高一数学上册第二章__指数函数知识点及练习题(含答案)(最新整理)

D.b<c<a
解析：a=
(
3
)
1 3
(
4
)
1 4
=b,
4
33
b=
(
4
)
1 4
(
8
1
)4
(
3
)
3 4
=c.
3 27 2
∴a>b>c.
5.设 f(x)=4x-2x+1,则 f-1(0)=______1____________.
解析：令 f-1(0)=a,则 f(a)=0 即有 4a-2·2a=0.
令 t=3x-2,2≤x≤4.
∴g(t)=(t-1)2-1,t∈［1,9］.
∴所求值域为［-1,63］.
2.1 指数函数练习
1． 下 列 各 式 中 成 立 的 一 项 （）
博奥教育
A． ( n )7
1
n7m7
m
3
C． 4 x3 y 3 (x y) 4
B． 12 (3)4 3 3 D． 3 9 3 3
（4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
y y ax
y ax
y
图象
y1
(0, 1)
O
1 x0
y 1
(0, 1)
1
O
0x
博奥教育 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性
R
（0,+∞）
图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．
图象,易知恒过定点(3,5). 故其反函数过定点(5,3).
10 x 10x
7.已知函数 f(x)=
10 x
10x
.证明 f(x)在
R
上是增函数.
10 x
证明：∵f(x)=
10 x
10 x 10x
102x 10 2 x
1
,
1
设 x1<x2∈R,
10 x1 10x1 则 f(x1)-f(x2)= 10 x1 10x1
间为［2,+∞).
15.已知 f(x)=3x-b(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 F(x)=f2(x)-2f(x)的值域为( B )
A.［-1,+∞)
B.［-1,63)
C.［0,+∞)
D.(0,63］
解析：由 f(2)=1,得 32-b=1,b=2,f(x)=3x-2.
∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1.
减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是_______(-∞,-2)
__________.
解析：(1)为真命题 Δ=(2a)2-16<0 -2<a<2.
(2)为真命题 5-2a>1 a<2.
若(1)假(2)真,则 a∈(-∞,-2].
若(1)真(2)假,则 a∈(-2,2)∩［2,+∞］= .
博奥教育
课时 4 指数函数
一. 指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果 xn a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n
次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号
故 a 的取值范围为(-∞,-2).
12.求函数 y=4-x-2-x+1,x∈［-3,2］的最大值和最小值.
1
13
解：设 2-x=t,由 x∈［-3,2］得 t∈［ ,8］,于是 y=t2-t+1=(t- )2+ .
4
24
1
3
当 t= 时,y 有最小值 .
2
4
这时 x=1. 当 t=8 时,y 有最大值 57. 这时 x=-3.
2． 化 简
（）
A． 6a
(a
2 3
b
1 2
)(3a
1 2
b
1 3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
的
结
3
B． a
C． 9a
果
D． 9a 2
3．设指数函数 f (x) a x (a 0, a 1) ，则下列等式中不正确的是
（） A．f(x+y)=f(x)·f(y)
B． f（x y） f (x) f (y)
故当 x1<x2 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)是增函数.
8.若定义运算
a
b=
b, a,
a b, 则函数 f(x)=3x 3-x 的值域为( A
a b,
)
A.(0,1]
B.［1,+∞)
C.(0,+∞)
解析：当 3x≥3-x,即 x≥0 时,f(x)=3-x∈(0,1］;
x 1 0
x
x
1
0
x x
1 0
∴定义域为： x x R且x 0, x 1
14．
解： a r b r cr
a r c
b r ，其中 0
c
a c
1,0
b c
1.
当r＞1时， a r b r a b 1，所以ar+br＜cr；
1) ．0 的负分数指
数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
① ar as ars (a 0, r, s R)
② (ar )s ars (a 0, r, s R) ③
(ab)r arbr (a 0,b 0, r R)
二.指数函数及其性质
1
（1）判断函数f (x)的奇偶性；（2）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
a 16．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ，求 a 的值．
2
博奥教育
参考答案
一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)；
三、13． 解：要使函数有意义必须：
10 x2 10 x2
10x2 10x2
102x1 1 102x2 102x1 1 102x2
1 2(102x1 102x2 ) . 1 (102x1 1)(102x2 1)
∵y=10x 是增函数,
∴102x1 102x2 <0.
而102x1 +1>0,102x2 +1>0,
1
解得 t1=4,t2= .
2 ∴4x-1=4 x=2,
4x-1= 1 x=- 1 .
2
2
1
故方程另外两根是当 a= 时,x=-1;
2
1
当 a=4 时,x=- .
2
14.函数 y= (1) 34xx2 的单调递增区间是( D ) 3
A.［1,2］
B.［2,3］
C.(-∞,2]
D.［2,+∞)
解析：因为 y=3x2-4x+3,又 y=3t 单调递增,t=x2-4x+3 在 x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区
13.已知关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其余的根.
博奥教育
解：∵2 是方程 2a2x-2-9ax-1+4=0 的根,将 x=2 代入方程解得 a= 1 或 a=4. 2
(1)当
1
a= 时 ,原 方 程 化 为
2
1
1
2· ( )2x-2-9( )x-1+4=0.
n
an
|
a
|
a a
(a 0)
．
(a 0)
（2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n am (a 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．②
正数的负分数指数幂的意义是： a
m n
(
1
)
m n
a
n
(1)m (a a
0, m, n N , 且 n
5．若指数函数 y a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
（）
1 5
A．
2
1 5
B．
2
1 5
C．
2
5 1
D．
2
6． 当 a 0 时 ， 函 数 y ax b 和 y bax 的 图 象 只 可 能 是
（）
7． 函 数 f (x) 2|x| 的 值 域 是
（）
A． (0,1]
B． (0,1)
C． (0,) D．R
8． 函 数
f
(x)
2 x 1
1, x
0
，
满
足
x 2 , x 0
f (x) 1的
x的 取 值 范 围
（）
A． (1,1)
B． (1,)
C．{x | x 0或x 2}
D．{x | x 1或x 1}
9． 函 数 y ( 1 ) x2 x2 得 单 调 递 增 区 间 是 2
.
12．当 a＞0 且 a≠1 时，函数 f (x)=ax－2－3 必过定点
.
三、解答题：
13．求函数 y
1
x
的定义域.
5 x1 1
14．若a＞0，b＞0，且a+b=c， 求证：(1)当r＞1时，ar+br＜cr；(2)当r＜1时，ar+br＞cr.
15．已知函数
f
(x)
ax ax
1
(a＞1).
在 R 上是增函数
非奇非偶
在 R 上是减函数
函数值的
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
变化情况
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)
a 变化对
图象影响
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
n a 表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．
②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数 时， a 0 ． ③ 根 式 的 性 质 ： (n a)n a ； 当 n 为 奇 数 时 ， n an a ； 当 n 为 偶 数 时 ，
（）
博奥教育
A．[1, 1 ] 2
10． 已 知
B． (,1] f (x) ex ex ， 则
2
C． [2,)
下列正确
1 D．[ ,2]
2
的是
（）
A．奇函数，在 R 上为增函数
B．偶函数，在 R 上为增函数
C．奇函数，在 R 上为减函数
D．偶函数，在 R 上为减函数
11．已知函数 f (x)的定义域是（1，2），则函数 f (2 x ) 的定义域是
三.例题分析
1.设 a、b 满足 0<a<b<1,下列不等式中正确的是( C )
A.aa<ab
B.ba<bb
C.aa<ba
D.bb<ab
解析：A、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性; C、D 指数相同,底小值小.故选 C.
2.若 0<a<1,则函数 y=ax 与 y=(a-1)x2 的图象可能是( D )
2
2
①
令 y=( 1 )x-1,方程①变为 2y2-9y+4=0, 2
1
解得 y1=4,y2= .
2
∴( 1 )x-1=4 x=-1, 2
1
(
1
)x-1=
x=2.
22
(2)当 a=4 时 ,原 方 程 化 为
2· 42x-2-9· 4x-1+4=0.
②
令 t=4x-1,则方程②变为 2t2-9t+4=0.
解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.
5
10.当 x∈［-1,1］时,函数 f(x)=3x-2 的值域为_______［- ,1］___________.
3
解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.
11.设有两个命题:(1)关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;(2)函数 f(x)=-(5-2a)x 是
2a·(2a-2)=0,而 2a>0,
∴2a=2 得 a=1.
6.函数 y=ax-3+4(a>0 且 a≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.
解析：因 y=ax 的图象恒过定点(0,1),向右平移 3 个单位,向上平移 4 个单位得到 y=ax-3+4 的
博奥教育
D.(-∞,+∞)
当 3x<3-x,即 x<0 时,f(x)=3x∈(0,1).
3x , x 0,
∴f(x)=
3x
,
值域为(0,1).
x 0,
9.函数 y=ax 与 y=-a-x(a>0,a≠1)的图象( C )
A.关于 x 轴对称
B.关于 y 轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线 y=-x 对称
解析：当 0<a<1 时,y=ax 为减函数,a-1<0,所以 y=(a-1)x2 开口向下,故选 D. 3.设指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则下列等式中不正确的是( D )
A.f(x+y)=f(x)f(y)
f (x)
B.f(x-y)=
f (y)
C.f(nx)=［f(x)］n
D.f［(xy)n］=［f(x)］n［f(y)］n(n∈N*)
C． f (nx) [ f (x)]n (n Q)
D． f (xy)n [ f (x)]n ·[ f ( y)]n (n N )
4．
函
数
（）
A．{x | x 5, x 2}
C．{x | x 5}
y
(x
5) 0
(x
1
2) 2
B．{x | x 2} D．{x | 2 x 5或x 5}
解析：易知 A、B、C 都正确.
对于 D,f［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(ax)n·(ay)n=anx+ny,一般情况下 D 不成立.
4.设
a=
(
3
1
)3
,b=
(
4 )
1 4
,c=
(
3
)
3 4
,则
a、b、c
的大小关系是(
B
)
4
3
2
A.c<a<b
B.c<b<a
C.b<a<c