第三章变额年金选编

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n
i m (m)
n
n
(I a) i (Ia)
n
n
39
• 例:一个现金流在第1年连续支付30元,第2年连续 支付40元,第3年连续支付50元,直到第10年连续支 付120元,假设年实际利率为5%,求这项年金的现值。
• 含义:连续支付,但支付金额离散变化。 – 连续支付的递增年金 – 连续支付的递减年金
• 假设在第一年连续支付1元,第二年连续支付2元,…, 第n 年连续支付 n 元,如下图所示:
38
• 连续支付的递增年金的现值:
(I a) = lim(Ia)(m) lim i (Ia) = i (Ia)
n m
n|
n|
na
=
n|
d
(Ds) n|
= (1 i)n (Da) n|
n(1 i)n s

n|
d
14
• 例:一项年金在第一年末付款1元,以后每年增加1元,直
至第 n 年。从第 n + 1年开始,每年递减1元,直至最后一
年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为
a a n| n|
1
2
n
n-1
1
1.04
1.04 j / (1 j)
22

• 年金的年增长率 r 与年实际利率 i 相等,即 j = 0. 请 计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少?
• 解: 期初付 = n 期末付 = n/(1+i)
PV初 1 (1 r)v (1 r)2v2 (1 r)n1vn1
2|
i(4)
2
34
例:写出下述年金的现值计算公式(年利率i=10%):
0
1
2
100 200
300 400 500 600
700 800
a 8(1 j)8
100 (I a) 100 8 j
3148.8
8j
j
(1 j)4 110%
35
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) a(m) n (n 1)v (n 2)v2 vn1
• 解:年金的现金流如下:
21
a
a
• 现值: 1000 n j 1000 10 j
1 i
1.04

其中
j i r 0.04 0.05 0.009524 1 r 1 0.05
• 现值:
a 1000 10 j 1000
1
1(1 j)10 10042.29
变额年金
主要内容
• 递增年金(离散支付,离散递增) • 递减年金(离散支付,离散递减) • 复递增年金:按几何级数递增的年金 • 每年支付 m 次的递增年金(递减年金,略) • 连续支付的变额年金:连续支付,离散递增(或递减) • 连续支付、连续递增(或递减)的年金 • 一般形式的连续支付、连续变额现金流
1 1
j

a nj
其中
(1 r)v

1 1
j

(1 r)(1


j

i 1
r r
j)

(1 i)
19
• 期末付复递增年金的现值:
PV末

PV初 1+i
a nj
1 i
ir 其中 j
1 r
20
• 例:某10年期的年金在第一年末付1000元,此后的给 付金额按5%递增,假设年实际利率为4%,请计算这 项年金在时刻零的现值。
23
Exercise
• A perpetuity-immediate pays 100 per year. • Immediately after the fifth payment, the perpetuity is
exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. • Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. • The annual effective rate of interest is 8%. • Calculate Y.
• 递增年金的现值:
a nvn
(Ia) n
n
i
4
• 例:证明下列关系式成立:
a (n 1)vn
(1)
(Ia) n1 | n|
i
(2)
a nvn
(Ia) a n|
n|
n|
i
a nvn
已知: (Ia) n|
n|
i
5
例:写出下述年金的现值公式
P P+Q P+2Q

i i(m)
(Ia) n
关系:
(Ia)(m) n

i i(m)
(Ia) n
(Is)(m) n
(Ia)(m) n
(Is)(m) n 31
• 每年支付 m 次的递增年金(mthly increasing mthly annuity):同一年的每次付款递增
两种方法计算现值: (1)看做nm次付款的递增年金,应用递增年金的公式。 (2)建立新公式(略)
(I a) vn (Da)
n|
n1|
15
(I a)n| vn (Da)n1|
a nvn (n 1) a
n|
+vn
n1|
i
i
1 (a 1 nvn nvn vn vna )
i n1|
n1|
1(a vna 1 vn)
i n1|
n1|
n
1
1 v
1 v
(Da) (1 i) (Da)
i(m)
i n
(m)
n
(Da)(m) i (Da)
n
i(m)
n
36
关系:
(Da)(m) n

i i(m)
(Da) n
(Ds)(m) n
(Da)(m) n
(Ds)(m) n 37
5、连续支付的变额年金
(continuously payable varying annuity)
时期
0 1 2 3 … n –1 n
递减年 金
等 额 年 金
n n –1 n –2 … 2
1 1 1…1 1 1 1…1 1 1 1… ……… 111 11
1 1
12
• 递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和,
即:
(Da) a a a
n
n
n1
1
1 vn 1 vn1
1 v
现值
a nvn
(Ia) (1 i)(Ia) n
n
n
d
累积值
(I s) = (1 + i)(Is)
nwk.baidu.com
n
s n n
d
7
递增永续年金(increasing perpetuity)
• 当 n 时,还可以得到递增永续年金的现值为
a nvn
(Ia) |

lim(Ia)
n
n|
lim n
n|
i
1 di
a nvn
(Ia) lim(Ia) lim n |
| n
n | n
d

1 d2
lim nvn lim n 0
• 在计算上述极限时,n
n (1 i)n
8
• 例:年金在第一年末的付款为1000元,以后每年 增加100元,总的付款次数为10次。如果年实际利 率为5%,这项年金的现值应该是多少?
• 解:年金分解如下:
1000
1100
1800
1900
900
900
100
200
900
900
900
1000
900a 100(I a) = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 (元)
10|
10|
9
2、递减年金(decreasing annuity)
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate):第一期末 支付 n 元,第二期末支付 n – 1元,…,第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
• 如果每年支付m次,付款又是递增的,将会出现下 述两种情况:
– 同一年的每次付款相同(每年递增一次): increasing mthly annuity
– 同一年的每次付款也是递增的(每次付款递增一 次):mthly increasing mthly annuity (略)
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity): 同一年的每次付款相同
24
第一次替换时,永续年金的现值为100/0.08=1250
100
100
100
100
第一次替换后的递增年金:25次付款
100
100
X
1.08X
1.082X
1.083X
1.0824X
由于利率i =0.08,与年金增长率相等,故上述递增年金 的现值为:
PV = X ·n/(1 + i) = 25X/1.08
2
1、递增年金(increasing annuity)
• 期末付递增年金(increasing annuity-immediate): 第一期末支付1元,第二期末支2元,…,第n期末支 付n元。按算术级数递增。
• 用 (Ia)n| 表示其现值: (Ia)n| v 2v2 3v3 nvn
PV初 1 (1 r)v (1 r)2v2 (1 r)n1vn1
18
PV初 1 (1 r)v (1 r)2v2 (1 r)n1vn1


(1 r)v 1 1 j
, 则:
2
n1
PV初
1
1 1
j

1

1

j




= 54(1.08)9·15
注:v = 1.08-1
由此可得:Y = 129.5
26
回顾与展望(算数级数递增或递减)
a nvn
(Ia) n
n
i
na
(Da)
n
n
i
1年 支付1次
1年 支付m次
连续支付, 离散变化
连续支付, 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)
• 上式两边乘以(1 + i):
(1 i)(Ia) 1 2v 3v2 nvn1 n|
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
3
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|

a nvn n|
32
应用递增年金公式计算现值:
I (m)a (m) 1 Ia , (1 j)m 1 i
n
m2
nm j
33
例:写出下述年金的现值计算公式(年利率i=10%):
0
1
2
100 100
100 100 200 200
200 200
400 (I a)(4) 400 i (I a)
0123
……
P+(n-2)Q
……
n-1
P+(n-1)Q
n
设A表示此年金的现值,则
A P a Q v (Ia)
n
n1
6
• 根据现值求得其累积值为
a nvn
(Ia) n|
n|
i
(Is)
(1 i)n (Ia)
(1 i)n
a n
nvn
n
n
i
s n n
i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
1250 = 25X/1.08
X = 54
25
第二次替换为永续年金,每年末支付Y,价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
1.089X
原年金已支付10次
1.0810X
Y
……
1.0824X
价值方程 ( X = 54 ) 为:
Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15)



i
i
i
n (vn vn1 v) =
i
na
(Da) n
n
i
13
na
(Da)
n|
n|
i
• 递减年金的其他公式:
n a n(1 i)n s
(Ds) (1 i)n (Da) (1 i)n n|
n|
n|
n|
i
i
(Da) = (1 + i)(Da)
1 (1 vn )(a 1)
i
n1|
a a n| n| 16
3、复递增年金
• 含义:付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuity-
immediate) :在第1年初支付1元,此后每年的支付金额按 的复利 r 增长,直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注:r < 0 ,递 减。
现值: (Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
1 v (Ia) 1 v (1 i) (Ia)
i(m)
i n
(m)
n
(Ia)(m) n
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