南师附中物理竞赛讲义--10.6光学例题t

10.6费马原理 光学例题

费马原理：

光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为极小值。

i i i

x

t t v ==∑∑

i i

c n v =

可得:i i

n x t c

=∑

我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用l 表示,l nx =,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径.

例1、如图所示，湖中有一小岛A ，A 与直湖岸的距离

为d ，湖岸边的一点B ，B 沿湖岸方向与A 点的距离为l ，一人自A 点出发,要到达B 点。已知他在水中游泳的速度为v 1，在岸上走的速度为v 2，且v 1

【解析】根据费马原理,若要人由A 到B 的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径. 这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n 1、n 2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:

1221

sin sin90v n C

v n ==o

1

2

sin v i v =

这时的C 实际上为光线发生全反射的临界角. 所以,我们不难得到:

当tan l d C >时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C 的角度游向岸边再在岸上走至B 点.

当tan l d C ≤时,人由A 直接游到B 点.

【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.

例1. 一曲率半径R=60cm 的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水，水的折射率为4

3

n =

，假如装满水后水的的深度比半径R 小得多，试问平行光束成像于何处? 【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F ′,它离开镜面顶点的距离为30cm,若装有水,当α、β为小角度,由图可知:

l

图16- 1

2tan sin a a f R αα==

= tan sin a

f

ββ==

,由折射定律: sin sin 2R

n f

βα=

= 22.52R

f cm n

=

= 法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:

11

1

0'n s s -= 再经球面反射成像:

22112's s R

+=- 由于是水很浅,所以:

21's s =

令1s →∞可得:2'2

R s =- 再经平面折射:

3310'n

s s -= 32's s =

3''22.52R

f s cm n

==-

=- d

(b)

(a)

26．如图所示，在焦距f=0.15m 的凸透镜L 主轴上有一小光源S ，凸透镜L 另一侧有两个反

射面相向放置的平面镜OM 1和OM 2．平面镜OM 1和OM 2彼此垂直，且与透镜L 主轴成450

，两平面镜的交线与透镜主轴垂直．已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m ，透镜到两平面镜的交线距离O 1O=O.3m ，试求：

(1)小光源S 在透镜主轴上共成多少个像? (2)小光源S 在透镜主轴外共成多少个像? 分别指出像的虚实、位置及放大率．

由折射率为n=1.5的玻璃制成的对称的双凸透镜，在空气中焦距为30cm

（1）把它放在平面镜上形成一个折、反射系统，该系统的焦距为多少？

（2）在透镜和平面镜之间注满水，水的折射率为4/3，这个系统的折射率为多少？

【解析】(1)由于平面镜成像的对称性,从S 发出的光线经透镜折射,再经平面镜反射,相当于从镜中对称的像点S ′发出,经镜中透镜像折折射出的,最后再经透镜的折射成像.因此,它相当于两个相同的透镜组成的密接透镜组,如图所示.该透镜组的焦距为:

'152

f

f cm =

= (2)当在平面镜与透镜间加水后,相当于原透镜跟一个水透镜(平凹)密接,再经平面镜反射就相当于两个双凸透镜与一个双凹水透镜的密接.

在空气中的透镜焦距可按下式求得:

12

1

11(1)()

f n r r =--

双凸透镜及水透镜的折射面曲率半径相同,但凸透镜和凹透镜半径的符号相反.设玻璃双凸透镜焦距为f 1,水双凹透镜的焦距为f 2 (均对周围介质为空气来说).则:

12

211

1

f n f

n -=-- 式中n 1、n 2分别为玻璃和水的折射率. 密接透镜组等效焦距为f,则有:

1211111f f f f =++ 21111

(2)1

n f n -=

-- 将n 1=1.5,n 2=

4

3

,f 1=30cm 代入得: f=22.5cm

【答案】15cm ,22.5cm.

【总结】此题要用到透镜的焦距公式,密接透镜的有关知识.此题非常困难,困难的原因就在于学生对这一块内容不熟悉,平时在这方面的练习不够.

好象有点问题:中间的凹透镜的两个折射面的曲率均应为r 2?,答案题目把一个面的曲率看成是一个是r 1,另一个面的曲率看成是r 2,好象是值得研究了.研究的思路是:用四次平面折射来看看.

例10、如图5所示，两个薄凸透镜12L L 、与一个平面镜及物屏共轴放在光具座上，每个凸透镜的两表面的曲率半径均为R ，12L L 、的焦距分别为12f f 、，它们之间的距离用d 表示，且1L 更靠近物屏。物屏上开有一个箭形小孔，若左右移动物屏，同时改变d 的大小，发现在物屏上可以多次得到倒立的清晰像，且左右移动平面镜对像无影响。问在物屏上能有几次得到这样的像，定量分析得到这些像的条件（在透镜面有部分光线发生反射，不考虑2次以上的反射成像）。

物屏上可以得到4个像。

1、凸透镜L 1的后有面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L 1的距离为u 1.

11/1/1/1f R u =-

得 )/(111f R Rf u +=