§5.1 切比雪夫不等式
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−∞ 2
∞
E ( X − a)
ε
2
=
DX
ε
2
.
5
在上述证明中，如果把概率密度换成分布列， 在上述证明中，如果把概率密度换成分布列， 把积分号换成求和号，即得离散型情形的证明． 把积分号换成求和号，即得离散型情形的证明． 关于切比雪夫不等式结果的几点说明 关于切比雪夫不等式结果的几点说明 ●期望和方差存在是利用切比雪夫不等式的 前提，否则可能导出错误的结果． 前提，否则可能导出错误的结果． ●回忆§4.3，X − EX 为Ｘ的离差，从而切 回忆§4.3， 的离差， 比雪夫不等式反映了离差和方差的关系． 比雪夫不等式反映了离差和方差的关系． 反映了离差和方差的关系
X ~ B ( 10000, 0.6 ) , EX = 6000 , DX = 2400 ,
于是， 于是，由切比雪夫不等式得
P ( 5800 < X < 6200 ) = P ( −200 < X − EX < 200 )
2400 = P ( X − EX < 200 ) ≥ 1 − = 0.94. 2 200
第5章 章
大数定律与中心极限定理
1
随机现象是本门课程的研究对象，本门课 随机现象是本门课程的研究对象， 程的任务是研究随机现象的统计规律， 程的任务是研究随机现象的统计规律，而统计 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 定理就是揭示各种统计规律． 定理就是揭示各种统计规律． 就是揭示各种统计规律 大数定律和中心极限定理是统计规律的两 种重要的表现形式， 种重要的表现形式，是概率论极限定理中的重 要内容， 要内容，在概率论和数理统计的理论研究和实 际应用中都具有重要的意义． 际应用中都具有重要的意义．
2
§5.1 切比雪夫不等式
切比雪夫 (1821～ (1821～1894)
3
定理5.1 r.v.Ｘ 定理5.1 若r.v.Ｘ的期望 EX 和方差 DX 都存在， 都存在，则对任意的 ε > 0, 有
可改为
>ε
DX
P ( X − EX ≥ ε ) ≤
或等价地有
ε
2
,
不能改为 ＜ 可改为
≤ε
DX
P ( X − EX < ε ) ≥ 1 −
ε
2
.
不能改为 ＞
4
是连续型r.v. r.v.， 证 设Ｘ是连续型r.v.，其概率密度为
f ( x) , 记 E ( X ) = a , 则
P( X −a ≥ ε) =
≤
x −a ≥
∫ ε f ( x ) dx
∫ε
2
( x − a)
ε
2
2
f ( x ) dx
2
x −a ≥
≤ =
1
ε
∫ ( x − a ) f ( x ) dx
DX 2 1 解 P ( X − EX ≥ 2 ) ≤ 2 = 2 = . 2 2 2
7
r.v.Ｘ 的数学期望都是2 例5.2 设r.v.Ｘ和Ｙ的数学期望都是2，方 差分别为1 而相关系数为0.5 0.5， 差分别为1和4，而相关系数为0.5，利用切比雪 夫不等式给出概率 P ( X − Y < 6 ) 的下界估计． 的下界估计． 解 若记 Z = X − Y , 则 EZ = 0, 而
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设电站供电网有10000盏电灯， 10000盏电灯 例5.3 设电站供电网有10000盏电灯，夜 晚每一盏灯开灯概率都是0.6 0.6， 晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯 关彼此独立， 开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数 5800至6200之间的概率 之间的概率． 在5800至6200之间的概率． 表示同时开着的灯数， 解 Ｘ表示同时开着的灯数，则
9
DZ = D( X − Y ) = DX + DY − 2Cov ( X , Y ) = DX + DY − 2 ρ XY DX DY = 3,
于是，由切比雪夫不等式得 于是，
P ( X − Y < 6 ) = P ( Z − EZ < 6 ) DZ 3 11 ≥ 1− 2 = 1− = . 6 36 12
6
●切比雪夫不等式在概率估计方面起重要 作用． 作用．给出了概率 P ( X − EX ≥ ε ) 的最小上
的最大下界估计． 界和 P ( X − EX < ε ) 的最大下界估计．
r.v.Ｘ的方差为2 例5.1 设r.v.Ｘ的方差为2，利用切比雪夫 的上界估计． 不等式给出概率 P ( X − EX ≥ 2 ) 的上界估计．
∞
E ( X − a)
ε
2
=
DX
ε
2
.
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在上述证明中，如果把概率密度换成分布列， 在上述证明中，如果把概率密度换成分布列， 把积分号换成求和号，即得离散型情形的证明． 把积分号换成求和号，即得离散型情形的证明． 关于切比雪夫不等式结果的几点说明 关于切比雪夫不等式结果的几点说明 ●期望和方差存在是利用切比雪夫不等式的 前提，否则可能导出错误的结果． 前提，否则可能导出错误的结果． ●回忆§4.3，X − EX 为Ｘ的离差，从而切 回忆§4.3， 的离差， 比雪夫不等式反映了离差和方差的关系． 比雪夫不等式反映了离差和方差的关系． 反映了离差和方差的关系
X ~ B ( 10000, 0.6 ) , EX = 6000 , DX = 2400 ,
于是， 于是，由切比雪夫不等式得
P ( 5800 < X < 6200 ) = P ( −200 < X − EX < 200 )
2400 = P ( X − EX < 200 ) ≥ 1 − = 0.94. 2 200
第5章 章
大数定律与中心极限定理
1
随机现象是本门课程的研究对象，本门课 随机现象是本门课程的研究对象， 程的任务是研究随机现象的统计规律， 程的任务是研究随机现象的统计规律，而统计 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 定理就是揭示各种统计规律． 定理就是揭示各种统计规律． 就是揭示各种统计规律 大数定律和中心极限定理是统计规律的两 种重要的表现形式， 种重要的表现形式，是概率论极限定理中的重 要内容， 要内容，在概率论和数理统计的理论研究和实 际应用中都具有重要的意义． 际应用中都具有重要的意义．
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§5.1 切比雪夫不等式
切比雪夫 (1821～ (1821～1894)
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定理5.1 r.v.Ｘ 定理5.1 若r.v.Ｘ的期望 EX 和方差 DX 都存在， 都存在，则对任意的 ε > 0, 有
可改为
>ε
DX
P ( X − EX ≥ ε ) ≤
或等价地有
ε
2
,
不能改为 ＜ 可改为
≤ε
DX
P ( X − EX < ε ) ≥ 1 −
ε
2
.
不能改为 ＞
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是连续型r.v. r.v.， 证 设Ｘ是连续型r.v.，其概率密度为
f ( x) , 记 E ( X ) = a , 则
P( X −a ≥ ε) =
≤
x −a ≥
∫ ε f ( x ) dx
∫ε
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( x − a)
ε
2
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f ( x ) dx
2
x −a ≥
≤ =
1
ε
∫ ( x − a ) f ( x ) dx
DX 2 1 解 P ( X − EX ≥ 2 ) ≤ 2 = 2 = . 2 2 2
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r.v.Ｘ 的数学期望都是2 例5.2 设r.v.Ｘ和Ｙ的数学期望都是2，方 差分别为1 而相关系数为0.5 0.5， 差分别为1和4，而相关系数为0.5，利用切比雪 夫不等式给出概率 P ( X − Y < 6 ) 的下界估计． 的下界估计． 解 若记 Z = X − Y , 则 EZ = 0, 而
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设电站供电网有10000盏电灯， 10000盏电灯 例5.3 设电站供电网有10000盏电灯，夜 晚每一盏灯开灯概率都是0.6 0.6， 晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯 关彼此独立， 开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数 5800至6200之间的概率 之间的概率． 在5800至6200之间的概率． 表示同时开着的灯数， 解 Ｘ表示同时开着的灯数，则
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DZ = D( X − Y ) = DX + DY − 2Cov ( X , Y ) = DX + DY − 2 ρ XY DX DY = 3,
于是，由切比雪夫不等式得 于是，
P ( X − Y < 6 ) = P ( Z − EZ < 6 ) DZ 3 11 ≥ 1− 2 = 1− = . 6 36 12
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●切比雪夫不等式在概率估计方面起重要 作用． 作用．给出了概率 P ( X − EX ≥ ε ) 的最小上
的最大下界估计． 界和 P ( X − EX < ε ) 的最大下界估计．
r.v.Ｘ的方差为2 例5.1 设r.v.Ｘ的方差为2，利用切比雪夫 的上界估计． 不等式给出概率 P ( X − EX ≥ 2 ) 的上界估计．