专题复习与圆的切线有关的证明与计算剖析
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线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
有交点，连半径，证垂直
1.如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙ O与PA相切 于点C. （1）求证：直线 PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙ O交于点E，若⊙O的半径为 3， PC=4. 求弦 CE 的长．
解：(1)如图，连结BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt △ABC中， ∵CD平分∠ACB，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
︵︵ ∴AD＝BD，∴ AD＝BD.
∴Rt △ABD 为等腰直角三角形， AD＝BD＝5 2cm.
求证：AC是⊙ O的切线。
证明：过O作OE⊥AC于E
∵ AO平分∠BAC
OD⊥AB
∴ OE＝OD
E
∵ OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线
【教材原型 】
已知：如图， A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙ O 于点C，点B在圆上，且 AB＝BC，∠A＝30°， 求证：直线 AB是⊙O的切线．
证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC， ∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)
证明：（ 1）如图 1，连接 OE ， ∵OA=OE ， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠ FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上， OE是半径， ∴GF是⊙O的切线．
（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线.
（2）解:过C作CF⊥PE于点 F.
在Rt△OCP中，OP= OP 2 ? CP 2 ? 5
∵
S? OCP
?
1 OC 2
?CP
?
1 OP 2
?CF
∴ CF ? 12 在Rt△COF中， OF ? CO2 ? CF 2 ? 9
看看你能得几分？
（1）证明：连接OE……………1分 ∵AE平分∠FAC ∴∠CAE=∠OAE 又∵OA=OE， ∴ ∠OEA=∠OAE …………..…2分 ∴ ∠CAE=∠OEA ∴OE∥AC…………………....…3分 ∴∠OEF =∠ACF 又∵AC⊥EF ∴∠OEF =∠ACF=90° ∴OE⊥CF …………………...…4分 又∵点E在⊙O上 ∴CF 是⊙O的切线…………..…5分
（2）∵四边形 ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10 ，∠ABE=90 °， 设OA=OE=x ，则OB=10﹣x， 在Rt △OBE中，∠ OBE=90 °， BE=5， 由勾股定理得： OB2+BE2=OE2， ∴（10﹣x） 2+52=x2，
∴பைடு நூலகம்
∴⊙O的直径为 ．
【中考预测 】
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6cm，D，E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
5
5
∴ FE ? 3 ? 9 ? 24 55
在Rt△CFE中，CE ? CF 2 ? EF 2 ? 12 5 5
【教材原型】
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
【解析】 连结OC，因为PC为⊙O的切 线，所以∠PCO＝90°， 在Rt △OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB ＝2－1＝1.
【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； (2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。
一题多解
练习：如图， AB是⊙O 的直径，⊙ O交BC的中点于D， DE⊥AC. 求证：DE与⊙O相切.
变式训练 规范书写
(昆明）如图，已知 AB是⊙O的直径，过点 E的直线EF 与AB的延长线交于点 F，AC⊥EF，垂足为 C，AE平分 ∠FAC。 求证：CF是⊙O的切线。（ 5分）
变式训练
变式 （广州） 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC， DE⊥BD ，DE设⊥⊙BOD是，△设B⊙DOE的是外△接BD圆E。的外接圆 求证：AC是⊙O的切线。
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 ? BAC角平分线上一点，
OD ? AB 于 D ，以 O 为圆心，OD 为半径作圆。
专题复习 与圆的切线有关的证明与计算
仁德一中
保德礼
切线的性质
定理：圆的切线 ___垂__直___ 于经过切点的半径． 技巧：圆心与切点 的连线是常用的辅助线．
切线的判定
定理：经过半径的外端并且_垂__直_____于这条半径的直线是圆
的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直
＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“连半径，证 垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形 】
1．如图，点 C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证： CD是⊙O的切线； (2)若半径 OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
2.（2015?昆明）如图， AH是⊙O的直径， AE平分 ∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为 F， B为直径 OH上一点，点 E、F分别在矩形 ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线 FG是⊙O的切线； （2）若 CD=10 ， EB=5 ，求⊙ O的直径．
(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
有交点，连半径，证垂直
1.如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙ O与PA相切 于点C. （1）求证：直线 PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙ O交于点E，若⊙O的半径为 3， PC=4. 求弦 CE 的长．
解：(1)如图，连结BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt △ABC中， ∵CD平分∠ACB，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
︵︵ ∴AD＝BD，∴ AD＝BD.
∴Rt △ABD 为等腰直角三角形， AD＝BD＝5 2cm.
求证：AC是⊙ O的切线。
证明：过O作OE⊥AC于E
∵ AO平分∠BAC
OD⊥AB
∴ OE＝OD
E
∵ OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线
【教材原型 】
已知：如图， A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙ O 于点C，点B在圆上，且 AB＝BC，∠A＝30°， 求证：直线 AB是⊙O的切线．
证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC， ∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)
证明：（ 1）如图 1，连接 OE ， ∵OA=OE ， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠ FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上， OE是半径， ∴GF是⊙O的切线．
（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线.
（2）解:过C作CF⊥PE于点 F.
在Rt△OCP中，OP= OP 2 ? CP 2 ? 5
∵
S? OCP
?
1 OC 2
?CP
?
1 OP 2
?CF
∴ CF ? 12 在Rt△COF中， OF ? CO2 ? CF 2 ? 9
看看你能得几分？
（1）证明：连接OE……………1分 ∵AE平分∠FAC ∴∠CAE=∠OAE 又∵OA=OE， ∴ ∠OEA=∠OAE …………..…2分 ∴ ∠CAE=∠OEA ∴OE∥AC…………………....…3分 ∴∠OEF =∠ACF 又∵AC⊥EF ∴∠OEF =∠ACF=90° ∴OE⊥CF …………………...…4分 又∵点E在⊙O上 ∴CF 是⊙O的切线…………..…5分
（2）∵四边形 ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10 ，∠ABE=90 °， 设OA=OE=x ，则OB=10﹣x， 在Rt △OBE中，∠ OBE=90 °， BE=5， 由勾股定理得： OB2+BE2=OE2， ∴（10﹣x） 2+52=x2，
∴பைடு நூலகம்
∴⊙O的直径为 ．
【中考预测 】
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6cm，D，E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
5
5
∴ FE ? 3 ? 9 ? 24 55
在Rt△CFE中，CE ? CF 2 ? EF 2 ? 12 5 5
【教材原型】
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
【解析】 连结OC，因为PC为⊙O的切 线，所以∠PCO＝90°， 在Rt △OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB ＝2－1＝1.
【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； (2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。
一题多解
练习：如图， AB是⊙O 的直径，⊙ O交BC的中点于D， DE⊥AC. 求证：DE与⊙O相切.
变式训练 规范书写
(昆明）如图，已知 AB是⊙O的直径，过点 E的直线EF 与AB的延长线交于点 F，AC⊥EF，垂足为 C，AE平分 ∠FAC。 求证：CF是⊙O的切线。（ 5分）
变式训练
变式 （广州） 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC， DE⊥BD ，DE设⊥⊙BOD是，△设B⊙DOE的是外△接BD圆E。的外接圆 求证：AC是⊙O的切线。
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 ? BAC角平分线上一点，
OD ? AB 于 D ，以 O 为圆心，OD 为半径作圆。
专题复习 与圆的切线有关的证明与计算
仁德一中
保德礼
切线的性质
定理：圆的切线 ___垂__直___ 于经过切点的半径． 技巧：圆心与切点 的连线是常用的辅助线．
切线的判定
定理：经过半径的外端并且_垂__直_____于这条半径的直线是圆
的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直
＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“连半径，证 垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形 】
1．如图，点 C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证： CD是⊙O的切线； (2)若半径 OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
2.（2015?昆明）如图， AH是⊙O的直径， AE平分 ∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为 F， B为直径 OH上一点，点 E、F分别在矩形 ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线 FG是⊙O的切线； （2）若 CD=10 ， EB=5 ，求⊙ O的直径．