哈尔滨工业大学-多元统计分析-数学建模必备-葛虹知识讲解

(xpiXp)2 (x1iX1)2
(x1iX1)x(2iX2)
(x1iX1)x(piXp)
(x1iX1)2 (x2iX2)2
(x1iX1)2 (xpiXp)2
1
(x2i X2)x(piXp)
(x2iX2)2 (xpiXp)2
(xpiXp)x(2iX2) (xpiXp)2 (x2iX2)2
(2)的D.F: F2(xq1,,xp); d.f f2(xq1,,xp);c.f 2(tq1,,tp)
给定 (2) ，(1)的条件密度函数：
f1(x(1)
x(2)) f(x1,,xp) f2(xq1,,xp)
两随机向量独立的充分必要条件
与 (1) (2)相互独立
f f1 f2
FF1F2
12
f1(x(1) x(2))f1(x(1))
例1
f(x1,x2) c e(0x1;x2);x1其 0,x2它 0
条件分布与独立性
两随机向量间的条件分布
(1)
(2)
(1)(X1,,Xq)
(2)(X q 1,,Xp)
的D.F: F(x1,,xp) ; d.f f(x1,,xp); c.f (t1,,tp)
(1)的D.F: F1(x1,,xq) ; d.f f1(x1,,xq);c.f 1(t1,,tq)
1
X 1与 X p 的样本相关系数
作业一
1
令
f(x,y)c0;
x2y2 k2 其它
（1）求c；
（2）求 EX,EX2,DX；
（3）证明： E(XY)0 ；
（4） X ,Y 是否相互独立？
2 设三个随机变量x,y,z的联合密度函数为：
kx2y0 zx,y1;0z3
f(x,y,z) 0
其它
（1）求常数k;
P(X1x1,X2x2,,Xpxp)
联合密度函数:
(1)
f(x1,x2,,xp)0
(2)
f(x1,x2,,xp)d1xd2xdpx1
x1 x2 xp
(3) F(x1,x2,,xp) f(x1,x2,,xp)d1xd2xdpx
特征函数
一元随机变量 X： (t)E(eitX)
二元随机向量 (X1,X2):
(x2i X2)2
i1
(x2i i1
X2)(xpiXp)
n
n
n
i1(xpiXp)(x1i X1)
(xpiXp)(x2i X2)
i1
(xpiXp)2
i1
样本方差阵
V 1S n
样本相关系数阵
1
(x2i X2)(x1i X1)
R
(x2iX2)2 (x1iX1)2
(xpiXp)x(1iX1)
（2）x,y,z是否相互独立？
（3）试求在给定y=1/2 ,z=1的条件下x的分布。
3 设随机向量 X(X1,X2,X3) 的协方差阵为：
X 1 的样本 X 2 的样本 X p 的样本
x11 x12 x1n
x21
,
x22
,
,
x2n
x p1 x p 2 x pn
样本均值
x11 x12 x1n
x21
,
x22
,
,
x2n
x p1 x p 2 x pn
多元统计分析
哈尔滨工业大学数学系 葛虹
多元统计分析内容简介
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
多元统计的基本概念 主成分分析 聚类分析 多元正态分布 多元回归分析
第一章 多元统计的基本概念
第一节 随机向量 及其数字特征
随机向量极其分布
P维随机向量: (X 1 ,X 2, ,X p) 联合分布函数: F(x1,x2,,xp)
随机向量的数字特征
随机向量的数学期望
E ( ) ( E ( X 1 )E ( , X 2 ) ,E ( X p ) )
随机向量的方差阵
D()E(E)(E)
covX(1,X1) covX(1,X2) covX(1,Xp)
covX(2,X1) covX(2,X2) covX(2,Xp)
covX(p,X1) covX(p,X2) covX(p,Xp)
两随机向量间的协方差阵
COV(X,Y) E(X EX)(YEY)
covX(1,Y1) covX(1,Y2) covX(1,Yp)
covX( 2,Y1) covX( 2,Y2) covX( 2,Yp)
covX( p,Y1) covX( p,Y2) covX( p,Yp)
X1 X2 Xp
1 n 1 n
1 n
n x 1 i i1
n
x2i
i1
n
i 1 x pi
样本离差阵与样本方差阵
样本离差阵
n
(x1i X1)2
n (x1i X1)(x2i X2)
n (x1i X1)(xpiXp)
n i1
i1 n
i1 n
Si1(x2i X2)(x1i X1)
随机向量的相关系数阵
1
R
X2
,X1
X1,X2
1
X1,Xp X2,Xp
Xp,X1
X p , X2
1
Xi,Xj
covX(i,Xj) D(Xi)D(Xj)
随机向量的数字特征的计算性质
E (A B C ) A( E )B C
E (A B X ) Y A (X E ) B (Y ) E
例2
1 f(x1,x2)0
0x1,x21 其它
求:
(1)F(x1,x2)
(2)F1(x1),F2(x2)
(3)f1(x1),f2(x2)
(4)X1与X2是否独立？
(5) f (x1 x2)
第二节 随机向量的样本 及其数字特征
P维随机样本
P维随机向量 (X 1 ,X 2, ,X p)的一个容量 为n的样本：
( t1 ,t2 ) E ( e i1 X t1 i2 X t2 ) E ( e itX )
P元随机向量 (X 1 X 2, ,X p)
( t 1 , t 2 , , t p ) E ( e i 1 X t 1 i2 X t 2 ip X t p ) E ( e i t X )
CO ( , V )D ( )对称，非负定；
C O V ( X , Y ) E ( X Y ) ( E X ) ( E Y ) [ C O V ( Y , X ) ] C( O A,B V X) Y AC (X ,O Y )B V
D (A B X ) D (A ) X A (X ) D A