分形综述论文

1/f 分形噪声理论及其在信号处理中的应用研究综述

杨冬云1,2王司1,3

(1.黑龙江工程学院 电子工程系, 黑龙江 哈尔滨150050；

2.哈尔滨工业大学 信息工程系, 黑龙江 哈尔滨150001；

3.哈尔滨工业大学 控制科学与工程系, 黑龙江 哈尔滨150001)

摘要：从1/f 分形噪声模型、分析方法、分形估计、1/f 分形噪声产生的根源以及在信号处理中的应用等方面，对1/f 分形噪声理论和应用研究状况进行了综述，介绍了有关的基本概念、理论和方法。

关键词：1/f 噪声；分形噪声；分形布朗运动；信号处理

1/f Fractal Noise Theory and It ’s Application to Signal Processing

YANG Dong-yun 1,2, W ANG Si 1,3

(1. Department of Electronic Engineering, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050, China;

2. Department of Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;

3. Department of Control Science and Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China) Abstract: This paper describes the studies of 1/f fractal noise theory and it ’s application with respect to 1/f noise model, analysis method, fractal estimation, 1/f fractal noise generating mechanism and it ’s application to signal processing. It presents the basic concepts, theories and analysis methods involved in 1/f fractal noise.

Keywords: 1/f Noise; Fractal Noise; Fractional Brownian Motions; Signal Processing

0 引言

f /1分形噪声(也称f /1噪声)是分形噪声中较重要的一类噪声。

它是根据其功率谱密度)(f S 或)(ωS 曲线的形状而定义的一种随机过程，其功率谱密度与γf 或γ

ω成反比，其中20<<γ。它首先是由Johmson [1]在电子管中发现的，当时被看作是一种超低频噪声。后来，在实践中发现，它不仅作为一种噪声存在于电子管、晶体管等电子器件和装置中，而且作为一种随机波动形式（或随机过程）广泛存在于音乐、气象、交通、水文和经济等领域中，因此，它成为信息处理领域中研究的一个重点内容。它具有不同于高斯白噪声和马尔可夫过程的统计特性，已经成为一种广泛应用的随机过程模型。其主要特性是长期（长程）相

关性（无限记忆）和统计意义上的自相似性（自仿射性）。由于f /1噪声的功率谱密度是不可积分的，其功率谱密度值随频率f 的降低迅速增大，通常称这种现象为红外突变（infrared catastrophe ），这意味着f /1噪声是非平稳的。

1 噪声模型的分类

常用噪声模型分为四种：（1）白噪声。它是最具有随机性的噪声，也称0/1f 噪声。其功率谱密度)(f S 在所有的频率分量f 上保持不变，即)(f S 与0/1f 成比例。电路中的热噪声可看作是白噪声。（2）粉红噪声（pink noise ）或模糊噪声（flicker noise ），也称f /1噪声。它的功率谱密度与γf /1)20(<<γ成比例。

（3）布朗运动或随机行走噪声，也称为2/1f 噪声。它的功率谱密度与2/1f 成比例。（4）黑噪声。如果噪声的功率谱密度与γ

f /1成比

例（γ>2），则称为黑噪声。 2 国内外研究状况

近年来，国内外对f /1噪声进行了广泛的研究。国外的研究起步较早，取得了很多有价值的成果。国内的研究较晚，取得的研究成果也较少。对f /1噪声理论和应用的研究主要集中在以下几个方面。

2.1 产生f /1噪声的根源

到目前为止，对产生f /1噪声机理的认识还不是很深入，还没有一个公认的理论能够解释f /1过程普遍存在的根本原因。文献[2]从量子论和电动力学角度探讨了f /1波动作为混沌的一种普遍形式而存在的原因，认为：非线性和同质性（homogeneity ）的普遍存在是产生f /1噪声的根本原因。文献[3]认为：分形噪声的物理本质是受到非线性随机力作用的布朗粒子随机振动，是非线性因素作用的结果。在自然界中，很多物理系统的混沌时间序列表现为γ-f 形式的功率谱。

2.2 f /1噪声模型

f /1噪声模型大致可分为两类：物理模型和统计模型。物理模型是建立在产生噪声的物理过程的微观研究理论之上的。微观研究主要集中于产生噪声机制的微观细节和整体性质

两个方面。然而，物理模型的通用性越强，与实验吻合的效果越差。换言之，具体问题必须通过特殊的物理模型来解决。统计模型是依据“现象学”建立的模型。建立统计模型的方法是忽略微观细节，而只研究独立于噪声产生机制的宏观行为。

统计模型可分为三类：自回归滑动平均(ARMA)模型，分形积分模型和基于小波的模型。在早期，建模的方法是假设一个ARMA 模型，在某种意义下产生γf /1形式的谱，也即通过有限个线性时不变系统来近似一个转移函数2//1γs ，通常使用有限个一阶高斯马尔可夫过程来近似（称之为“superposition of Lorentzian spectra ”）。其数学表达式为

2/0111)(γτs s s H N N

n n −−→−+∝∞→=∑ 这个模型存在三个缺陷：一是为精确产生γ

f /1谱，需要无限多个极点，不便处理。二是用马尔可夫过程描述低频发散行为时，极点必须连续地放置，使模型不便于应用。三是模型不具有尺度不变性。以上三个缺陷使ARMA 模型的应用受到很大限制。基于小波的模型是最近在信号处理领域中使用比较多的模型。通过选择适当的小波基、系数和足够的项数，可以以任意精度逼近γf /1谱。这个性质与ARMA 模型是一样的。此外，基于小波的模型还具有保留尺度不变性的优点。其缺陷是当选取有限项进行逼近时，γf /1谱曲线有波纹。分形积分模型是使用比较多的一种模型，分形布朗运动 (Fractional Brownian Mtions)模型(简记为FBM)是其典型例子。FBM 模型是Mandelbrot 和Van Ness [4]在布朗运动模型的基础上提出来的，它是布朗运动模型的推广。

定义1：满足下列条件的零均值随机过程称为布朗运动过程)(t B

a) 0)0(=B

b) )()(s B t B -是零均值的平稳正态过程，其方差与s t -成正比（t s ≤）。

c) )()(,),()(),()(12312----n n t B t B t B t B t B t B 是相互独立的（n t t t ≤≤21）。 b)和c)意味着布朗运动过程具有独立平稳的增量。布朗运动过程也称维纳(Wiener)过程。

定义2：给定一个常量10<

⎤⎢⎣

⎡-+--+Γ=⎰⎰∞----00212121)()()()21(1)(t H H H H s dB s t s dB s s t H t B 其中)(s B 为布朗运动。从这个定义可以看出，分形布朗运动过程是布朗运动过程的2

/1-H