4.3三铰拱的压力线和合理拱轴
本章内容三铰拱的组成特点及其优缺点三铰拱的反力和内力
FR F F M e FR
2 N 2 S
(b) (a) M FR FN
e
FS tan FN
FS
图4-7
上式中e是由截面形心到合力FR作用线的垂直距离，α是合 力FR与该截面拱轴切线之间的夹角。对于拱内各截面来说，一 般是处于偏心受压状态，
10kN/m 40kN A B
FAV=70kN
50Βιβλιοθήκη FBV=50kN0
(c)
15 0 20 15 20
5
M图（kN·m）
7.10
(d)
4.00
0
4.90
17.9
7.00
FS图（kN）
4.90 4.00 10.0 17.9 78.0 58.1 76.0 60.0 60.6 77.0
91.9
78.0
60.6
一定时，M0C 为定值，推力FH与拱高f成反比。f愈小，拱愈平坦， 推力FH则愈大。若f = 0，则FH = ∞，此时三铰位于同一直线上，
拱成为瞬变体系。
y
a2 a1 (a) C b1
b2
(a ) A
a1
F1 K y x x
C
F2
B FH FBV
F1
F2 f
FH
A FAH FAV l1 l
B FBH
§4-1 概 述
1．拱的组成及受力性能
杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(推力)的结 构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无铰拱，分别如 图4-1(a)、(b)、(c)所示。前一种是静定拱，后两种是超静定拱。 本节仅讨论静定拱的内力计算。
3_4三铰拱
特征方程为： 2
方程的通解为：
y x A ch
H
x B sh
H
x
qc
其中待定常数A、B可由边界条件确定。
x 0 时, y 0
RB
如果拱受分布荷载，压力线呈 曲线，称为压力曲线；如果是集中 荷载，压力线呈多边形，称压力多 边形。
各截面合力R若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有 均匀分布的正应力，拱处于轴向受压状态，拱的经济效果将最好。
三、三铰拱的合理轴线
在固定荷载作用下，使拱各截面处于无弯矩状态的轴线称
Fr 0 :
q ds 2 N sin
d 0 2
q Rd N d 0
N qR
R
N q
因N为常数，q也为常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线。设填土 的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。 [解] 拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例坐标系中须改为：
2、内力计算 以截面D为例 Q 取截面D左侧内为隔离体，并设截面弯矩以 P
o
1
x-a1
M
使拱内侧纤维受拉为正。
H
y
D H
MD 0 :
A
x
M VA x P 1 x a1 H y
M M Hy Q Q cos H sin
Ｑo
VA
P1
Q
拱结构的特点三铰拱的支座反力和内力计算三铰拱的合理拱轴线
FS右D FS0D右 cos FH sin 5×0.8946×(0.447) 1.79kN
FN右D FS0D右 sin H cos (5)×(0.447)6×0.894 7.6kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 7
1.5
2
12
0.71
0.4
M°
200
FS图 (kN) 9.19
dd22My ddxx22
0
Fg Hyqq(Fx0H)
y Ach g x Bsh
FH
g
x FH
q0
g
q0+γf
A l/2
q0
C f
l/2 y
x B
x 0, y 0 ;
A
q0
g
x 0 , dy 0 ; B 0 dx
y
q0
g
ch
g x 1
FH
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
10
11
ql 2 8
y A
q
C
f
x
B
y(x) f
M 0 (x)
M
0 C
4f l2
x(l x)
x l/2
l/2
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
ql/2
l
ql/2
9
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
ddy2x(y2x)F1MHF(00dqH(qdx2(M )xxg2) 0y)
轴力假定压为正
4、 M、 FS、FN图均不再为直线。 56、、集集中中力力作偶用作处用处FS M图图将将发发生生突突变5变。。
4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴
dx 2
FH
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用下拱的合理轴线的 微分方程
7
d2 y q(x)
dx 2
FH
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应
该取正号，即
d2 y q(x)
dx 2 FH
将q = qC+γ y代入上式，得
d2 y dx2
g
H
y
qC FH
这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为
yAc
4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴
4.3.1 压力线
1、压力线的意义
拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱
各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱
内压力经过的路线。
如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)
所有外力的合力FRD已经确定，则由 此合力便可分解为该截面形心上的三
个内力
M D FRD rD
(3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
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9
在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的 作用，而对应不同的荷载就有不同的合理轴线。通 常，是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。 这样，在一般荷载作用下，拱仍会产生不大的弯矩。
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10
FQ D FRD sin D
FN D FRD cos D
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合力FRD
D rD
MD
DD
FND FQD
rD为由截面形心到合力FRD的 垂直距离；aD为合力FRD与D 点拱轴切线之间的夹角。
均匀分布竖向荷载作用下三铰拱的合理拱轴线
均匀分布竖向荷载作用下三铰拱的合理拱轴线
均匀分布竖向荷载作用下三铰拱的合理拱轴线，指的是在三铰拱结构中，能够使得拱的弯矩和剪力均匀分布的拱轴线。
这种拱轴线能够使得拱的弯矩和剪力分布更加均匀,从而使得拱的抗压和抗弯性能得到提升。
在设计和施工过程中,需要经过多次的计算和校核,确保拱轴线的合理性。
拱轴线不合理可能导致结构不稳定,甚至倒塌,因此在施工和维护过程中要高度重视。
在三铰拱结构中,通常采用等截面拱轴线,即拱轴线上各截面的弯矩和剪力相等。
这样可以使得拱的弯矩和剪力分布均匀,提高拱的抗压和抗弯性能,并且易于施工和维护。
除此之外,还可以采用其他拱轴线,如等力线拱轴线,等弯矩线拱轴线等。
在选择拱轴线时,需要综合考虑结构的使用要求,施工难度,维护成本等因素。
总之,三铰拱结构中,均匀分布竖向荷载作用下的合理拱轴线是提高拱结构抗压和抗弯性能,确保结构稳定性和使用寿命的关键。
在三铰拱结构中,除了选择合理的拱轴线外，还需要考虑其他因素如材料的选择,结构的尺寸和几何形状,构造方式等,这些因素都会对结构的性能和稳定性产生影响。
例如,选用优质的建筑材料,如钢筋混凝土,可以提高结构的抗
压和抗弯性能。
而采用合理的结构尺寸和几何形状,可以使得结构更加稳定,并且更易于施工。
此外,在施工过程中,还需要注意施工工艺和质量控制,确保施工质量,保证结构的稳定性和使用寿命。
总之,三铰拱结构中,均匀分布竖向荷载作用下的合理拱轴线是关键,但还需要结合其他因素如材料的选择,结构的尺寸和几何形状,构造方式,施工工艺和质量控制等来确保结构的性能和稳定性。
三铰拱
拱是在竖向荷载作用下能产生水平反力的结构，如图。
水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩。
与简支梁相比拱的优点是：•弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）；•应力沿截面高度分布较均匀；三铰拱(three-hinged arch)的特点A V AH 一、反力计算对拱：∑M B =0V A =∑M BP /l ∑对梁：∑M B =0Y A =∑M BP /l∴V A =Y A （1同理V B =Y B （2三铰拱的内力计算xHy −ϕsin H ϕsin ϕcos H ϕcos 注：1.该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载；2.在拱的左半跨ϕ取正右半跨取负；3.仍有Q=dM/ds 即剪力等零处弯达极；4.M 、Q 、N 图均不再为直线。
5.集中力作用处Q 图将发生突变。
6.集中力偶作用处M 图将发生突变。
kN 6.7894.06)447.0()5(−=×−−×−−=kN 79.1)447.0(6894.05−=−×−×−=kN 81.5894.06)447.0()1(−=×−−×−−=kN 79.1)447.0(6894.01=−×−×−=cos ϕsin ϕcos ϕϕsin 5－M °图（kN.m ）2024D D5mkN .23=×894.0cos =ϕ447.0−tg 5.08128−=−=ϕ重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
8816)16()(x tg x x x y −=−=ϕH=6kN三铰拱的压力线DRD ND D RD QD D RD D F F F r F M ααcos sin ===在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。
由M （x ）=M °(x )－Hy (x )=0可得合理拱轴线方程为y （x ）=M °(x )／H )(4x l x f−=)(0x M )(x y =f 820ql M C=)(2)(0x l qxx M −=AfC↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q y xx00)(CM x M f =在荷载、跨度给定时，合理拱轴线随条,不是唯一的。
第4章-三铰拱和悬索结构的受力分析
得
l2
y x x2
FVA=70kN 4m
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
q=10kN/m A
FP=40kN B
2) 求φ
16
tany 1x
DCE 16m
8
代入各x值，即可查得相应的φ值。
F
0 VA
F
0 VB
为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面
，求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
小结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。
(5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
(4)作内力图
C D
15
A
20
15
5
E
20
5
B
M图(kN·m)
78
67
60.6
60
60.6
76 58.1
91.9
D
C
E
78 77.8
A
B
FN图(kN)
C 4.9 17.9
4 7.1
A
E
D 4.9
10 17.9
4
B
7
FQ图(kN)
二、三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。 2 、合理拱轴的数解法
拱式结构的特征及应用
第四章静定拱§4-1 概述1、拱式结构的特征及应用：应用：门、窗、桥、巷道、窑洞特征：杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。
和曲梁比较三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成。
优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比较均匀；若合理选择拱轴，弯矩为0，主要承受压力。
缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承；2、拱的形式：静定结构：三铰拱。
有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、做成折线即为三铰刚架超静定结构：无铰拱、两铰拱3、名称：跨度L、拱高：拱顶到两支承边线距离，f拱脚铰、拱顶铰对称拱、斜拱（不对称拱）f/l：矢跨比、高跨比。
高跨比对拱的主要性能有比较大的影响（1－1/10）。
若f－0，三铰共线或接近共线，瞬变体系。
4、计算方法：数解法、图解法§4-2 三铰拱的数解法竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式，并和同跨同荷载的相应简支梁比较。
一、支座反力的计算：三铰拱三铰拱相当梁：图4-4、4-5对三铰拱：∑∑==l a P V M ii B A ,0 对相当梁结构：∑∑==l bP V M ii A B ,0 ∑===H H H X B A ,0()∑--==f a l P l V H M A C 1111,0 得出：{ V A =V A 0=∑P i v B 0V B =V B 0=∑P i a i /lH=M C 0/f → 荷载大小及位置一定，l 一定，M C 0一定，给定f → H结论：（1）三铰拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同；（2）水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关，（即只与拱的矢跨比f/l 有关，f/l ↑，H ↓；f/l ↓，H ↑）和拱轴形状无关。
当荷载及l 不变时，f ↑，H ↓，f ↓，H ↑，f →0，H →∞，f=0三拱共线瞬变体系。
（3）竖向向下荷载作用时推力为正，推力向内2、内力的计算任一横截面K ：位置由坐标x 、y 及该处拱轴切线的倾角φ确定。
建筑力学 第四章 三铰拱
P A
VA
q
C
f
HA
B
l1
l l1
HB
V VA cos K P cos K H sin K
VB
P
q
AK脱离体上所有的力沿截面 K的法线方向投影，可得：
N (VA P ) sin K H cos K V sin K H cos K
0
y
VA0
HA VA
A
B
VB
HB
1 8 4 4 12 VB V 16 5kN
0 B
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
0 VA 0 MC 58 4 4 H 6kN () f 4
VB0
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
第四章 三铰拱
二、梁与拱
P
HA＝0 A
P
HA＝0 A
B
B
P
拱：杆轴线为曲线，且 在竖向荷载作用下会产 生水平推力的结构。
HA≠0
A
B
第四章 三铰拱 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
y4fxlxl4kn1knm8m4m4m7kn5kn6kn6kn4kn1knm7kn5kn内力计算120447cos08944kn1knm8m4m4m7kn5kn6kn6kn4kn1knm7kn5kn一定义只限于三铰平拱受竖向荷载作用43合理拱轴使拱在给定荷载下所有截面弯矩为零时的拱轴线被称为与该荷载对应的合理拱轴线三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支代梁弯矩图的竖标成正比
三铰拱
［拱结构］
杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平推力的结构。
拱与梁的区别——水平推力的存在。
曲梁拱［常见的三铰拱］
（1）无拉杆的三铰拱
（2）有拉杆的三铰拱
［三铰拱］
拱的两端支座处称拱趾，两拱趾间的水平距离称拱的跨度。
拱轴最高处称拱顶，拱顶至两支座联线的竖直距离称为矢高。
矢高与跨度之比称为拱的矢跨比。
［三铰拱的支座反力计算］
三铰拱的支座竖向反力等于相应简支梁两支座的竖向反力，水平推力等于相应简支梁与拱中间铰对应的截面的弯矩除以矢高。
可见，水平推力只与荷载及三个铰的位置有关，而与拱轴形状无关。
矢高愈大
愈小，反之愈小则愈大。
若则，此时三个铰位于同一直线上，为瞬变体系。
［三铰拱的内力计算］
内力符号规定：弯矩使内侧受拉为正，剪力绕顺时针转为正，轴力以拉力为正。
求指定截面的内力：
、为相应简支梁截面的弯矩与剪力。
的符号在左半拱取正，右半拱取负。
由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应梁结构的弯矩小得多。
［三铰拱的压力线］
三铰拱的截面的内力为弯矩、剪力与轴力，三者可合成为一合力，合力在截面上存在一个作用点，所有各个截面的这些作用点联接起来便成为一条折线或曲线，称之为拱的压力线。
[三铰拱的合理拱轴]
在已知荷载作用下，如所选择的三铰拱轴线能使所有截面上的弯矩均等于零，这样的拱轴称为合理拱轴。
下篇 结构力学部分 第15章 三铰拱
(a) Î޽¹°
(b) Á½½Â¹°
(c) Èý½Â¹°
图15-1
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第一节 三铰拱的受力特点
拱和梁的主要区别是拱在竖向荷载作用下会产生水 平反力。这种水平反力指向内侧，故又称为推力。由于 推力的存在，拱的弯矩与跨度、荷载相同的梁相比较要 小的多，且主要承受压力，因此更能发挥材料的作用， 并能利用抗拉性能较差而抗压性能较强的材料如砖、石、 混凝土等来建造，这是拱的主要优点。而拱的主要缺点 也正在于支座要承受水平推力，因而要求比梁要具有更 为坚固的基础或支承结构（墙、柱、墩、台等）。可见， 推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
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三、内力图的绘制
绘制内力图的一般步骤为： （1）求反力：同简支梁反力的求解。 （2）分段：凡外力不连续点均应作为分段点； 同时，为了绘制内力图将拱轴线沿水平方向等分。 （3）定点：将分段点各截面上的内力值用截面 法求出，并在内力图上用竖标绘出。 （4）连线：根据各段的内力图形状，将其控制 点以直线或曲线相连绘出内力图。
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一、支座反力的计算
a1 a2 F1 A l/2 l F1 FAx FAy a1 F1 FAx FAy A C FCy l/2 (a) FCx A
f
b1 b2 C f l/2 F2 B F1 A l/2 l F2 B FBx FBy F1 A
0 FAy
a1 a2 C
b1 b2 F2 B l/2
40kN
(b)
FAx FAy
A
B
FBx FBy
5 (c) 7.5 10 7.5 10 9 2.5 _ 2.5 5 46 (e) 9 39 33.5 30.3 30 + 30.3 29 + _
均布载荷下三铰拱的合理轴线
均布载荷下三铰拱的合理轴线
当竖向荷载确定后，三铰拱的支座反力只与三个铰的相对位置有关，与拱轴线形状无关，而内力则与拱轴线形状有关。
调整拱轴线形状可以改善三铰拱的内力状态。
当拱结构上所有截面的弯矩为零（此时，所有剪力也为零）而只有轴力时，横截面上的正应力是均匀分布的，材料的力学性能得以最充分的发挥，抗压材料得到最充分的利用。
此时的拱结构是最经济的，这样的拱轴线因而称为合理拱轴线。
合理拱轴线可以根据弯矩为零的条件来求得。
作为只承受竖向荷载作用的三铰平拱，其任一横截面上的弯矩
由合理拱轴线的概念有
从而得到合理拱轴线方程为
（3-5）
这说明，对于只承受竖向荷载作用的三铰平拱，其合理共轴线的纵标应等于相应简支梁的弯矩与水平推力的比值。
当荷载确定后，只要求的相应简支梁的弯矩方程，除以水平推力后即得到该三铰平拱的合理拱轴线方程。
在不同竖向荷载作用下，三铰平拱的合理拱轴线是不同的。
在满跨竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是二次抛物线。
在径向（垂直于杆件轴线）均布荷载，如水压力，作用下的合理拱轴线是圆弧线。
在实际工程中，即便是同一个三铰拱往往也要承受不同荷载或荷载组合的作用，因此，根据某一种固定荷载确定的合理拱轴线并不能保证三铰拱在时刻变化的任何竖向荷载作用情况下都处于无弯矩状态。
设计时，可将主要荷载作用下的合理拱轴线结合结构构造及使用功能等方面的要求来确定拱轴线的形状，达到实际荷载情况下拱内弯矩较小、接近无弯矩状态的目的。
第三节压力线
第二步，确定各截面合力 的作用线。 第三步，确定压力线。 多边形AHIJB是由拱 各段的合力作用线构成的， 称为三铰拱在所给荷载作 用下的压力多边形，简称 压力线 。 压力线应通过A、B、C三个铰的铰心。
三.压力线的用途
1、确定合理拱轴线。弯矩为零（只有轴向压 力）时的拱轴线称为合理拱轴线。压力线即 为三铰拱在所给荷载作用下的合理拱轴线。 2、确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线。 譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力， 则压力线应通过拱截面的核心。
§4-3 三铰拱的压力线和合理拱轴
一.压力线的定义
三铰拱任意截面K上 的内力M、V、N（图47b）有一合力R，其作用 点如图4-7a所示。拱各个 截面内力的合力作用点 的连线，称为该拱在所 给荷载作用下的压力线。
二.压力线的作法
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所示，现作其压力线。
第一步，作合力多边形。
四.三铰拱的合理拱轴线
除了通过压力线求合理拱轴线外，对于竖向荷载作用下的三铰拱， 还可由解析法求合理拱轴线。由式（4-2）中的弯矩表达式
M = M 0 − Hy =0
得
M 0 ( x) y( x) = H
（4-3）
上式表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线 与相当梁弯矩图的竖标成正比。
试ห้องสมุดไป่ตู้图示三绞拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。 例 试求图示三绞拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。
解: 相应简支梁（图b）的弯 矩方程为 ：
M 0 ( x) =
拱的推力
q x(l − x) 2
0 M C ql 2 FH = = f 8f
所以
M 0 ( x) 4 f y= = 2 x(l − x) FH l
03-讲义：4.3 三铰拱的合理拱轴线和压力线
第三节 三铰拱的合理轴线拱在荷载作用下，各截面上一般将产生三个内力，即弯矩、剪力和轴力。
其中，弯矩和剪力值较小，轴力较大，受力趋于合理。
若针对某种荷载作用下调整拱轴线的形状，使拱截面上弯矩为零（剪力也为零），则截面仅受轴力作用，拱处于均匀受压的状态。
从理论上来说，设计成这样的拱是最经济的。
将某种荷载作用下拱所有截面上弯矩为零时的拱轴线，称为合理拱轴线。
合理拱轴随荷载的变化而改变，荷载一定时，从理论上可求出其对应的合理拱轴线。
比如，对承受竖向荷载作用的三铰平拱，拱上任一x 截面处弯矩()M x 可表示为：0()()H M x M x F y =-当拱轴为合理拱轴时，根据合理拱轴的定义，有：0)()(0=-=y F x M x M H由此得：HF x M y )(0= (4-13) 式(4-13)即为竖向荷载作用下三铰平拱合理拱轴表达式。
由此可知，在竖向荷载作用下三铰平拱合理轴线的纵坐标y 与相应简支梁弯矩图的竖标0M 成比例。
当拱上所受荷载已知时，只需将相应简支梁的弯矩方程0()M x 除以推力H F 值，便可得到合理拱轴。
但应注意，合理拱轴线只是针对某一确定的固定荷载而言，当荷载布置改变时，合理拱轴形式亦会相应地改变。
下面讨论几种常见荷载作用下的合理拱轴线。
【例4-2】确定图4-9(a)所示三铰平拱在满跨竖向均布荷载q 作用下的合理轴线，已知拱跨度为l 。
图4-9 例4-2图（a ）三铰平拱承受满跨均布荷载作用 （b ）相应简支梁【解】建立如图4-9(a)所示的坐标系，与拱相应的简支梁如图4-9(b)所示。
求得支座反力如下：02AV AV ql F F ==，02BV BV ql F F == 028C AH BH H M ql F F F f f==== 相应简支梁中任一x 截面的弯矩方程为：2()22ql qx M x x =-根据式(4-13)，可得到拱的合理轴线方程为：0()HM x y F ==222422()8ql qx x f x l x ql l f-=- 由此可见，在竖向满跨均布荷载作用下，三铰平拱的合理轴线为二次抛物线。
拱合理拱轴线
FVB
0
0 VA
代梁
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§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡
由∑X=0，得
FHA FHB FH
A
HA
结构力学
y F F K x l/ 2 FVB C f B FHB F
由∑MA=0 F F1a1 F2 a2 F3a3 FVBl 0 得 FVB
FVA
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§4-1 概 述
结构力学
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小 得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛
地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在
它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用 拱的结构形式时必须注意的。
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§4-2 三铰拱的数值解 一、三铰拱的反力和内力计算。
0
VA
a1 a2 a3
FVB
0
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§4-2 三铰拱的数值解
y F F K A x C f
结构力学
F
由 0
F HA FVA
F1
x l/ 2
F2 K
B l/ 2 FVB
FHB
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
MK
ξ y
(1)截面的内力假定： 轴力以压力为正，
剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正，
弯矩以拱内侧纤维受拉者为正。
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§4-2 三铰拱的数值解
三铰拱的合理拱轴线
三铰拱的合理拱轴线
三铰拱是一个把形状比较简单的部件拼装成复杂的构造形体的建筑技术。
它由三根轴线，称之为拱轴线，相互间穿接在拱心处，这就是“三铰”的由来。
拱轴线即对称轴线，它是组成三铰拱的基本组成部分，在建模实践中，它的合理设置是决定三铰拱是否结构完备的关键因素，从而影响三铰拱的最终表现效果。
首先，三铰拱是根据拱形特征原理而设计的，也就是说，拱轴线在布置时一定要符合拱形要求，并同时满足其对称、均匀、稳定的特性。
其次，在实践中，要保证拱轴线的合理结构，作为支撑体系的中心轴，它的设置要以三铰结构的特征为基础，它的布局要依据求取的拱心点，使得轴线向拱心由大至小的倾斜。
此外，拱轴线的布置还要受到视觉效果的影响，它不仅要满足三铰结构的功能要求，同时还要根据要求，达到艺术性与造型上的完美，并且还要区分当前三铰拱的类型，选择最能满足需求的拱轴线。
归纳起来，拱轴线对三铰拱的布局有着极为重要的作用，它的设置既要符合拱形特征原理，满足结构要求，同时又要兼顾造型优势，这从一定程度上决定了三铰拱的最终成败。
三铰拱
2 1.75 0.75 36º 0.600 0.800 5 12 -10.5 1.5 52´
4 3.00 0.50 26º 0.447 0.894 3 20 -18.0 2 34´ 6 3.75 0.25 14º 0.234 0.970 1 24 -22.5 1.5 2´ 8 4.00 0 0 0 1 -1 24 -24.0 0
a2 P1 C D y f
b2 P2
特点：有四个支座反力VA 、 B HB HA A VB、HA、HB，求解时需要四个方 程。拱的整体有三个方程，此外 VB VA l1 l2 C铰增加一个静力平衡方程，即： l MC=0。四个方程可解四个未知量。 (a) 为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷 载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0 和VB0 。而 VA0和VB0的求解是简单的。
yk = y x=4 = 3m，
sink = 0.447 ，
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同，分为 M kz 和 M ky。
0 M kz＝ M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m（外拉） 0 M ky＝ M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m（内拉） 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
0 A
q=1kN/m P=4kN y A C D x 8m 4m l=16m 4m B f =4m
H=
M 58 - 4 4 = = 6kN f 4
拱合理拱轴线
VA
a1 a2 a3
FVB
0
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§4-2 三铰拱的数值解
y F F K A x C f
结构力学
F
由 0
F HA FVA
F1
x l/ 2
F2 K
B l/ 2 FVB
FHB
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
MK
ξ y
FVB
0
0 VA
代梁
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§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡
由∑X=0Hale Waihona Puke 得FHA FHB FH
A
HA
结构力学
y F F K x l/ 2 FVB C f B FHB F
由∑MA=0 F F1a1 F2 a2 F3a3 FVBl 0 得 FVB
FVA
A
FVA
0
a1 a2 a3
FVB
0
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
M K M FH y 0 FSK FSK cos FH sin 0 FNK FSK sin FH cos
0 K
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
注意：内力微分关系不适用于拱（拱轴线为曲线）。 作拱的内力图时需计算若干个截面的内力值然后 q q 连线成图。 F F y y C C 在本例的情况至少 f f 要计算 9 个截面的内力 F F F F A A B B 值然后连线成图才能获 x x FF F F 得满意的效果。 F F 最终弯矩图,可以看出, q q 它是由代梁的弯矩图M 0减 B B 去一个与拱轴线相似的抛 A A C C FF F F 物线图形后剩下的图形 FH•y , 即右下图阴影部份. f f F F 可见拱的弯矩是很小的， 其内力是以轴力为主。
静定结构的内力—三铰拱(建筑力学)
愈大）。
三铰拱
（2）截面内力的计算
① 截面内力的正负规定
轴力以压力为正；剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正；弯矩
以拱内侧纤维受拉者为正。
② 任意截面的内力计算
设K截面形心的坐标分别为xK、yK，K截面的法线与x轴
的夹角为φK，且左半拱的φK为正值，右半拱的φK为负值。
取三铰拱的K截面以左
部分为隔离体，得
FNE FQ0E sin E Fx cosE 134kN
三铰拱
4 三铰拱的合理拱轴线
若拱的所有截面上的弯矩都为零，这样的拱轴线为合理拱轴线。
三铰拱在竖向荷载作用下任意截面上的弯矩为
MK
M
0 K
Fx yK
由 M M 0 Fx y 0 得
M0
合理拱轴线方程为： y
Fx
M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程
三铰拱
C B
C
C
A
B
A
B
l
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
(a)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
A B
B
A
B
曲梁
三铰拱
2 三铰拱的组成
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点
拱趾：支座处
跨度：两支座之间的水平距离，用l表示
矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f 表示 高跨比 f/l 是拱的一个重要的几何参数 工程实际中，高跨比在1／10 ~ 1之间，变化的范围很大
Fx
M
0 C
f
ql 2 f
8 ql 2 8f
合理拱轴的方程为
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(2)选择合理拱轴
由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
F
D K2
K1 A
H K3
B
FRA
FP1
极点
12 23 FP2
O
FRB
FP3
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的索多边形）
自行封闭 的力多边 形
三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的各索线
来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为
曲线。
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3、压力线的用途
g
FH
x
1
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线
(3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
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在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的 作用，而对应不同的荷载就有不同的合理轴线。通 常，是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。 这样，在一般荷载作用下，拱仍会产生不大的弯矩。
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为
一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨
比的任一抛物线都是合理拱轴。
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(2)竖向连续分布荷载
【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试
求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱
FQ D FRD sin D
FN D FRD cos D
合力FRD
D rD
MD
DD
FND FQD
rD为由截面形心到合力FRD的 垂直距离；aD为合力FRD与D 点拱轴切线之间的夹角。
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2、压力线的图解法
FP1
FP2
FP3
12 G C 23
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y Ach
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g
x Bsh FHg x qC NhomakorabeaFH
g
y Ach g x B sh g x qC
FH
FH
g
两个常数A和B，可由边界条件求出如下：
在x=0处，y=0，得
A qC
g
在x=0处，dy =0，得B=0。
dx
因此
y
qC
g
c h
F
DK
K1
2
A
H K3
B
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的索多边形）
(1)确定各截面合力的大小和方向
由力多边形的射线来确定
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FRA
FP1
极点O
12 23 FP2
FRB
FP3
自行封闭 的力多边 形
(2)确定各截面合力的作用线
FP1
FP2
FP3
12 G C 23
d2 y dx 2
q(x) FH
用下拱的合理轴线的 微分方程
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d2 y q(x)
dx 2
FH
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应
该取正号，即
d2 y q(x) dx 2 FH
将q = qC+γ y代入上式，得
d2 y g y qC
dx2 H FH
这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为
4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴
4.3.1 压力线
1、压力线的意义
拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱
各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱
内压力经过的路线。
如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)
所有外力的合力FRD已经确定，则由 此合力便可分解为该截面形心上的三
个内力
M D FRD rD
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(1)满跨竖向均布荷载
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。
q
y
C
x
f
q
解:
A l/2
B
A
x
l/2
ql/2
l
B ql/2
M 0 q x(l x) 2
FH
M
0 C
f
ql 2
8f
y M0 FH
4 f x(l x) l2
所受的竖向分布荷载为q = qC+γ y。
qC
解：将式 y M 0 / FH 对 x微分两次，得
qC+g f
C
f
x
d2 y
1
d2M 0
dx 2 FH dx 2
A
l/2
B
l/2
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
y
这就是在竖向荷载作
d2M 0 q(x) dx 2
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4.3.2 三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。
2 、合理拱轴的数解法
由 M M 0 FH y 0
得
M0 y
FH
上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴
线y与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。
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