凸函数与极值

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：凸函数与极值院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名哦哦学号********指导教师啊啊啊职称副教授2013年月日毕业论文（设计）评语及成绩承诺书本人哦哦，哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业 09—4 班学生，学号： 09031432 。

本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。

承诺人：董春年月日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章凸函数的定义与性质 (4)1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)1.1.1一元凸函数的定义 (4)1.1.2一元凸函数的性质 (4)1.1.3一元凸函数的判定 (7)1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)1.2.1多元凸函数的定义 (9)1.2.2多元凸函数的性质 (10)1.2.3多元凸函数的判定 (10)第二章极值的定义与判别法 (14)2.1一元函数极值 (14)2.1.1一元函数极值的定义 (14)2.1.2一元函数极值的判定 (14)2.1.3可导凸函数极值问题 (15)2.1.4一般凸函数极值问题 (17)2.2 多元函数极值 (18)2.1.1多元函数极值的定义 (18)2.1.2多元函数极值的判定 (19)第三章凸函数与极值相关理论 (22)第四章利用凸函数求解极值问题 (24)4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)4.2弓形面积的最值 (26)参考文献 (30)后记 (31)摘要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。

研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。

第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。

第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。

关键词：凸函数；严格凸函数；极值；最值AbstractThe extremum problems and it`s corresponding maximum and minimum Value Problems of differentiable convex function are studied in this paper ，and the distribution law of extreme value point of convex function is depicted. The obtained result can be extended to the differentiable strictly convex function and the general convex functionKey words: convex function; strictly convex function; extreme value; maximum and minimum value前言函数的极值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的重要特征。

在现有文献中，对一般可导函数的极值问题的研究已接近完善，得到了许多极值的充分条件，为求解函数的极值与最值问题带来了极大的便利。

但是对于凸函数的极值问题的讨论却鲜见报道。

为此，本文从凸函数的基本定义和性质出发，研究可导凸函数极值问题，探讨凸函数极值的充分条件，并讨论相应的最值问题，以期揭示可导凸函数的极值点和最值点的分布规律。

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中，它在纯粹数学和应用数学的众多领域具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学的理论基础和有力工具。

为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。

本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，应用到实际问题中，结合正定矩阵在最优化的图规划和函数极值点问题的应用，拓宽了凸函数极值问题的新领域。

凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数，具有许多特殊的性质，它的最大值与最小值有着一些特殊的性质，因此，探讨和总结凸函数的性质及应用能深刻理解和牢固掌握函数的概念和性质，培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用。

本文共分四章，包括了凸函数定义及性质与极值的定义与判别法，凸函数与极值相关理论和利用凸函数求解极值问题。

第一章 凸函数的定义与性质1.1 一元凸函数的定义与性质1.1.1一元凸函数的定义定义1]1[ 设函数()x f 在I 上有定义，若()1,0,2,1∈∀∈∀λI x x ，总有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+ ()1或()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≥-+ ()2称()x f 为I 上的凸函数（凹函数）。

定义2]1[ 在定义1中，若12x x ≠，且不等式（1）（2）严格成立，则称()x f 为I 上严格凸函数（严格凹函数）。

我们给出了凸函数的定义，要证明它是严格凸函数唯一的条件是12x x ≠，只要12x x ≠那么不等式（1）（2）就严格成立。

由定义1，定义2，容易证明：若函数()x f 为I 上的凸函数，则()1,0,2,1∈∀∈∀λI x x ，有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+若0,21≤x x ，则有0,21≥--x x 那么()()()1,0,21∈∀∈--∀λI x x ，()()()[]()()()212111x f x f x x f --+-≤--+-λλλλ则()()()[]()()()212111x f x f x x f λλλλ-+-≤-+-有()()()[]()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≥-+则函数()-f x 为I 上的凹函数。

由凸函数的定义我们很容易证明凹函数，由凸函数性质及其相关问题，自然而然的就能推到凹函数中去。

1.1.2一元凸函数的性质1.凸函数的运算性质性质1 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，则函数)(x f +)(x g 在区间I 也为凸函数。

我们在证明凸函数的运算性质时，知道函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，根据定义写出它的运算公式，函数)(x f +)(x g 的和就是两个运算公式的和，在区间I 上也是成立的，证明过程如下：证明： I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数， 从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+从而)]()()[1()]()([)])1(())1(([22112121x g x f x g x f x x g x x f +-++≤-++-+λλλλλλ因此)(x f +)(x g 在区间I 也为凸函数。

推论 1 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，21,k k 为非负实数,则)()(21x g k x f k +也为区间I 上的凸函数。

根据性质1的证明：我们同样可以证明出推论1的结论。

证明如下：I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数， 从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+又因为21,k k 为非负实数，所以有)()(21x g k x f k +=()()2111x x f k λλ-++()()2121x x g k λλ-+≤()()()[]2111x f x f k λλ-++()()()[]2121x g x g k λλ-+因此)()(21x g k x f k +在区间I 也为凸函数。

性质2 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，则)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数。

分析：利用凸函数的定义和两个函数最大值的性质可以证明)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数。

证明： I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+令)(x F =)}(),(max{x g x f ,则)})1((),)1((m ax {))1((212121x x g x x f x x F λλλλλλ-+-+=-+1212112212max{()(1)(),()(1)()}max{(),()}(1)max{(),()}()(1)()f x f xg x g x f x g x f x g x F x F x λλλλλλλλ≤+-+-≤+-=+-因此)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数。

性质3 设函数)(x f ,)(x g 在区间),(b a 为递增的非负凸函数，则)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。

分析：利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。

证明：I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+从而121222*********211221122((1))((1))()()(1)[()()()()](1)()()()()(1)()()()()(1)()()f x xg x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλλλλλ+-+-≤+-++-≤+-≤+-可得，)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。

推论2 )(x f 为区间I 上的凸函数，k 为非负实数，则)(x kf 也为区间I 上的凸函数。

性质4 设函数)(x f 在),(b a 区间为非负凸函数，则)(x f n 在区间),(b a 上也为凸函数。