高考数学总复习 第十单元第六节双曲线

高考数学总复习 第十单元第六节双曲线

一、选择题

1．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 25

2＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2

122＝1 【解析】 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝513

，a ＝13，

∴c ＝5，焦点(±5,0)，由双曲线定义，C 2为双曲线，且a ＝4，c ＝5，b 2＝9，故选A.

【答案】 A

2．下列曲线中离心率为62

的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22

＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 2

10＝1 【解析】 依据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a

判断，故选B. 【答案】 B

3．实轴长为45且过点A (2，－5)的双曲线的标准方程是( )

A.x 220－y 216＝1

B.y 220－x 216＝1

C.x 216－y 220＝1

D.y 216－x 2

20＝1 【解析】 依题意，a ＝25，排除C 、D ，由点A 在曲线上，排除A ，选B.

【答案】 B

4．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2

a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )

A ．(2，2)

B ．(2，5)

C ．(2,5)

D ．(2，5)

【解析】 依题意，c 2＝a 2＋(a ＋1)2，

∴e ＝2a 2＋2a ＋1a ＝2＋2a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋12＋1， ∵a >1，∴0<1a

<1，∴2

5．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2

→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )

A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29

＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 2

3

＝1 【解析】 令|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，

∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ mn ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝40，

|m －n |＝2a ，

∴4a 2＝m 2＋n 2－2mn ＝36. ∴a 2＝9，b 2＝1，∴方程为x 29－y 2＝1. 【答案】 A 6．(精选考题·浙江高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )

A ．3x ±4y ＝0

B ．3x ±5y ＝0

C ．4x ±3y ＝0

D ．5x ±4y ＝0 【解析】 设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，且|F 2M |＝2a .在Rt △F 1F 2M

中，|F 1M |＝2c 2－2a 2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线定义有4b －2c ＝2a ，即2b －a

＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，即4x ±3y ＝0.

【答案】 C

7．过点(2,0)的直线与双曲线x 24－y 2

12

＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )

A ．k ≤－1或k ≥1 B．k <－3或k > 3

C ．－3≤k ≤ 3

D ．－1

【解析】

点(2,0)为双曲线的右顶点，双曲线渐近线为y ＝±3x .如图所示，结合图形得，k >3或k <－3，直线AB 与双曲线右支有两交点．

【答案】 B

二、填空题

8．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145

，则此双曲线方程是________．

【解析】 由椭圆x 29＋y 225＝1得焦点(0，±4)，e ＝45

， ∴双曲线离心率e ＝145－45

＝2， ∴4a ＝2，∴a ＝2，b 2＝12，∴方程为y 24－x 2

12

＝1. 【答案】 y 2

4－x 2

12＝1 9．已知双曲线x 29－y 2

16

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，若|PF 1→＋PF 2→|＝10，则PF 1→·PF 2→＝______.

【解析】 ∵PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴|PO →|＝5.又c ＝5，

∴|OF 1→|＝|OF 2→|＝|OP →|，∴PF 1→⊥PF 2→，

∴PF 1→·PF 2→＝0.

【答案】 0

10．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F

，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．

【解析】 ∵x 29－y 216＝1，∴A (3,0)，F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43

x . 设l ：y ＝43(x －5)，与x 29－y 216＝1联立得x B ＝175

， ∴y B ＝－3215

， ∴S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12×(c －a )×3215＝12×2×3215＝3215

. 【答案】 3215

三、解答题

11.

如图所示，双曲线的中点在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线

的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3

，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程． 【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)， 并令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .

则⎩⎪⎨⎪⎧ 12mm ·si n π3＝23，4c 2＝m 2＋n 2

－2mn ·co s π3，c a ＝2，

|m －n |＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ mn ＝8，4c 2＝4a 2＋mn ，c ＝2a . ∴a 2＝23，c 2＝83，b 2＝2.∴双曲线方程为x 223

－y 2

2

＝1. 12．已知双曲线的渐近线方程y ＝±43

x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程． 【解析】 方法一：当焦点在x 轴上时， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)．