明{}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：1
2
31112
n
a a a ++<…+.
3.（2015年Ⅱ卷17题）（本小题满分12分）
ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求
sin sin B C
∠∠；
(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．
4.（2016年Ⅱ卷17题）（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超
过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．
（Ⅰ）求111101b b b ，，；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．
5.（2016年Ⅲ卷17题）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132
S = ，求λ．
6.（2017年Ⅱ卷17题）（12分）
A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin ()8sin
2
B A
C +=．
(1)求co s B
(2)若6a c += , A B C ∆面积为2,求.b
7.（2017年Ⅲ卷17题）（12分）
A B C ∆的内角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知sin s 0
A A +=
，a
=，2
b
=．
（1）求c ；
（2）设D 为B C 边上一点，且A D A C ⊥，求A B D △的面积．
8.（2013年Ⅱ卷18题）如图，直三棱柱111A B C A B C -中，D ，E 分
别是A B ，1B B
的中点，12
A A A C C
B A B ===。
（Ⅰ）证明：1//B C 平面11A C D ； （Ⅱ）求二面角1D A C E --的正弦值。
1
A
9.（2014年Ⅱ卷18题）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，
，求三棱锥E-ACD 的体积.
10.（2015年Ⅱ卷18题）（本题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
A 地区
B 地区
4 5 6 7 8 9
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
11.（2016年Ⅱ卷18题）（本题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
12.（2016年Ⅲ卷18题）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据：7
1
9.32i i y ==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑
0.55=，7≈2.646.
参考公式：相关系数()()
n
i i t t y y r --=
∑
回归方程y a b t =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
()
n
i i i n
i i t t y y b t t ==--=
-∑
∑
，=.a y b t -