折纸中的数学
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． ５７ ·
《数学 之 友 》
２００８年 第 ２３期
又 ＋鲁：ｌ，解得 ： ：一 ，
“
ｏ
Ｘ０ 一 Ⅱ
“ 。
有
ｍ：
一ｋｘ。：ｂＬ
，
所
以
ｆ的方
程
为
Ｙ： 一
＋
Ｙｏ
ａ Ｙｏ
即Ｘ ０Ｘ＋ ：１
，
．
Ｙｏ ａ‘ ｂ‘
探 究 ４：由 对 称 性 可 知 ， ＦＭＮ ＝ Ｚ．ＰＭＮ ＝ Ｆ ＭＭ ，这 一点 反 映在 椭 圆 的光 波 与 声 波 的性 质 上 ，一束 光从 Ｆ点 出发 ，经椭 圆反 射后 ，反 射 光 一定 通 过 Ｆ 点 ，声音 传到椭 圆上 ，经过 连 续 几 次反 射 ，在 很 远 的地 方也能 听到 声 音 ，北京 天 坛 公 园里 的 回音 就 暗合 了声 学 的传 音原理．
·。 ．
６ ＋ｎ 一ｍ２＝口２一ｃ２＋ｎ （
）‘一
（ ）‘＝ｏ，．·．Ａ＝０，即ｆ与椭圆相切．
当 ｆ的斜 率不 存 在 时 ，相 切 显 然成 立 ，所 以 ｚ是 椭 圆 的切 线 ， 是 切 点．
为 ＋ Ｙ ＝１．
ａ Ｄ
探 究 ３：若 Ｍ（ｘ。，Ｙｏ），则 ｚ的直 线 方 程 为 ＋ Ｙ 百ｏＹ ：１（可类比以圆上某点为切点的切线方程）．
长 为半径 的圆 ，方 程 为 ＋ｙ ＝ｎ ，同时折 痕 ｆ是椭 圆 的切线．
探究 ６：若 Ｆ ＪＰ，＝０，则 Ｓ△＾ ，＝ｂ２ｔａｎＯ．
证 明 ：’．’ Ｆ ＰＦ＝ ｌ ＋ ｌＭ Ｆ ｌ 一２ｌＭ Ｆ Ｉ ｌ ， ｌ ｃｏｓ２０
ｃ ＝４ａ 一２Ｉ ｌ ｌＭＦｆ（１＋ｃｏｓ２０）
探究 ５：如果 已知 ，Ｆ 为 椭 圆 的焦 点 ， 是 椭 圆上一点 ，如图 ３，现将 ＭＦ折起使 Ｆ点与 Ｆ 延 长 线上 的 Ｐ点 重合 ，则 Ｐ的轨 迹 是 以 Ｆ 为 圆心 ，长 轴 长 为半 径 的圆 ，方程 为 （ ＋Ｃ） ＋Ｙ ＝４ａ ，设 折 痕 Ｚ 与 ＰＦ的交 点为 Ⅳ，则 Ⅳ 的轨迹是 以 ０为 圆心 ，半 轴
进一 步 思考 ，发现 这 个 折纸 问题是 个 十 分有 趣
是开展 研究性 学 习的好 素材．与之 相关 的探究 、拓展 的开 放性 问题 ，它包 含 了许 多 的数学 知识 ，进一 步探
题在新课 改及 高考 中就 经常 出现 ，因此 ，在平 时教学 究 ，还 可 以得 出一些 有趣 的结论 ：
《数 学 之 友》
２００８年第 ２３期
折 纸 中 的 数学
王 明 飞 （江苏省海 门市包场高级巾学 ，２２６１５１）
数学 中折纸 问 题 ，易 于 学 生 动 手操 作 ，具 有很 与折 痕 围成 的椭 圆就是 同一个 椭 圆．
强 的直 观感 ，趣 味 性 强 ，能 培 养学 生 空 间 想 象 能力 ，
中就要 引起 我们 足 够 的重 视 ，下 面就 一 道 折 纸 问题 、 探究 １： 是折 痕 ２上 到 两点 Ｆ，Ｆ 距 离 之 和 最
来探 讨折 纸 中有 趣 的数 学．
小 的点．
探 究 ２：折痕 上 的 点构 成 了椭 圆 ，而其 余 的点
都在 椭 圆外 ，所 以折 痕 所 在 的直 线 ｆ就 是 椭 圆 的 切
ａ ｓ１ｎ
ｓｉｎ
ｒ），
＋ｍ ，
与椭圆联立得｛ ＋譬：１消去ｙ得，
雾为望坐 标原点， Ｆ Ｆ２ 所在直线为 ｆ Ｉｃ＞ｆ
（ｂ ＋ａ２ｋ ） ＋２ａ ｋｍｘ＋ａ （，ｎ 一ｂ ）＝Ｏ， △ ＝４ａ ｍ 一４口 （ｂ ＋口 后 ）（ｍ 一ｂ ）
： ４ａ２６ （ｂ ＋口 ｋ 一ｍ ）
～
１＋ｔａｎ（ ＋／３）‘ｔａｎ５
ｂ
ｂ
≤ 而 ’
Ｉ［１ Ｏｒｅ＝＝ａｒｃｔａｎ 若高 ，
此时 ：
，即 ：、 而
将 ａ，ｂ值代 入 可知 在距 底 线约 １３．５米 处起 脚 射 门 ，有最大 的入射角 约为 １５。．
３场 比赛 ，小组共 有 ６场 比赛 ，假 设每 场 比赛胜 、平 、
）
（上 接 第 ５６页 ） 设 边锋距 底线 ，即 ＣＤ＝ ，并 记球 门宽 ＡＢ＝ｂ：７． ３２，边锋 推进 线路 到 球 门柱 距 离 为 ＢＤ ＝ａ＝（３４—
２ｏ）一 ：１０．３４，
／＿ＡＣＢ＝ ，／＿ＢＣＤ＝ ，／＿ＡＣＤ＝ ＋卢，
ｔａｎＯ：ｔａｎ［（Ｏ／＋ ）一 ］
！ ！ ± ）二 璺
ＩＭ Ｆ ，Ｊ
＝
ｊｓ△ ，＝÷ ＩＭＦ… ＭＦＩ ｓｉｎ２０＝ｂ２ｔａｎ０．
通 过对上 述折 纸过程 的分 析 、探 究及证 明 ，使 学 生对 椭 圆 的定 义 、方 程及性 质达 到更 深 的理 解 ，起 到 了学 以致 用 ，理 论联 系实 际的作用 ．如果 将此 题 中的 Ｆ点移 到 圆外 ，折 纸 的方法相 同 ，就 可 以得 到 一道关 于双 曲线 的折纸 操作 题 ，有 兴 趣 的读者 不妨 先 操作 再做更 深 入 的探 究．
解 ：当 ｚ的斜 率存在时 ，设 ｚ的直线方程为 Ｙ＝ ＋ｍ，与椭 圆联 立 ，因为 Ｚ是 椭 圆的切 线 ，由探究 ２ 可 知 △＝Ｏ，即 ｂ ＋ａ２ｋ 一ｍ ＝０，又 Ｍ（ ，Ｙｏ）在 ２ 上 ，ｍ＝Ｙｏ一晟 ，所 以 ｂ ＋ａＺｋ 一（Ｙｏ一 ０） ＝０， 即 （ 一ａ ）ｋ ２ｘ０Ｙ０ｋ＋ｙｏ—ｂ ＝０（ ≠ ４－ａ），
线 ．
证 明 ：由图 ３可 知 ｏＦ 方 程 为 （ ＋Ｃ） ＋Ｙ ＝
４ｎ ，Ｆ（Ｃ，０），设 Ｐ（２ａｅｏｓ０一ｃ，２ａｓｉｎ０），Ｎ为 ＰＦ的中
点 ，则 Ｎ（ａｃｏｓＯ，ａｓｉｎ０），Ｚ的方程 为
Ｙ ： ￡ —
＋堡 — （ Ｌ ≠ 霄，ｋ∈ｚ 厶 ），
薰那图圆 应究２的该竟一由是点个什的椭么轨样圆迹，的我来点们具构知体成道确了，定椭这， 孑浮撅萨 设 议 ｋ ｋ ： ：— —ｃ－ ａｃｏｓ０，，／７／，＝ ＝— ａ—－ ｃｃｏｓＯ，， ｌ’的方 力程写 与为 刀Ｙ＝ ＋
负出现 的概率相同，都为÷．
首先 ，积 ７分及 ７分 以上肯 定 出线 ．因为每 场 比 赛 两队得 分之 和 ，或 为 ２分 （即 打平 ）或 为 ３分 （有 胜 负 ），所 以小 组 ６场 比赛 各 队积 分 总 和 不 超 过 １８ 分 ，如果 一支球 队积 ７分 ，剩 下 的 ３个 队得 分之 和不 会超 过 １ １分 ，不 可能再 有两 支球 队 的积分 大于或 等 于 ７分 ，所 以积 ７分 的球 队肯定 出线．
《数学 之 友 》
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探 究 ３：若 Ｍ（ｘ。，Ｙｏ），则 ｚ的直 线 方 程 为 ＋ Ｙ 百ｏＹ ：１（可类比以圆上某点为切点的切线方程）．
长 为半径 的圆 ，方 程 为 ＋ｙ ＝ｎ ，同时折 痕 ｆ是椭 圆 的切线．
探究 ６：若 Ｆ ＪＰ，＝０，则 Ｓ△＾ ，＝ｂ２ｔａｎＯ．
证 明 ：’．’ Ｆ ＰＦ＝ ｌ ＋ ｌＭ Ｆ ｌ 一２ｌＭ Ｆ Ｉ ｌ ， ｌ ｃｏｓ２０
ｃ ＝４ａ 一２Ｉ ｌ ｌＭＦｆ（１＋ｃｏｓ２０）
探究 ５：如果 已知 ，Ｆ 为 椭 圆 的焦 点 ， 是 椭 圆上一点 ，如图 ３，现将 ＭＦ折起使 Ｆ点与 Ｆ 延 长 线上 的 Ｐ点 重合 ，则 Ｐ的轨 迹 是 以 Ｆ 为 圆心 ，长 轴 长 为半 径 的圆 ，方程 为 （ ＋Ｃ） ＋Ｙ ＝４ａ ，设 折 痕 Ｚ 与 ＰＦ的交 点为 Ⅳ，则 Ⅳ 的轨迹是 以 ０为 圆心 ，半 轴
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《数 学 之 友》
２００８年第 ２３期
折 纸 中 的 数学
王 明 飞 （江苏省海 门市包场高级巾学 ，２２６１５１）
数学 中折纸 问 题 ，易 于 学 生 动 手操 作 ，具 有很 与折 痕 围成 的椭 圆就是 同一个 椭 圆．
强 的直 观感 ，趣 味 性 强 ，能 培 养学 生 空 间 想 象 能力 ，
中就要 引起 我们 足 够 的重 视 ，下 面就 一 道 折 纸 问题 、 探究 １： 是折 痕 ２上 到 两点 Ｆ，Ｆ 距 离 之 和 最
来探 讨折 纸 中有 趣 的数 学．
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探 究 ２：折痕 上 的 点构 成 了椭 圆 ，而其 余 的点
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通 过对上 述折 纸过程 的分 析 、探 究及证 明 ，使 学 生对 椭 圆 的定 义 、方 程及性 质达 到更 深 的理 解 ，起 到 了学 以致 用 ，理 论联 系实 际的作用 ．如果 将此 题 中的 Ｆ点移 到 圆外 ，折 纸 的方法相 同 ，就 可 以得 到 一道关 于双 曲线 的折纸 操作 题 ，有 兴 趣 的读者 不妨 先 操作 再做更 深 入 的探 究．
解 ：当 ｚ的斜 率存在时 ，设 ｚ的直线方程为 Ｙ＝ ＋ｍ，与椭 圆联 立 ，因为 Ｚ是 椭 圆的切 线 ，由探究 ２ 可 知 △＝Ｏ，即 ｂ ＋ａ２ｋ 一ｍ ＝０，又 Ｍ（ ，Ｙｏ）在 ２ 上 ，ｍ＝Ｙｏ一晟 ，所 以 ｂ ＋ａＺｋ 一（Ｙｏ一 ０） ＝０， 即 （ 一ａ ）ｋ ２ｘ０Ｙ０ｋ＋ｙｏ—ｂ ＝０（ ≠ ４－ａ），
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证 明 ：由图 ３可 知 ｏＦ 方 程 为 （ ＋Ｃ） ＋Ｙ ＝
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