第十二章微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程

§ 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．

(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；

(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).

2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).

3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．

(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；

(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).

4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．

(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=；

(D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).

5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．

(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；

(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).

二、填空题

1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程

3d d 0,4x x y y y x

=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2

3550x x y '+-=的通解是

． 答：32

52

x x y C =++．

4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.

5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：

Cx

y e x

=．

三、解答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：

(3)

d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y

y x x

++= 解： 解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

(1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2

sin ln ,x y x y y y e π='==；

解： 解：

(3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y

x

+=． 解： 解：

3*．设连续函数20

()d ln 22x t f x f t ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅．

§ 一阶线性微分方程、全微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).

2

d (A)3(ln )d y y x y x x

+=； 5

2d 2(B)

(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x

=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).

2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．

(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；

(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).

3. 方程y y x y x ++=

'22是( )．

(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；

(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).

二、填空题

1．微分方程

d d x y

y e x

-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2

()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33

x xy C -=．

3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题

1．求下列微分方程的通解：

(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x

=； 解： 解：

(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=； 解： 解：

(5) 2d (6)

20d y

y x y x

-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：

(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=． 解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解．

(1) 0d 38,2d x y

y y x =+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+=

=． 解： 解：

3*．求伯努利方程2d 3d y

xy xy x

-=的通解． 解：