凸函数与极值
凸函数 驻点

凸函数1. 定义在数学中,凸函数是一类具有特殊性质的函数。
简而言之,凸函数是指定义在实数集上的函数,其图像上的每个点都位于该函数的下方区域。
凸函数的定义可以从两个不同的角度来理解:1.1 函数图像的定义给定定义在实数集上的函数f(x),如果对于任意的实数x1和x2,以及0≤λ≤1,都有以下不等式成立:f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则称函数f(x)为凸函数。
上述不等式表明,对于函数上的任意两点x1和x2,连接这两点的线段上的每个点都位于函数图像的下方。
换句话说,凸函数的图像上的每个点都位于它的切线的下方。
1.2 导数的定义另一种定义凸函数的方法是利用导数。
给定定义在实数集上的函数f(x),如果对于任意的实数x1和x2,以及0≤λ≤1,都有以下不等式成立:f’(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf’(x1) + (1-λ)f’(x2)则称函数f(x)为凸函数。
这个定义表明,函数的导数是递增的,即函数的斜率在整个定义域上是递增的。
换句话说,凸函数的导数是非负的。
需要注意的是,凸函数的定义要求函数在整个定义域上是定义良好的,即函数在定义域上是连续的,且对于任意的实数x1和x2,以及0≤λ≤1,函数在λx1 +(1-λ)x2处是可导的。
2. 特性凸函数具有一些重要的特性,这些特性使得凸函数在数学和实际应用中都有广泛的应用。
以下是几个重要的特性:2.1 凸函数的图像凸函数的图像是向上凸起的,即图像上的每个点都位于函数的下方。
这意味着凸函数的图像是一条连续的曲线,没有拐点或凹陷的部分。
2.2 凸函数的切线凸函数的切线位于函数的图像的下方,且切线的斜率是递增的。
这意味着凸函数的每条切线都位于函数的图像的下方,且切线的斜率随着切点的变化而增加。
2.3 凸函数的极值点对于凸函数,如果存在一个点x0,使得对于任意的x≠x0,都有f(x0)≤f(x),则称x0为凸函数的极小值点。
求极值的方法和步骤

求极值的方法和步骤求极值是高等数学中的一个重要概念。
它是指在一个函数或者一组数据中,寻找出最大值或最小值的过程。
求极值的方法有很多种,下面将为大家介绍一下求极值的常见方法和步骤。
1. 寻找导数为0的点对于一个单变量函数,函数最大值和最小值一定在导数为0的点处出现。
因此,我们可以通过求导数来找到函数的最大值和最小值。
具体的做法是,先对函数进行求导,然后令导数等于0,解出方程的根,即可找到函数的极值点。
不过需要注意的是,只有在导数的定义域中导数为0的点才是函数的极值点。
2. 利用函数的性质对于一些特殊的函数,我们可以利用它们的性质来求其极值。
比如,对于一个凸函数,其极小值出现在函数的两个端点处;对于一个连续函数,其极值只可能出现在其定义域的端点处或者导数为0的点处。
此外,对于一些函数,我们还可以通过对函数图像的观察来判断其极值点的位置,这需要我们具备一定的直觉和分析能力。
3. 利用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的优化方法,可以用来求解带有约束条件的优化问题。
在求极值问题中,我们可以用拉格朗日乘数法来解决导数为0但不满足约束条件的问题。
具体的做法是,将约束条件转化为一个方程,然后构造拉格朗日函数,利用导数为0的条件来确定极值点的位置,最后再将这些极值点和约束条件代入原函数中,求出最终的极值点。
需要注意的是,拉格朗日乘数法只适用于带有等式约束的优化问题。
通过以上三种方法,我们可以较为全面、准确地找到函数的极值点。
在具体应用中,我们需要根据具体问题的特点来选择合适的方法,同时还需要注意对计算过程中可能出现的误差进行调整和处理,保证结果的可靠性。
函数的单调性与凹凸性

单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用,如果函数在某区间内单调递增或递减,则该函数的导 数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性,如果导数大于0,则函数单调递增;如果导数小于 0,则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$,如果在区间$I$上, 对于任意$x_1 < x_2$,都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$,则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性,并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中,常需要求解函数在开区间 上的最值问题,以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上,函数可能没有最大值或最小 值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性,并考虑无穷远处的情 况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中,常需要研 究函数在无界区间上的最值问题,以深入理 解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$,如果对于任意$x_1 < x_2$,都有$f(x_1) > f(x_2)$,则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性,如果导数大于0,则函数单调递增;如果导数小于0,则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时,利用函数的 单调性和凹凸性,可以判断系统的稳定性和 运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中,利用函数的单调性和 凹凸性,可以分析电路的工作状态和性能, 优化电路设计。
凸函数

§3.2.6如果任取曲线上两点,则两点构成的都在此曲线弧的上方,我们称这样的曲线对应的函数为凸函数,如图21便是凸函数的图像,严格定义的话,如果D 是一个实轴上的区间,或者更为一般的向量空间上的凸集,则函数:f D R →是凸函数,如果其满足:()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-,对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集,如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈,()1x y λλ+-也在D 中,其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数,则f 叫做凹函数,如果f 既凸又凹,则f 是一条直线。
例如:()f x ax b =+,,a b 是常数。
定理:函数f 在(),a b 内二阶可导,f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地,定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的,如果它的海塞矩阵是半正定型的,对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在,那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦,这是对坐标的求模的一种说法,在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ,这里k n ≤,12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用,我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式:如果()():0,,l n f R f x x+∞→=,其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数,且111p q+=,则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
凸优化答案习题答案

凸优化答案习题答案凸优化是数学中的一个重要分支,它研究的是优化问题中的凸函数和凸集合。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的意义,涉及到经济学、工程学、计算机科学等领域。
在学习凸优化的过程中,习题是不可或缺的一部分,通过解答习题可以加深对凸优化理论的理解和应用。
首先,我们来看一个简单的凸优化问题。
假设我们有一个凸函数f(x),其中x是一个向量。
我们的目标是找到使得f(x)最小化的x值。
为了求解这个问题,我们需要找到f(x)的导数,并令导数等于零,求解方程得到极值点。
如果f(x)是一个凸函数,那么这个极值点就是全局最小值点。
接下来,我们考虑一个更复杂的凸优化问题。
假设我们有一个凸函数f(x),其中x是一个向量,同时我们还有一些约束条件。
我们的目标是在满足约束条件的前提下,找到使得f(x)最小化的x值。
这个问题被称为凸优化问题的约束形式。
在解决凸优化问题时,我们可以使用不同的方法。
一种常用的方法是拉格朗日乘子法。
该方法通过引入拉格朗日乘子,将约束条件转化为目标函数的一部分,从而将约束形式的凸优化问题转化为无约束形式的凸优化问题。
然后,我们可以使用前面提到的方法来求解无约束形式的凸优化问题。
除了拉格朗日乘子法,还有其他一些常用的方法可以用于求解凸优化问题。
例如,次梯度法、内点法等。
这些方法各有优缺点,根据具体的问题和需求,选择合适的方法进行求解。
在实际应用中,凸优化问题广泛存在于各个领域。
例如,在经济学中,凸优化问题可以用于优化资源的分配,提高效益。
在工程学中,凸优化问题可以用于优化设计参数,提高系统性能。
在计算机科学中,凸优化问题可以用于优化算法的时间复杂度和空间复杂度,提高计算效率。
在学习凸优化的过程中,习题是不可或缺的。
通过解答习题,我们可以巩固理论知识,加深对凸优化问题的理解。
同时,习题也可以帮助我们培养问题解决能力和创新思维。
因此,我们应该充分利用习题资源,积极参与习题的解答和讨论。
总之,凸优化是数学中的一个重要分支,它在实际应用中具有广泛的意义。
证明极值点偏移问题的两种方法

证明极值点偏移问题的两种方法
极值点偏移是一种常见的数学问题,它指的是在某一函数的极值点处,函数值的变化率发生了变化,从而导致极值点的位置发生了偏移。
极值点偏移问题的解决方法有两种:一种是采用数值方法,即通过计算函数的一阶导数和二阶导数,来求解极值点的位置;另一种是采用几何方法,即通过几何图形来求解极值点的位置。
首先,采用数值方法解决极值点偏移问题。
首先,我们需要计算函数的一阶导数和二阶导数,然后根据一阶导数和二阶导数的值,来判断函数的极值点的位置。
如果一阶导数为0,而二阶导数不为0,则说明函数在该点处取得极值,而且极值点的位置没有发生偏移。
如果一阶导数不为0,而二阶导数为0,则说明函数在该点处取得极值,但是极值点的位置发生了偏移。
其次,采用几何方法解决极值点偏移问题。
首先,我们需要绘制函数的几何图形,然后根据几何图形的形状,来判断函数的极值点的位置。
如果函数的几何图形是一个凸函数,则说明函数在该点处取得极值,而且极值点的位置没有发生偏移。
如果函数的几何图形是一个凹函数,则说明函数在该点处取得极值,但是极值点的位置发生了偏移。
总之,极值点偏移问题的解决方法有两种:一种是采用数值方法,即通过计算函数的一阶导数和二阶导数,来求解极值点的位置;另一种是采用几何方法,即通过几何图形来求解极值点的位置。
这两种方法都可以有效地解决极值点偏移问题,但是在实际应用中,应根据具体情况选择合适的方法。
求极值的方法

求极值的方法在数学中,求极值是一个非常重要的问题,它涉及到函数的最大值和最小值,对于优化问题和实际应用都具有重要意义。
本文将介绍一些常见的求极值的方法,帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。
一、导数法。
求极值的常见方法之一是利用导数。
对于给定的函数,我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
具体来说,我们首先求出函数的导数,然后令导数等于零,解出方程得到极值点的横坐标,再代入原函数求得纵坐标,就可以得到函数的极值点。
二、二阶导数法。
除了利用一阶导数来求极值外,我们还可以利用二阶导数。
对于函数的极值点,其一阶导数为零,而且二阶导数的符号可以告诉我们这个极值点是极大值还是极小值。
当二阶导数大于零时,函数在该点取得极小值;当二阶导数小于零时,函数在该点取得极大值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题,我们可以使用拉格朗日乘数法。
这种方法适用于多元函数的极值求解,通过引入拉格朗日乘数,将带有约束条件的极值问题转化为无约束条件的极值问题,然后利用导数或者其他方法求解。
四、牛顿法。
牛顿法是一种迭代求解的方法,可以用来求函数的零点,同时也可以用来求函数的极值点。
通过不断迭代,我们可以逼近函数的极值点,从而得到极值的近似解。
五、凸优化方法。
对于凸函数的极值问题,我们可以使用凸优化方法来求解。
凸优化是一类特殊的优化问题,其解具有良好的性质和稳定性,因此在实际问题中有着广泛的应用。
六、遗传算法。
除了传统的数学方法外,我们还可以利用遗传算法来求解极值问题。
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法,通过不断迭代和选择,可以得到函数的极值点。
综上所述,求极值的方法有很多种,不同的方法适用于不同的问题,我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
希望本文对读者有所帮助,能够更好地理解和掌握求极值的方法。
3.3函数的单调性、凹凸性与极值

o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸 的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点 对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时, f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时, 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大,故在 x0 0 点的任何邻 域内,f ( x ) 都不单调递增.
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时,f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少; 当0 x 时, f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加;
单调区间为 ( ,0], [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论 仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个 数和证明不等式.
高数课件14凹凸性

凹凸性与光滑性 的应用:在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性:函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性:函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系:凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用:在解决实际问题时,可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断: 如果极限存在且 大于0,则为凹 函数;如果极限 存在且小于0, 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数:对于任意x1, x2, y1, y2,若x1 < x2,则f(x1) < f(x2) 凹函数:对于任意x1, x2, y1, y2,若x1 < x2,则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数:函数在该点处 为凸函数
负二阶导数:函数在该点处 为凹函数
注意事项:凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性:凹凸性是函数 在某点附近的局部性质,与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性:凹凸性是函数 在某点附近的局部性质,与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质,与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性,凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处,其导数大于等于0 凹函数的极大值点处,其导数小于等于0 凸函数的极小值点处,其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处,其二阶导数小于等于0
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汇报人:
凸函数的一个等价定义

另外令
。
一 l t
x
。
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x
Z
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,
于是 由 f ( x ) 的 严 格 凸性 有
t
.
,
f (二 ) +
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)
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,
Z
) < f (c )
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.
矛盾 当 使得 f
(e
。
x
。
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时 同 样 可 导 致 矛 盾 这 样 如 上 面 所证 f ( x
.
)在 ( a
) 的 所 有极 值均 是 最 小 值 因 b
若 f x (
(l )
,
) 上 无 极 值 由 引理 b
,
,
3
知 f ( a x )在 (
,
,
l, ) 上 严 格 单调 另 外 由 引 理
,
,
1
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,
( 在a
,
) 上 b
.
式成 立
)在 a (
, ,
2
若 f x (
,
) 上 有极 值 设 斑 是 其 中 任 一 极 值 则 m 必 为 厂( x b ( ) 在 a
c ,
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时 取
,
x
。
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,
( 则 f (x ) ) f c
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.
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x
。
t ~ c
,
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。
t
任 (o
,
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,
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凸函数与极值解读

哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目:凸函数与极值院(系)理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名哦哦学号********指导教师啊啊啊职称副教授2013年月日毕业论文(设计)评语及成绩承诺书本人哦哦,哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业 09—4 班学生,学号: 09031432 。
本人郑重承诺:本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》,是个人的研究成果,数据来源真实可靠,无剽窃行为。
承诺人:董春年月日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章凸函数的定义与性质 (4)1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)1.1.1一元凸函数的定义 (4)1.1.2一元凸函数的性质 (4)1.1.3一元凸函数的判定 (7)1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)1.2.1多元凸函数的定义 (9)1.2.2多元凸函数的性质 (10)1.2.3多元凸函数的判定 (10)第二章极值的定义与判别法 (14)2.1一元函数极值 (14)2.1.1一元函数极值的定义 (14)2.1.2一元函数极值的判定 (14)2.1.3可导凸函数极值问题 (15)2.1.4一般凸函数极值问题 (17)2.2 多元函数极值 (18)2.1.1多元函数极值的定义 (18)2.1.2多元函数极值的判定 (19)第三章凸函数与极值相关理论 (22)第四章利用凸函数求解极值问题 (24)4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)4.2弓形面积的最值 (26)参考文献 (30)后记 (31)摘要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。
研究一元凸函数和多元凸函数的定义,性质及其判定;刻画了凸函数极值点的分布规律,并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。
第二章介绍了极值的定义与判别法,从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。
第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。
凸函数的应用

凸函数的应用在许多数学问题的证明过程中,我们经常遇到一些有关于不等式的证明,所以我们可以学会着去运用凸函数来证明,因为凸函数的性质和判定方法可以很大程度化简化证明.通过例举出的例子可以得出,运用凸函数的性质证明来证明与之相关的不等式,则可让一些难度比较大的和不容易证明的不等式得以求证出结果.所以要学会用凸函数来解决一些不等式的问题,这样才能让发挥数学这门学科的优势,和凸函数的存在意义,更能方便我们的学习和生活. 凸函数在不等式的应用凸函数的性质证明初等不等式(例)证明:当,0x y >且x y ≠时,有()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑.思路:将不等式()2x y y x y x +>+㏑x+y㏑㏑变形,即两边同时乘以12,得新式222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑,因此我们可以构造辅助函数()()ln 0f s s s s =>,则可证出()()222fx fy x y x yln +++>. 证:设()()ln 0f s s s s =>∴ ()'1ln f s s =+ ()()''10f s s s=> ∴()f s 在区间()0,+∞是凸函数∴对 ,0x y ∀>且 x y ≠,得 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 所以得222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑即()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑1. 凸函数的性质证明函数不等式(例)证明:对任何非负实数,x y 有2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭证:设()()arctan ,0,f s s s =-∈+∞,()()''22201sfs s =>+,()0,s ∈+∞,则()f s 在()0,+∞上是凸函数,由凸函数性质知,对任何的非负实数,x y 有()()22f x f y x y f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,既arctan arctan arctan 22x y x y ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭ 所以2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭. 2. 凸函数的性质证明积分不等式(例)证明:()f x 在[],a b 上可积且()n f x N ≤≤,()t ϕ是在[],n N 上的连续凸函数,则()()11bbaafx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰证:设(),s k s f f a b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(),1s k x b a k =-由于()t ϕ是凸函数,故有()()()1212......k k kk k k kk f f f f f f k kϕϕϕϕ++++++≤① 由定积分的定义知在①中令k →∞时 使得()()11bbaa fx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰.(Jensen )不等式琴生不等式是一个十分重要凸函数的性质,因为每一个凸函数都可以满足琴声不等式性质,于是琴生不等式是重要方法对于研究不等式来说.定理:假设函数()f x 是区间I 上的凸函数,则存在i x I ∀∈并且()01,2,...,i p i n >=,总有()1111nn ni i i i i i i i p f p x p f x ===⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑.(例)若()0,01,2,...,1ni i i ix q i n q >>==∑求证:12121122......n q q qn n n x x x q x q x q x ≤+++证:因为对所有的,0i i x >,可以令ln i i y x =,所以有()()exp ln exp iyi i i i i x q x q y ==又因为(),tf t e x R =∈是凸函数所以有()()121211111...exp exp n n n nn nq q q n i i i i i i i i i ii i i i i x x x q y f q y q f y q y q x =====⎛⎫⎛⎫==≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.注:①当212'112,k kn q q x x x y k k=====时, 则存在'11k kxy x y k k=+. ②当()11,2,...,i q i n n==时,有12...nx x x n+++≤.(Holder )不等式赫尔德不等式是数学分析的重要内容,不等式的命名来自奥图.赫尔德.This inequality clearly s hows the relationship between LP spaces. There are many Hölder's inequality, and of course there are also proofs of convex functions. 定理:假设0,0,1i i a b i n >>≤≤,则存在 11111pqpqnnni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 其中1p >,并且111p q+=. (例)证明存在n 个正数,这些数倒数的算术平均值大于或等于这些数的算术平均值的倒数.证:假设函数()()10f x x x =<<+∞,因此()()()'''2312,0f x f x x x x =-=<<+∞所以()1fx x =在()0,+∞上是凸函数,在Jensen 不等式中取1,1,2,...,i p i nn== 则得到12121111......nn n x x x n x x x ⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭ 既121211111......n n x x x n x x x n⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭.凸函数在极值的应用根据常识的数学知识我们可以得知,一个连续函数如果是有界的,那么在这个区间内一定有max 和min.但是对于函数来说max 和min 可能是在区间上的随机处.又因为对于凸函数,它的max(min)具有一些特征性质。
Chapter05.4-6函数极值、单调性、凹凸性、作图

f (x1)
O x1 x1+(1)x2 x2 x
曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义!
二、等价定义
定理 设函数 f 在区间I上定义, 则下面3条等价: (i) f 为I上的凸函数; (ii) x1< x2 < x3I :
y
f (x)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ; x2 x1 x3 x2
若f (x) 0, 且仅有限个点处f (x) = 0, 则f (x)严格单调增加. 函数单调区间求法
1) 求函数的驻点和不可导点;
2) 用上述点把函数定义域分成若干子区间; 3) 在子区间上讨论导函数的符号, 确定函数单调性. 例1 求函数f (x) = x2/3(x–5)的单调区间.
问题 f 在a, b处必定单侧连续吗?
定理4 设f (x)是区间I上的凸函数,则x1< x2I,有
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1
推论 设f (x)是(a, b)内的凸函数, 则 f(x)和f+(x)在(a, b)内递增.
二、函数的极值和最值
1. 函数极值判别法
Fermat引理 可导的极值点一定是驻点! 极值也可能在不可导点取得,因此极值点一定包含在
运筹学及其应用7.3 凸函数和凸规划

X
)
=
∂2 g1 ∂x12
∂2 g1 ∂x2∂x1
∂2 g1 ∂x1∂x2
∂2 g1 ∂x22
=
0 00 0 Fra bibliotek,凹(凸)函数.
H
g
2
(
X
)
=
∂2g2 ∂x12
∂2g2 ∂x2∂x1
∂2g2 ∂x1∂x2
∂2g2 ∂x22
7.3 凸函数与凸规划
凸集概念: 设D是n维线性空间En的一个点集,若D中的
任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在D中, 则称D为凸集。 即:若D中的任意两点x(1),x(2) ∈D,任意0<α<1 使得 x= α x(1)+(1- α)x(2) ∈ D,则称D为凸集
1
一、凸函数的定义
设R为凸集,∀X (1), X (2) ∈ R及α ∈ (0, 1) • 若f (αX (1) + (1−α ) X (2) ) ≤ αf ( X (1) ) + (1−α ) f ( X (2) )
因为 f ( X ) 是凸函数,由凸函数判别一阶条件知, f ( X ) ≥ f ( X *) + ∇f (X *)T ( X − X *) = f ( X *) 即 X * 是全局极小点。
12
解无约束问题的算法: Ø求f(X)的驻点X*,若是凸函数,得到最优 解。否则,转下一步。 Ø在驻点X*处,计算H(x)。 Ø根据H(x)来判断该驻点X*是否是极值点。
H
f
(
X
)
=
∂x12 ∂2 f
凸函数概念的分析

一
定义 3 设 ) 在 区 间[ a , b ] 上 有定义 , V
X 2 ∈[ a , b ] , Vt ∈( 0 , 1 ) , 有 t x J + ( — t ) x ) ≤t f ( x 』 ) +
元 凸 函 数 的 概念 还 可 以 推广 到 多 元 凸 函
是 凸集 。本 文 中只讨 论一 元 凸 函数 的情 形 。
事实上定义 3 蕴含 ) 在[ a , b ] 连续 , 所以定
义 3的条 件 强 于定 义 2的条 件 , 因为我 们 所讨 论 的 函数基 本 都 是连 续 函数 , 所 以现 代数 学 多 采用 的 是定 义 3的形 式 ,而 定 义 3有 很 多 种 等 价 形
符合凸集的定义 。 定义 1 设集合 S C R “ ,若对于任意的 ,
∈S , 以及 任 意 的 t ∈( 0 7 1 ) , 有x t = t x J + ( 1 - t ) x 2 ∈S ,
则称集合 J s 是凸集。 由定义易知 , s是凸集 当且仅
当连接 J s中 的任 意两 点 的线段 在 J s中。显 然 区 间
’ ( ) ≤ 乏 ’ ( ) , Yx∈( a , b ) ;
( ) ≤ 三 - ) + - ! - X 。 ) ;
‘
2 ) 函数 ( ) 在( 6 ) 内连续 。
, 一
,
,
,
性质 2 若函数 ) 在( Ⅱ , 6 ) 上可导 , 则 函数
( 1 - t
) , 则 称 ) 是 凸 函数 。
数, 但是这需 要多元 函数 的定义域是 凸集 , 而一
元 凸 函数 定 义 中 的 函数 定义 域 “ 区间[ a , b ] ” 当然
凸函数理论解决数学中极值问题

凸函数是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续,且在除可数个点之外的所有点可微。
如果C是闭区间,那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方:对于区间内的所有x和y,都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x)。
特别地,如果f '(c) = 0,那么c是f(x)的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负的;这可以用来判断某个函数是不是凸函数。
如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立。
例如,f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2,当x = 0时为零,但x4是严格凸的。
更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。
严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。
然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数;这样的函数称为拟凸函数。
延森不等式对于每一个凸函数f都成立。
如果X是一个随机变量,在f的定义域内取值,那么(在这里,E表示数学期望。
)一般凸函数极值问题,由于在凸函数的定义中并没有对做出连续性和可导性假设,因此一方面凸函数可能是不连续的,进而也是不可导的。
一般凸函数极值问题,由于在凸函数的定义中并没有对做出连续性和可导性假设,因此一方面凸函数可能是不连续的,进而也是不可导的。
证明在上是凸函数,但在上分别是不连续和不可导的,另一方面连续函数和可导函数也可能不是凸函数。
例如在R上是不连续和不可导的,但在R上不是凸函数。
这样,当在I上不可导时,上述定理及推论失效。
凸函数与极值

哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目:凸函数与极值院(系)理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名哦哦学号********指导教师啊啊啊职称副教授2013年月日毕业论文(设计)评语及成绩承诺书本人哦哦,哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业 09—4 班学生,学号: 09031432 。
本人郑重承诺:本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》,是个人的研究成果,数据来源真实可靠,无剽窃行为。
承诺人:董春年月日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章凸函数的定义与性质 (4)1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)1.1.1一元凸函数的定义 (4)1.1.2一元凸函数的性质 (4)1.1.3一元凸函数的判定 (7)1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)1.2.1多元凸函数的定义 (9)1.2.2多元凸函数的性质 (10)1.2.3多元凸函数的判定 (10)第二章极值的定义与判别法 (14)2.1一元函数极值 (14)2.1.1一元函数极值的定义 (14)2.1.2一元函数极值的判定 (14)2.1.3可导凸函数极值问题 (15)2.1.4一般凸函数极值问题 (17)2.2 多元函数极值 (18)2.1.1多元函数极值的定义 (18)2.1.2多元函数极值的判定 (19)第三章凸函数与极值相关理论 (22)第四章利用凸函数求解极值问题 (24)4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)4.2弓形面积的最值 (26)参考文献 (30)后记 (31)摘要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。
研究一元凸函数和多元凸函数的定义,性质及其判定;刻画了凸函数极值点的分布规律,并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。
第二章介绍了极值的定义与判别法,从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。
第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。
极值存在定理

极小点的判定条件(一) 内点为极小值点的判定条件(求)(min x f ,D x ∈)一、一般条件定理1(一阶必要条件)设1R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数,*x 是D 的内点,若*x 是)(x f 的局部极小点,则0)(*=∇x f定理2(二阶必要条件)设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数,若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点,则)(*2x f ∇是半正定的。
定理3(二阶充分条件)设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数,*x 为D 的内点,且0)(*=∇x f ,若)(*2x f ∇正定,则*x 为)(x f 的严格局部极小点。
定理4(二阶充分条件)设1R R :→n f 具有二阶连续偏导数,n x R *∈且0)(*=∇x f ,若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀,都有)(2x f ∇半正定,则*x 为)(x f 的局部极小点。
二、凸规划极值判定条件凸规划问题:非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。
定理5 设1R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数,则(1))(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点;(2)若)(x f 可微,且存在D x ∈*,使0)(*=∇x f ,则*x 为)(x f 在D 上的全局极小点;(3)若)(x f 为严格凸函数,且全局极小点存在,则必唯一。
定理6 考虑如下特殊的凸规划问题:正定二次函数C x b Qx x x f ++=T T 21)(,n x R ∈ 则b Q x 1*--=为唯一的全局极小点。
(二) 边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP):)(min x f:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji (1) 一、一般条件定理1(K —T 条件)(或一阶必要条件):设*x 是(NP )的局部极小点,)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微,且点*x 处的全部起作用约束的梯度线性无关(即*x 是正则点),则存在实数l m λλμμ,,,,,11 ,使下述条件成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==mi m i x s x h x s x f i i i l j j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ (*)二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题:)(min x f. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji (2) 其中,)(x f 是可微凸函数,m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数,l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。
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哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目:凸函数与极值院(系)理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名哦哦学号********指导教师啊啊啊职称副教授2013年月日毕业论文(设计)评语及成绩承诺书本人哦哦,哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业 09—4 班学生,学号: 09031432 。
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承诺人:董春年月日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章凸函数的定义与性质 (4)1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)1.1.1一元凸函数的定义 (4)1.1.2一元凸函数的性质 (4)1.1.3一元凸函数的判定 (7)1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)1.2.1多元凸函数的定义 (9)1.2.2多元凸函数的性质 (10)1.2.3多元凸函数的判定 (10)第二章极值的定义与判别法 (14)2.1一元函数极值 (14)2.1.1一元函数极值的定义 (14)2.1.2一元函数极值的判定 (14)2.1.3可导凸函数极值问题 (15)2.1.4一般凸函数极值问题 (17)2.2 多元函数极值 (18)2.1.1多元函数极值的定义 (18)2.1.2多元函数极值的判定 (19)第三章凸函数与极值相关理论 (22)第四章利用凸函数求解极值问题 (24)4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)4.2弓形面积的最值 (26)参考文献 (30)后记 (31)摘要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。
研究一元凸函数和多元凸函数的定义,性质及其判定;刻画了凸函数极值点的分布规律,并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。
第二章介绍了极值的定义与判别法,从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。
第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。
关键词:凸函数;严格凸函数;极值;最值AbstractThe extremum problems and it`s corresponding maximum and minimum Value Problems of differentiable convex function are studied in this paper ,and the distribution law of extreme value point of convex function is depicted. The obtained result can be extended to the differentiable strictly convex function and the general convex functionKey words: convex function; strictly convex function; extreme value; maximum and minimum value前言函数的极值不仅在实际问题中占有重要地位,而且也是函数性态的重要特征。
在现有文献中,对一般可导函数的极值问题的研究已接近完善,得到了许多极值的充分条件,为求解函数的极值与最值问题带来了极大的便利。
但是对于凸函数的极值问题的讨论却鲜见报道。
为此,本文从凸函数的基本定义和性质出发,研究可导凸函数极值问题,探讨凸函数极值的充分条件,并讨论相应的最值问题,以期揭示可导凸函数的极值点和最值点的分布规律。
凸函数是一类重要的函数,它的概念最早见于Jensen著作中,它在纯粹数学和应用数学的众多领域具有广泛的应用,现已成为数学规划,对策论数理经济学,变分学和最优控制学的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破,加强他们在实践中的应用,产生了广义凸函数。
本文由凸函数的定义出发,研究了凸函数的判定及其应用,总结了凸函数的许多重要性质,应用到实际问题中,结合正定矩阵在最优化的图规划和函数极值点问题的应用,拓宽了凸函数极值问题的新领域。
凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数,具有许多特殊的性质,它的最大值与最小值有着一些特殊的性质,因此,探讨和总结凸函数的性质及应用能深刻理解和牢固掌握函数的概念和性质,培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用。
本文共分四章,包括了凸函数定义及性质与极值的定义与判别法,凸函数与极值相关理论和利用凸函数求解极值问题。
第一章 凸函数的定义与性质1.1 一元凸函数的定义与性质1.1.1一元凸函数的定义定义1]1[ 设函数()x f 在I 上有定义,若()1,0,2,1∈∀∈∀λI x x ,总有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+ ()1或()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≥-+ ()2称()x f 为I 上的凸函数(凹函数)。
定义2]1[ 在定义1中,若12x x ≠,且不等式(1)(2)严格成立,则称()x f 为I 上严格凸函数(严格凹函数)。
我们给出了凸函数的定义,要证明它是严格凸函数唯一的条件是12x x ≠,只要12x x ≠那么不等式(1)(2)就严格成立。
由定义1,定义2,容易证明:若函数()x f 为I 上的凸函数,则()1,0,2,1∈∀∈∀λI x x ,有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+若0,21≤x x ,则有0,21≥--x x 那么()()()1,0,21∈∀∈--∀λI x x ,()()()[]()()()212111x f x f x x f --+-≤--+-λλλλ则()()()[]()()()212111x f x f x x f λλλλ-+-≤-+-有()()()[]()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≥-+则函数()-f x 为I 上的凹函数。
由凸函数的定义我们很容易证明凹函数,由凸函数性质及其相关问题,自然而然的就能推到凹函数中去。
1.1.2一元凸函数的性质1.凸函数的运算性质性质1 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数,则函数)(x f +)(x g 在区间I 也为凸函数。
我们在证明凸函数的运算性质时,知道函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数,根据定义写出它的运算公式,函数)(x f +)(x g 的和就是两个运算公式的和,在区间I 上也是成立的,证明过程如下:证明: I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数, 从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+从而)]()()[1()]()([)])1(())1(([22112121x g x f x g x f x x g x x f +-++≤-++-+λλλλλλ因此)(x f +)(x g 在区间I 也为凸函数。
推论 1 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数,21,k k 为非负实数,则)()(21x g k x f k +也为区间I 上的凸函数。
根据性质1的证明:我们同样可以证明出推论1的结论。
证明如下:I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数, 从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+又因为21,k k 为非负实数,所以有)()(21x g k x f k +=()()2111x x f k λλ-++()()2121x x g k λλ-+≤()()()[]2111x f x f k λλ-++()()()[]2121x g x g k λλ-+因此)()(21x g k x f k +在区间I 也为凸函数。
性质2 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数,则)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数。
分析:利用凸函数的定义和两个函数最大值的性质可以证明)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数。
证明: I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数,从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+令)(x F =)}(),(max{x g x f ,则)})1((),)1((m ax {))1((212121x x g x x f x x F λλλλλλ-+-+=-+1212112212max{()(1)(),()(1)()}max{(),()}(1)max{(),()}()(1)()f x f xg x g x f x g x f x g x F x F x λλλλλλλλ≤+-+-≤+-=+-因此)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数。
性质3 设函数)(x f ,)(x g 在区间),(b a 为递增的非负凸函数,则)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。
分析:利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。
证明:I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数,从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+从而121222*********211221122((1))((1))()()(1)[()()()()](1)()()()()(1)()()()()(1)()()f x xg x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλλλλλ+-+-≤+-++-≤+-≤+-可得,)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。
推论2 )(x f 为区间I 上的凸函数,k 为非负实数,则)(x kf 也为区间I 上的凸函数。
性质4 设函数)(x f 在),(b a 区间为非负凸函数,则)(x f n 在区间),(b a 上也为凸函数。