函数的值域与最值

函数的值域与最值

●知识点归纳

一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的

值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。记作

()max 0y f x =

最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。记作

()min 0y f x =

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；

② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。 二、基本函数的值域

一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；

当]44(0);44[02

2a

b a

c ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 反比例函数)0(≠=k x

k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；

数函数)10(≠>=a a a y x

且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；

正、余切函数 2

k x ,tan π

π+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

三、求函数值域和最值常用的方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；

(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；

(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域

（1）观察法(用非负数的性质，如：2

0x ≥；0x ≥0(0)x ≥≥等)

例如：求下列函数的值域：y=-3x 2

+2;{y|y ≥2} 变式：y=5+21+x (x ≥-1)的值域是{y|y ≥5}

（2）利用基本函数求值域法：

例如 ：下列函数中值域是（0，+ ∞）的是 （ ）

A ．12

y x = B. 11()5

x y -= C. y = D. 1

(0)y x x x

=+

> 解析：通过基本函数的值域可知：A 的值域为[0, + ∞）,C 的值域为[0,1],D 的值域为 [2, + ∞). 答案：B

（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2

n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值； 例如：求值域：y=2

1x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈--

解析：通过配方可得 2

13()2

4y x =++

；开口向上，所以当12x =时，函数取最小值3

4

y =； 当x []3,1-∈时，在12x =时，函数的最小值为3

4

y =；最大值在x=3时取到，f （3）=13；

故其值域为[3

4

,13];

同学练习：(1,5]x ∈；[5,1]x ∈--

变式1：y ＝－x 2

＋4x －1 x ∈[-1,3)；（答：【-6，3】）

变式2：求函数y=

3

425

2

+-x x 的值域.（答：（0,5]） 变式3：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2

-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取

值范围是___（答：2

1

-≥a ）；

（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；

例如：求函数x x y -+=142的值域. (]4,∞-

解析：令t = （t ≤0），则21x t =-，故22

2(1)4,y 2t 4t 2y t t =-+=-++经整理得；

用配方法求的y 的值域为(]4,∞-。

变式1：求函数y=3x-x 21-的值域.（答 {y|y ≤2

3

}）

变式2：21y x =++

的值域为_____

（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；

变式3：4y x =++____（答：4]）；

变式4：函数21x x y --=的值域为____（答：【1】）(提示：三角代换) 变式5：2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17

[4,

]8

-）； 变式6：求函数)42(5log log 24

124

1≤≤+-=x x x y 的值域（答：[

25

4,8]）(提示：令t=14

log x ，1

t [1,]2

∈--)。

（5）分离常数法：（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d

cx b

ax y ∈++=

例如：求下列函数的值域：y=

1

2

++x x ({y|y 1≠}) 变式：函数y =2

2

11x

x +-的值域是（ ） A.［－1，1］

B.（－1，1］

C.［－1，1）

D.（－1，1）

解法一：y =2211x x +-=212x +－1. ∵1+x 2

≥1，∴0＜212x +≤2.∴－1＜y ≤1.

解法二：由y =2211x x +-，得x 2=y y +-11.∵x 2

≥0，∴y y +-11≥0，解得－1＜y ≤1.

解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π

），则y =θ

θ22tan 1tan 1+-=cos2θ

.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B

练习： 求函数1

22+=

x x y 的值域（答：1>y>0）

（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值. 例5 求函数y =4

32

+x x 的最值．[-43

,43]

变式：2222

1

x x y x x -+=++；[1,5]

（8）基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k x

k

x y ，利用基本不等式公式来求值域； 设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值范围是____________.

（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

练习：求函数4

142

2++

+=x x y 的最小值（答：y ≥2.5）

（9）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域

如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；

如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；

求1(19)y x x x =-

<<的值域为______（答：80

(0,)9

）

； 练习：函数f (x )=x x x

1log 823-

+-的值域【2,3??+∞????

】 函数4

1

2

)

2

1(-

-=x x

y

的值域【(

】

（10）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 已知点(,)P x y 在圆2

2

1x y +=上，求

2

y

x +及2y x -

的取值范围（答：[

、[）；

练习：求函数

.

（答：y ≥）

提示：此题可以看做（x ，0）到（-1，-2）和（1，-3）两点的距离和。

（11）导数法：求函数32

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

●典例剖析

题型一：函数值域问题 例1．求下列函数的值域：

（1）y =

；（2）31

2

x y x +=

-；

（3）y x =+（4）y x =+（5）|1||4|y x x =-++；

（6）22221x x y x x -+=++；（7）2211()212x x y x x -+=>-；

（8）1sin 2cos x y x

-=-。

解： （1）求复合函数的值域：设2

65x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =

又∵22

65(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，

∴y =

的值域为[0,2]。

（2）（法一）反解法：由31

2x y x +=-得213+=-y x y ，由此得3y ≠∴原函数312

x y x +=-的值域

为{|3}y R y ∈≠。 （法二）分离变量法：313(2)77

3222

x x y x x x +-+===+

---， ∵

702x ≠-，∴7

332

x +≠-，∴函数31

2

x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。

（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则2

1x t =-，

∴原函数可化为2

2

14(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞。

注：总结y ax b =++

变形：2

y ax b =+2

y ax b =+（4）三角换元法：∵2

1011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，

则cos sin )4

y π

ααα=+=

+

∵[0,]απ∈，∴5[,]444

π

ππ

α+

∈，∴sin()[42πα+∈-

，

)[4

π

α+

∈-

，∴原函数的值域为[-。

（5）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-??

=-++=-<

，∴5y ≥，∴函数值域为

[5,)+∞。

（6）判别式法：∵2

10x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R 。

由22221

x x y x x -+=++得：2

(2)(1)20y x y x y -+++-= ①

①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈

②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2

(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△2

2

(1)4(2)0y y =+-?-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]。

（7）2

121(21)1111

2

121212122

2

x x x x y x x x x x x -+-+=

==+=-++----，

∵12x >

，∴102

x ->

，∴112

122

x x -+

≥-

当且仅当11

2

1

22

x x -

=

-

时，即x =

∴12y ≥

，∴原函数的值域为1

,)2

+∞。

（8）方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，

)12x y ?-=-

（其中cos ??=

=

），

∴sin()[1,1]x ?-=

-

，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴4

03

y ≤≤

， ∴原函数的值域为4[0,]3

。

例2 （分段函数法及图像法）求函数y=|x+1|+|x-2|的值域

解：将函数化为分段函数形式：

??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，

画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}

例3设函数2221

()log log (1)log ()1

x f x x p x x +=+-+--，

（1）求函数的定义域；

（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由

解：（1）由101100x x x p x +?>?-??->?

->??

，解得1

x x p >??

当1p ≤时，①不等式解集为?；

当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<，∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >

（2）原函数即2

2221(1)()log [(1)()]log [()]24

p p f x x p x x -+=+-=--+，

当

1

12

p -≤，即13p <≤时，函数()f x 有最大值为2log 2(1)p -，但无最小值； 当112

p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值

题型二：最值问题

例1．（2002全国理，21）设a 为实数，函数2

()1f x x x a =+-+，x ∈R ． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值．

解：（1）当0a =时，函数2

()()1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；

当0a ≠时，2

()1f a a =+，2()21f a a a -=++，()()f a f a -≠， ()()f a f a -≠-．

此时函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

（２）①当x a ≤时，函数2

2

13()1()2

4

f x x x a x a =-++=-++

．

若1

2

a ≤

，则函数()f x 在(]a -∞,上单调递减，从而，函数()f x 在(]a -∞,上的最小值为2

()1f a a =+；若12a >，则函数()f x 在(]a -∞，上的最小值为13()24

f a =+，且

1

()()2

f f a ≤； ②当x a ≥时，函数2213

()1()24

f x x x a x a =+-+=+-+；

若12a -≤，则函数()f x 在[)a +∞，

上的最小值为13()24f a -=-，且1

()()2f f a -≤． 若1

2

a >-，则函数()f x 在[)a +，

∞上单调递增，从而，函数()f x 在[)a +，∞上的最小值为2

()1f a a =+． 综上，当12a -≤时，函数()f x 的最小值是3

4

a -， 当11

22a -

<≤时，函数()f x 的最小值是21a +， 当12a >时，函数()f x 的最小值是3

4

a +．

例2：已知函数f (x )=x

a x x ++22,x ∈［1,+∞)，

(1)当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

解：(1) 当a =

21时，f (x )=x +x

21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=2

7

(2)解法一 在区间［1，+∞)上，

f (x )=x a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立

设y =x 2

+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，

∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3 题型三：函数的综合题

例1.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足： (1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =

(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；

(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*

12(3),n n S a n N =--∈.

求证：1231

12332()()()()2n n f a f a f a f a n -?++++≤+- .

解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤

由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （2分） （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥

22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥

max ()(1)3f x f ∴== （6分）

(III)*

12(3)()n n S a n N =--∈ 1

112(3)(2)n n S a n --∴=--≥

1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= (8分)

1

11112113333333()(

)()()()23()4n n n n n n n n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+

1

11143333()()n

n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

14144

1

44441

1213333333()()()()2n n n f a f a f a f a --∴≤+≤++≤≤

+++++=+ 故1

13

()2n n f a -≤+ 1213

13

1()1()()()2n n

f a f a f a n --∴+++

≤+ 即原式成立。 （14分）

例2．（2006湖南 理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：）物体质量（含污物）

污物质量

-

1为8.0，要求清洗完后的清洁度为99.0。有

两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(≤≤a a 。设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是

1

8

.0++x x )1(->a x ，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

a y ac y ++，其中c )99.08.0(<

(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

(Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z 。

由题设有

0.8

1

x x ++=0.99，解得x =19。 由0.95c =得方案乙初次用水量为3,

第二次用水量y 满足方程: 0.950.99,y a

y a

+=+解得y =4a ,故z =4a +3.即两种方案的用水量

分别为19与4a +3。

因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少。 （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得

54

5(1)

c x c -=

-，(99100)y a c =-（*）

于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1

100(1)15(1)a c a c =+----

当a 为定值时

,11x y a a +≥-=-+,

当且仅当

1

100(1)5(1)

a c c =--时等号成立。

此时1)1(0.8,0.99),c c =+

=不合题意,舍去或

将1c =*

）式得11,.x a y a =>-=

故1c =,

此时第一次与第二次用水量分别为1a 与，

最少总用水量是()1T a a =-+。

当'

13,()10a T a ≤≤=

>时, 故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。

题型四：课标创新题

例1．（1）设d cx bx ax x x f ++++=2

3

4

)(，其中a 、b 、c 、d 是常数。 如果,30)3(,20)2(,10)1(===f f f 求的值)6()10(-+f f ；

（2）若不等式)1(122

->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：（1）构造函数,10)()(x x f x g -=则,0)3()2()1(===g g g

故：

（2）原不等式可化为.0)12()1(2

<---x m x

构造函数)22)(12()1()(2

≤≤----=m x m x m f ，其图象是一条线段。

. 8104 60 ) 6 )( 3 6 )( 2 6 )( 1 6 ( 100 )

10 )( 3 10 )( 2 10 )( 1 10 ( ) 6 ( ) 10 ( = - - - - - - - - - + + - - - - = - + n n f f

根据题意，只须：

?????<---=<----=-,0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22

x x f x x f 即?????<-->-+.0122,032222x x x x

解得

23

1271+<<+-x 。 例2．（2004年广东，19）设函数f （x ）=|1－

x

1

|（x ＞0）， 证明：当0＜a ＜b ，且f （a ）=f （b ）时，ab ＞1.

剖析一：f （a ）=f （b ）?|1－a 1|=|1－b 1|?（1－a

1）2=（1－b 1）2

?2ab =a +b ≥2ab ?ab

＞1.

证明：略.

剖析二：f （x ）=???????+∞∈-∈-).,1(11],1,0(11

x x

x x

证明：f （x ）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a ＜b 且f （a ）= f

（b ），得0＜a ＜1＜b 且a 1－1=1－b 1，即a 1+b

1

=2?a +b =2ab ≥2ab ?ab ＞1.