传感器技术-第9章 误差修正技术

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4.1.2
曲线拟合法
曲线拟合法采用n次多项式来逼近反非线性曲线， 该多项式方程的各个系数由最小二乘法确定， 具体步 骤如下 1. 列出逼近反非线性曲线的多项式方程 （1） 对传感器及其调理电路进行静态实验标定， 得 校准曲线。 标定点的数据为
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（2） 假设反非线性特性拟合方程为
xi (ui ) a0 a1ui a u a u a u
2 2 i 3 3 i
n的数值由所要求的精度来定。 若n=3， 则
n n i
xi (ui ) a0 a1ui a u a u
2 2 i
3 3 i
(4-4)
式中： a0、 a1、Байду номын сангаасa2、 a3为待定常数。
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图4-2
反非线性的折线逼近
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下面以三段为例， 折点坐标值为 横坐标： u1、 u2、 u3、 u4； 纵坐标： x1、 x2、 x3、 x4。 各线性段的输出表达式为 第Ⅰ段 x x
y( ) x( ) x1 Ⅰ Ⅰ
2 1
第Ⅱ段
u2 u1
i 1 i 1
N
N
=最小值=F（a0， a1， a2， a3）
(4-5)
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式（4-5）是待定常数a0、 a1、 a2、 a3的函数。 为了求得函数F(a0, a1, a2, a3)最小值时的常数a0、 a1、 a2、 a3， 我们对函数求导并令它为零， 即
[(a0 a1ui a2ui2 a3ui3 ) xi ] 1 0
9.1 误差修正技术
9.1.1 系统误差的数字修正方法 9.1.2 随机误差的数字滤波方法 9.1.3 动态补偿方法
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误差来源有以下几方面：

检测系统本身的误差 (a)工作原理上，如传感器或电路的非线性的输入、 输出关系； (b)机械结构上，如阻尼比太小等； (c)制造工艺上，如加工精度不高，贴片不准，装 配偏差等； (d)功能材料上，如热胀冷缩，迟滞，非线性等。
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智能传感器系统采用软件既灵活又简便地实 现了非线性自校正功能后， 就不必再为改善系统 中每一环节的非线性而耗费精力， 其所要求的条 件仅仅是： 前端正模型(x－u特性)具有重复性。 采用智能化非线性自校正模块以实现刻度转 换的编程方法有多种， 常用的有查表法、 曲线拟 合法， 近年来又发展了神经网络法及支持向量机 法等多种方法。
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4.1.1 查表法 查表法是一种分段线性插值法， 根据精度要 求对反非线性曲线（如图4-2）进行分段， 用若 干段折线逼近曲线， 将折点坐标值存入数据表中， 测量时首先要明确对应输入被测量xi的电压值ui是 在哪一段； 然后根据那一段的斜率进行线性插值， 即得输出值yi=xi。
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与此同时， 人们从电路方面精心设计非线性 校正器以期改善系统的非线性。 所谓非线性校正 器， 就是可以按某种非线性关系来进行刻度转换 的环节。 系统中有了这种非线性刻度转换环节， 全系统输入输出特性将逼近直线。 由于各个传感 器非线性特性的不一致性， 因此用硬件电路实现 非线性校正的刻度转换存在很大难度与局限性。
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（4） 逆模型的检验。 向逆模型输入电阻R， 比较标准分度值的温 度T与逆模型计算（输出）值T′，其偏差Δ=T′－T， 结果列入表4-2。
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（5） 线性度改善情况的评价。 ① 改善前测温系统的线性度。 改善前测温系统的线性度由Pt100铂电阻测温传感 器的正模型的线性度决定， 其最小二乘法线性度求取步 骤如下： 拟合直线。 由表4-1给出的标准分度关系， 根据 第2章式（2-9）可计算得到拟合直线的两个常系数k和b， 从而最小二乘拟合直线方程为 R=102.169+0.36195T （4-9）

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改善线性度及智能化非线性刻度转换功能

测量系统的静态性能由其静态输入输出特性来表 征， 它的质量指标将决定测量系统的精度， 测量 系统的线性度指标是影响系统精度的重要指标之 一。 其中， 处于测量系统前端的传感器， 其输 入输出特性的非线性是使得测量系统输入输出特 性具有非线性的主要原因。
式中：
(4-3)
k为折点的序数， 3条折线有4个折点, k=1, 2, 3, 4。
由电压值ui求取被测量xi的程序框图如图4-3所示。
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图4-3
非线性自校正流程图
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折线与折点的确定有两种方法： Δ近似法与 截线近似法， 如图4-4所示。 不论哪种方法， 所 确定的折线段与折点坐标值都与所要逼近的曲线 之间存在误差Δ， 按照精度要求， 各点误差Δi都 不得超过允许的最大误差界Δm， 即Δi≤Δm。
式中， |ΔLm|=|ΔRm|=2.17 Ω， 为最大拟合偏差。
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传感器及其调理电路的输出量多是电学量， 传统测量仪器系统的基本功能就是要将传感器及 其调理电路输出的电学量转换为被测量， 以便输 出显示， 称为刻度转换。 如果按照线性关系进行 刻度转换， 就会引入非线性误差， 降低线性度指 标， 因为前端待转换的关系是非线性的。 当然， 人们期望传感器本身的输入输出特性具有良好的 线性， 为此传感器工作者一直进行着不懈的努力。 但是， 传感器静态特性的非线性却总是存在的。
i 1
N
3 F xi ui2 ； G xi ui 。
N i 1
N
i 1
通过求解式（4-6）的矩阵方程可得待定常数a0、a1、a2、a3。
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2. 将所求得的常系数a0~a3存入内存 将已知的反非线性特性拟合方程式(4-4)写成下列 形式： x(u ) a3u 3 a2u 2 a1u1 a0 （4-7） [( a3u a2 )u a1 ]u a0 为了求取对应电压为u的输入被测值x， 每次只 需将采样值u代入式（4-7）中进行三次(b+ai)u 的循 环运算， 再加上常数a0即可。
i 1
N
[(a0 a1ui a2ui2 a3ui3 ) xi ]ui 0
i 1
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N
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[(a0 a1ui a2ui2 a3ui3 ) xi ]ui2 0
i 1
N
[(a0 a1ui a2ui2 a3ui3 ) xi ]ui3 0
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最大拟合偏差ΔLm=ΔRm。在0~500℃范围内， 式 （4-9）根据温度T计算所得的R（计）与相同温度T由标 准分度表给出的R（标）之差即为拟合偏差， 该拟合偏 差的最大值在零度， |ΔRm|=2.169≈2.17 Ω（合温度偏 差约7℃）。 最小二乘法线性度。 根据第2章式（2-6）的定义式 | Lm | L 100% Y ( F .S )
(4-6)
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式中： N为实验标定点个数;
J ui3 ； K
i 1 N
H ui ；
i 1
N
I ui2 ；
i 1
N
u
i 1
N
4 i
；
L ui5 ；
i 1
N
M ui6 ；
i 1
N
D xi ；
i 1
N
E xi ui ；
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智能传感器系统是通过软件来进行非线性刻 度转换的， 在实现智能化刻度转换功能的同时， 也实现了非线性自校正功能， 从而改善了系统的 静态性能， 提高了系统的测量精度。 由于软件的 灵活性， 智能传感器系统丝毫不介意系统前端的 正模型有多么严重的非线性。 所谓正模型， 是传 感器及其调理电路的输入输出特性（x－u）， 如 图4-1(b)所示。 智能传感器能自动按图4-1(c)所 示的逆模型进行刻度转换， 输出系统的被测量值 y， 实现系统的输出y与输入x呈理想直线关系， 如图4-1(d)所示。
i 1
N
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经整理后得矩阵方程
a0 N a1 H a2 I a3 J D a0 H a1 I a2 J a3 K E a0 I a1 J a2 K a3 L F a0 J a1 K a2 L a3 M G
(ui u1 )
x3 x2 y(Ⅱ) x(Ⅱ) x2 (ui u 2 ) u3 u 2
x4 x3 y(Ⅲ) x(Ⅲ) x3 (ui u3 ) u 4 u3
第Ⅲ段
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输出y=x表达式的通式为
xk 1 xk y x xk (ui u k ) u k 1 u k
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4.1.3 ［示例4-1］与铂电阻配用的智能化刻度转 换模块的设计（曲线拟合法） 要求 测温范围0~500℃， 刻度转换模块的绝 对偏差小于0.5℃。 解 （1） 在0~500℃范围内从标准分度表中 取N=11个标准分度值， 如表4-1所示。 表4-1给出了铂电阻Pt100的正模型， 即输入 （T）输出（R）特性。
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外界环境影响 例如，温度，压力和湿度等的影响。 人为因素 操作人员在使用仪表之前，没有调零、校正； 读数误差等。
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误差分类：

从时间角度，把误差分为静态误差和动态误差。

静态误差包括通常所说的系统误差和随机误差。其中， 系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量时，其 大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。 动态误差是指检测系统输入与输出信号之间的差异。
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图4-1 智能传感器系统 （a） 智能传感器系统框图； （b） 正模型； （c） 逆模型； （d） 智能传感器系统的输入(x)输出(y)特性
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所谓逆模型， 是指正模型 u=f(x) (4-1) 的反非线性特性 y=x=f(u) (4-2) 式中： x为系统的被测输入量； u为传感器及其 调理电路的输出量， 又是存放在微机中非线性校 正器软件模块的输入； y=x为非线性校正器软件 模块的输出， 也即系统的总 输出。
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（3） 求解待定常数a0、 a1、 a2、 a3。 根据最小 二乘法原则来确定待定常数a0、 a1、 a2、a3的基 本思想是， 由多项式方程式（4-4）确定的各个xi(ui) 值， 与各个点的标定值xi之均方差应最小， 即
[ xi (ui ) xi ]2 [(a0 a1ui a2ui2 a3ui3 ) xi ]2
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图4-4
曲线的折线逼近

(a) Δ近似法； (b) 截线近似法
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1． Δ近似法 折点处误差最大， 折点在±Δm误差界上。 折 线与逼近的曲线之间的误差最大值为Δm， 且有正 有负。 2． 截线近似法 折点在曲线上且误差最小， 这是利用标定值 作为折点的坐标值。 折线与被逼近的曲线之间的最 大误差在折线段中部， 应控制该误差值小于允许的 误差界Δm。 各折线段的误差符号相同， 或全部为 正， 或全部为负。

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由于产生动态误差的原因不同，动态误差又可分为 第一类和第二类。 第一类动态误差：因检测系统中各环节存在惯性、 阻尼及非线性等原因，动态测试时造成的误差。


第二类误差：因各种随时间改变的干扰信号所引起 的动态误差。
针对不同的误差，有不同的修正方法；就是对同一 误差，也有多种修正方法。
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（2） 逆模型的数学表达式设为三阶四项多项式： T=a0+a1R+a2R2+a3R3 （4-8） （3） 待定常数a0、 a1、 a2、 a3的确定。 根据式（4-5）、 式（4-6）求得a0~a3的数值为 a0=－247.89， a1=2.4077， a2=0.000 602 53， a3=1.072×10－6 具有上述常系数数值的式（4-8）的编程算式就成 为智能化刻度转换模块。