概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案

1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差σ已知为150h ，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h ．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h ？

解：总体X ～)150,(2μN ，检验假设为

0H ：1600=μ，1H ：1600≠μ．

采用U 检验法，选取统计量n

X U /00σμ-=，当0H 成立时，U ～)1,0(N ，由已知，有1637=x ，26=n ，05.0=α，查正态分布表得96.1025.0=u ，该检验法的拒绝域为}96.1{>u ．将观测值代入检验统计量得2577.142.293726

/150********==-=u ，显然96.12577.1<=u ，故接受0H ，即可认为这批产品的指标为1600h ．

2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下：

54，67，68，78，70，66，67，70，65，69

设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？

解：本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值72=μ．取检验统计量为

n

S X T /0μ-=，检验假设为

0H ：720==μμ，1H ：72≠μ．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，由已知，有4.67=x ，93.5=s ，05.0=α，查t 分布表得262.2)9(025.0=t ，将观测值代入检验统计量得

45.288.16.410

/93.5724.67/0-=-=-=-=n s x t μ，

显然)9(262.2447.2025.0t t =>=，故拒绝0H ，即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异．

3．测定某溶液中的水分，得到10个测定值，经统计%452.0=x ，22037.0=s ，该溶液中的水分含量X ～),(2σμN ，μ与2σ未知，试问在显著性水平05.0=α下该溶液水分含量均值μ是否超过5%？

解：这是在总体方差2σ未知的情况下，关于均值μ的单侧检验．检验假设为

0H ：%5.0≤μ，1H ：%5.0>μ．

此假设等价于检验假设

0H ：%5.0=μ，1H ：%5.0>μ．

由于2σ未知，取检验统计量为n

S X T /0μ-=．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，拒绝域为)}1(/{

0-≤-n t n s x αμ，将观测值代入检验统计量得

709.1037.0)5.052.010/0=-=-=n

s x t μ，由05.0=α，查t 分布表得833.1)9(05.0=t ，显然)9(833.1709.105.0t t =<=，所以接受0H ，即该溶液水分含量均值μ是否超过5%．

4．甲、乙两个品种作物，分别用10块地试种，产量结果97.30=x ，79.21=y ，

7.2621=s ，1.1222=s ．设甲、乙品种产量分别服从正态分布),(21σμN 和

),(22σμN ，试问在01.0=α下，这两种品种的产量是否有显著性差异？解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题．

检验假设为

0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠．

由题可知，22221σσσ==未知，因此取检验统计量

n

m n m mn S n S m Y

X T +-+-+--=)2()1()1(2221，当0H 为真时，T ～)2(-+n m t ，该检验法的拒绝域为)}2({2/-+>n m t t α．

由题设，10==n m ，97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．将其代入检验统计量得

n m n m mn S n S m y

x t +-+-+--=)2()1()1(222166.4201810101

.1297.26979.2197.30=⨯⨯⨯+⨯-=，由01.0=α，查t 分布表得878.2)18()2(005.02/==-+t n m t α．显然)18(878.266.4005.0t t t =>=，因此，拒绝0H ，即这两种品种的产量有显著性差异．

5．某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X ～)4.0,18(2N ，现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位：L)如下：

0.18，6.17，3.17，2.18，1.18，5.18，9.17，1.18，3

.18在显著性水平05.0=α下，试问：

(1)该天罐装是否合格？

(2)罐装量精度是否在标准范围内？

解：(1)检验罐装是否合格，即检验均值是否为18，故提出假设

0H ：18=μ，1H ：18≠μ，

由于方差224.0=σ已知，取检验统计量为n

X U /00σμ-=，当0H 为真时，U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≥．

由题可知，9=n ，18=x ，将其代入检验统计量得

09

/4.01818/00=-=-=n x u σμ，由05.0=α，查标准正态分布表得96.1025.0=u ，显然，025.096.10u u =<=，故接受0H ，即该天罐装合格．

(2)检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设

0H ：224.0≤σ，1H ：224.0>σ，

此假设等价于

0H ：224.0=σ，1H ：224.0>σ．

由于18=μ已知，选取检验统计量为∑=-=n i i X

12202)18(1

σχ，

当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}({22n α

χχ≥．由已知计算得625.6)

18(1

12202=-=∑=n i i x σχ，查2χ分布表得307.18)10(205.0=χ，

由此知)10(307.18625.6205.02χχ=<=，故接受0H ，即罐装量精度在标准范围内．

6．某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差221600h =σ的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得222500h s =，问在显著性水平05.0=α下，这批电池的波动性较以往有无显著变化？

解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题．检验假设为

0H ：20

2σσ=，1H ：202σσ≠，其中160020=σ，取检验统计量为22

2)1(σχS n -=．

当0H 为真时，2χ～)(2n χ，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为

)}1({2

2/12-≤-n αχχ或)}1({22/2-≥n αχχ．

将观测值25002=s 代入检验统计量得5.371600

250024)1(222=⨯=-=

σχs n ．对于05.0=α，查2χ分布表得401.12)24()1(2975.02

2/1==--χχαn ，364.39)24()1(2025.022/==-χχαn ，

由于)24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0χχχ=<=<=，

故接受0H ，即这批电池的波动性较以往无显著变化．