传热学第四章分析
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均匀，即t=f（）,零维分布；定向点在壁
表面无穷远处； 0<Bi<∞，t分布介于上述两种极限之间。
二、集总参数法 Bi→0
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认 为物体温度均匀一致的分析方法。此 时，Bi→0，温度分布只与时间有关， 即t f ( ),与空间位置无关，因此，也称 为零维问题.
2 温度分布
集总参数法的应用条件
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h(V
A)
0.1M
M是与物体 几何形状 有关的无量 纲常数
对厚为2δ的
无限大平板
M 1
对半径为R的无限 长圆柱
M
1
2
对半径为R的 球 M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
第四章
非稳态导热
１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变 换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法 、分子动力学模拟
无线大平壁的瞬态导热
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温 度场的分布规律。
此处Bn为离散面(特征值)
若令 n n
则上式可改写为：
e ( x,
0
)
n1
n
2 sin n sin n cos
n
cos(
n
x
)
2 n
a 2
μn为下面超越方程的根
1 非稳态导热的定义 物体的温度随时间而变化的导热过
程称非稳态导热。 2 非稳态导热源自分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
基本特点： ➢任何非稳态过程必伴随着加热或冷却
的过程 t 0
➢可分为周期性和非周期性
➢热流方向上热流量处处不等
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0时，t t 0
将其突然置于温度恒为tf的流体中。
当物体被冷却时（t >tf）,由能量守 恒可知
hA(t
t
)
-V
c
dt
d
令： t t— 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d
hA
Vc
d
d hA d Vc
一、瞬态非稳态导热
温度分布
t1
H
t0
A
G
F
E B CD
温度分布变化的阶段划分与特点
非正规状况阶段 （不规则情况阶段）
正规状况阶段 （正常情况阶段）
新稳态阶段
温度分布主要受初始 温度分布控制，温度 随时间的变化率处处 不同
温度分布主要取决于 边界条件及物性，温 度随时间的变化率具 有一定的规律
温度的变化不再 随时间变化
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规 律
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) Pv x x y y z z
(3) 求解方法：
分析解法、近似分析法、数值解法
热量变化
热流量不相等 过程的进行差 距越来越小
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
热扩散率a 物理内部温度变化率的大小，取决于 边界条件影响向内传播的速率。
a c
对于瞬态非稳态导热：a越大，意味着不规则情况阶段和正 常情况阶段所需时间越短，即加热或加冷过程所需时间越 短。 对于周期性非稳态导热：a越大意味着温度波衰减及时间延 迟程度越小，传播速度越快。
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
h=const
此半块平板的数学描写：
导热微分方程 初始条件
t a 2 t ( 0 x , 0 ) x2
t t0 0
边界条件
x 0 t 0 x
e 1 36.8%
0
应用集总参数法时，物体过余温度的变化 曲线
Biv Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到 物体内部，因而，物体各点地温度就 越接近周围介质的温度。
x
t x
h(t
t )
(对称性)
引入变量－－过余温度
令 ( x, ) t( x, ) t
上式化为： 2
a x2
0 x , 0
0
0
x0
0
x
x h
x
用分离变量法可得其分析解为：
(x, 0
)
n1
2sin(n )cos(n x) n sin(n )cos(n
)
en2a
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
即与
1
的量纲相同，当
Vc hA
时，则
hA
Vc 1 此时，0
e1 36.8%
Vc
上 达式到表了明初：始当过传余热 温时度间的等36于.8％h。A时称，V物c体为的时过间余常温数度，已用经 c
表示。
hA
c
0
积分
d
0
hA
Vc
0
d
ln hA
0
Vc
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中的指数：
hA
hV
A2
cV A V 2c
过余温度比
h(V A) a
(V
A)2 Biv Fov
Biv
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov 是傅立叶数
hA
e e Vc
Biv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
3 ）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无 量纲数。
4 ）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
Bi对温度分布的影响
当Bi→∞时， 1/ h / ，，因此，可以忽略对流换热热阻
/ 1/ h 当Bi→0时，
，因此，可以忽略导热热阻
rd r rh
Bi准则对温度分布的影响
当Bi→∞时，rh→0，相当于第一类边界条 件，即tw=tf；定向点在壁表面 当Bi→0时，r→0，任一时刻物体内t分布
表面无穷远处； 0<Bi<∞，t分布介于上述两种极限之间。
二、集总参数法 Bi→0
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认 为物体温度均匀一致的分析方法。此 时，Bi→0，温度分布只与时间有关， 即t f ( ),与空间位置无关，因此，也称 为零维问题.
2 温度分布
集总参数法的应用条件
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h(V
A)
0.1M
M是与物体 几何形状 有关的无量 纲常数
对厚为2δ的
无限大平板
M 1
对半径为R的无限 长圆柱
M
1
2
对半径为R的 球 M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
第四章
非稳态导热
１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变 换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法 、分子动力学模拟
无线大平壁的瞬态导热
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温 度场的分布规律。
此处Bn为离散面(特征值)
若令 n n
则上式可改写为：
e ( x,
0
)
n1
n
2 sin n sin n cos
n
cos(
n
x
)
2 n
a 2
μn为下面超越方程的根
1 非稳态导热的定义 物体的温度随时间而变化的导热过
程称非稳态导热。 2 非稳态导热源自分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
基本特点： ➢任何非稳态过程必伴随着加热或冷却
的过程 t 0
➢可分为周期性和非周期性
➢热流方向上热流量处处不等
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0时，t t 0
将其突然置于温度恒为tf的流体中。
当物体被冷却时（t >tf）,由能量守 恒可知
hA(t
t
)
-V
c
dt
d
令： t t— 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d
hA
Vc
d
d hA d Vc
一、瞬态非稳态导热
温度分布
t1
H
t0
A
G
F
E B CD
温度分布变化的阶段划分与特点
非正规状况阶段 （不规则情况阶段）
正规状况阶段 （正常情况阶段）
新稳态阶段
温度分布主要受初始 温度分布控制，温度 随时间的变化率处处 不同
温度分布主要取决于 边界条件及物性，温 度随时间的变化率具 有一定的规律
温度的变化不再 随时间变化
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规 律
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) Pv x x y y z z
(3) 求解方法：
分析解法、近似分析法、数值解法
热量变化
热流量不相等 过程的进行差 距越来越小
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
热扩散率a 物理内部温度变化率的大小，取决于 边界条件影响向内传播的速率。
a c
对于瞬态非稳态导热：a越大，意味着不规则情况阶段和正 常情况阶段所需时间越短，即加热或加冷过程所需时间越 短。 对于周期性非稳态导热：a越大意味着温度波衰减及时间延 迟程度越小，传播速度越快。
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
h=const
此半块平板的数学描写：
导热微分方程 初始条件
t a 2 t ( 0 x , 0 ) x2
t t0 0
边界条件
x 0 t 0 x
e 1 36.8%
0
应用集总参数法时，物体过余温度的变化 曲线
Biv Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到 物体内部，因而，物体各点地温度就 越接近周围介质的温度。
x
t x
h(t
t )
(对称性)
引入变量－－过余温度
令 ( x, ) t( x, ) t
上式化为： 2
a x2
0 x , 0
0
0
x0
0
x
x h
x
用分离变量法可得其分析解为：
(x, 0
)
n1
2sin(n )cos(n x) n sin(n )cos(n
)
en2a
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
即与
1
的量纲相同，当
Vc hA
时，则
hA
Vc 1 此时，0
e1 36.8%
Vc
上 达式到表了明初：始当过传余热 温时度间的等36于.8％h。A时称，V物c体为的时过间余常温数度，已用经 c
表示。
hA
c
0
积分
d
0
hA
Vc
0
d
ln hA
0
Vc
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中的指数：
hA
hV
A2
cV A V 2c
过余温度比
h(V A) a
(V
A)2 Biv Fov
Biv
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov 是傅立叶数
hA
e e Vc
Biv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
3 ）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无 量纲数。
4 ）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
Bi对温度分布的影响
当Bi→∞时， 1/ h / ，，因此，可以忽略对流换热热阻
/ 1/ h 当Bi→0时，
，因此，可以忽略导热热阻
rd r rh
Bi准则对温度分布的影响
当Bi→∞时，rh→0，相当于第一类边界条 件，即tw=tf；定向点在壁表面 当Bi→0时，r→0，任一时刻物体内t分布