分式与分式方程复习学案

分式与分式方程复习学案

（一）分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义:

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

A 叫做分式，A 为分子，

B 为分母。【例1】下列代数式中：x 2、x xy 2、5y x +、a -51、1

-πx 、122-+a b a ，是分式的有： 题型二：考查分式有意义的条件

分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =）

【例1】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（2）使分式 53-+x x ÷7

9-+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式321+-x x 无意义，则x= .

题型三：考查分式的值为0的条件

分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0

0B A ）

【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）31+-x x （2）42

||2--x x （3）653222----x x x x

（2）

【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4|1|5+--x x （2）562522

+--x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1.分式的基本性质:

分式的分子与分母同乘以(或除以)

分式的值 用式子表示: M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 为 的整式)

2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- b

a b a b a b a ---=-=-=- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y x 4131322

1+- （2）b

a b a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

y x y x --+- （2）b a a --- （3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例1】已知：

511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值

【例2】已知：21=-

x x ，求221x x +的值.

【例3】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241-的值.

【例4】若0106222=+-++b b a a ，求

b a b a 532+-的值.

【例5】已知求代数式

的值

0,234x y z ==≠2x y z x y z +-++

题型四：若分式b a b a 3232-+分子、分母中的a 、b 同时扩大三倍，则分式的值 。 若分式b a ab 322-分子、分母中的a 、b 同时扩大三倍，则分式的值 。

（三）分式的运算

① 分式的乘除法法则： 乘法分式式子表示为：d b c a d c b a ••=• 除法分式式子表示为：c

c ••=•=÷b

d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛ ③ 分式的加减法则：c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：式子表示为：bd

bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

注意：在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；

过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。

题型一：通分

1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

【例1】将下列各式分别通分.

（1）

c

b a

c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；

（3）

22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）a a -+21,2

题型二：约分

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

【例2】约分：

（1）322016xy y

x -； （2）n m m n --2

2； （3）6

222---+x x x x . 题型三：分式的混合运算

【例3】计算：（1）42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x

y x y y x y x a +-÷-⋅+；

（3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）11

2

---a a a ；

（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （7）)12()2

1444(222+-⋅--+--x x x x x x x

题型四：化简求值题【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48

122x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：432z y x ==，求2

2232z y x xz yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1

(22a a a a --

的值. 题型五：求待定字母的值

【例5】若

111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.

第二部分 分式方程

1 ._________________的方程叫分式方程.例如

2. 解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以 ______________约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；