分数阶微分方程课件
分数阶微分方程课件00_ECE-5930-syllabus (12)
Columns 9 through 11 0 >> 0 0 3 6
Computation of fractional derivatives
Hany Farid:
%%% FRACTIONAL DERIVATIVES (12.14.00) %%% Hany Farid (farid@ | /~farid) %%% clear; set( gcf, 'Renderer', 'zbuffer' ); dim! ramp ! ramp ! f! f! F! = 256; = [-dim:dim-1]; = pi * ramp/dim; = exp( -(ramp.^2)/(0.5) ); ! = f - mean(f);! ! ! = fftshift( fft( f ) ); ! !
(2) There is a routine at MATLAB File Exchange:
Eα,β (Z ), α = 1.1 : 0.1 : 1.9, β = 1
for each routine make a qualitative check
Columns 9 through 11 0.0013 0.0009 0.0007
Computation of the Mittag-Leffler function
(1) Directly using the definition:
Numerical methods of the fractional calculus
(continued II)
function y=mitlef(alpha,beta,z,N) % Evaluation of the Mittag-Leffler function in two parameters: % E_{alpha,beta}(z), using its series expansion. % % PARAMETERS: % alpha - first index (scalar), beta - second index (scalar) % z - row vector of values of the function argument % N - number of terms in the power expansion (scalar) % OPTIONAL, default N=100. if nargin<4, N=100; end m1=max(size(z)); m2=min(size(z)); if m2>1, z=z(1,:); end k=repmat((1:N)',1,m1); t=repmat(z,N,1); t=t.^(k-1); a=repmat(gamma(alpha*((1:N)'-1)+beta), 1, m1); y=sum(t./a);
1996 分数阶微分方程2
*Received by the editors March 1, 1993; accepted for publication (in revised form) May 5, 1994. This research
was supported in part by Office of Naval Research contract K-0370, National Science Foundation grants
An Optimal-Order Estimate for Eulerian-Lagrangian Localized Adjoint Methods for Variable-Coefficient Advection-Reaction Problems Author(s): Richard E. Ewing and Hong Wang Source: SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 33, No. 1 (Feb., 1996), pp. 318-348 Published by: Society for Industrial and Applied Mathematics Stable URL: /stable/2158437 Accessed: 18-06-2016 15:40 UTC
ciently by a conjugate gradient method in multiple dimensions. The ELLAMs also provide
an alternate approach, reducing the dependence of the numerical solutions on the accurate
分数阶常微分方程和修正反常次扩散方程
有限差方法是一种常用的数值求解变分数阶扩散方程的方法。该方法通过构 造差分网格，将连续的扩散过程离散化，并利用差分格式逼近原方程的解。常用 的有限差方法有显式方法和隐式方法。显式方法计算量较小，但稳定性较差；隐 式方法稳定性较好，但计算量较大。在选择有限差方法时，需根据实际问题综合 考虑。
比较与分析
参考内容
引言
在自然界和现实生活中，许多现象都涉及到物质或能量的传递和扩散过程。 例如，气候变化中的污染物扩散、生物体内的物质传输以及工程中的热扩散问题 等。通常情况下，这些扩散过程可以用经典的扩散方程来描述，即菲克第一定律 和菲克第二定律。然而，在某些特定情况下，物质的扩散行为可能不满足这些经 典定律，而是呈现出一种更为复杂的扩散现象，即反常扩散。
以金融工程为例，分数阶常微分方程可以用于描述股票价格的波动行为和市 场的复杂动态。通过建立合适的模型，可以分析股票价格的过去和未来走势，为 投资决策提供有价值的参考。此外，分数阶常微分方程还可以用于描述风险评估 和信用定价等问题，为金融机构提供风险管理和定价策略的支持。
与其他方法的比较
在某些应用领域，分数阶常微分方程和修正反常次扩散方程与其他方法相比 具有独特的优势。例如，在描述分形结构时，分数阶导数比传统的整数阶导数更 加准确和灵活。此外，分数阶常微分方程在处理具有记忆和遗传特性的系统时具 有更好的表现。
修正反常次扩散方程的求解方法包括有限元法、有限差分法、谱方法等。这 些方法可将偏微分方程转化为代数方程组，然后利用数值计算方法进行求解。在 求解过程中，需要仔细选择离散方式和时间步长，以确保计算结果的准确性和稳 定性。
应用研究
在应用方面，分数阶常微分方程和修正反常次扩散方程被广泛应用于物理、 化学、生物、工程等领域。例如，在物理学中，分数阶常微分方程被用于描述材 料的记忆效应和复杂系统的动态行为；在化学工程中，修正反常次扩散方程被用 于描述反应器中粒子的扩散和反应过程。此外，分数阶常微分方程和修正反常次 扩散方程也被广泛应用于金融工程、生态系统建模、人口动力学等领域。
分数阶偏微分方程的动力学(黄建华,辛杰,沈天龙著)PPT模板
6.3.4不变测 度
6.3.3遍历性
第6章Lévy噪声驱动的几 类流体方程的动力学
6.4Lévy噪声驱动的 Boussinesq方程的大偏
差原理
6.4.1指数估 计
01
6 . 4 . 3 一 类 03 流体发展 方程的大 偏差原理
02
6.4.2大偏 差原理
ONE
07
第7章α-平稳噪声驱动几类偏微分方程 的遍历性
06
第 6 章 L év y 噪 声 驱 动 的 几 类 流 体 方 程 的 动力学
第6章Lévy噪声驱动的几类流体方程的动力学
6.1Lévy噪声驱动的 随机非牛顿流的鞅解
及Markov可选性
6.2Lévy噪声驱动的 分数阶Boussinesq
方程的适定性
6.3Lévy噪声驱动的 Boussinesq方程的
4.3分数Brown运动驱动的 非牛顿流系统的随机吸引 子
01
4.3.1H*( *,1)情形
02
4.3.2H*( *,*)情形
第4章分数次噪 声驱动的非牛顿 流系统的动力学
4.4分数Brown运动驱动的修 正Boussinesq近似方程的随 机吸引子
4.4.1H*( *,1)情形
4.4.2H* (*,*)情形
第7章α-平稳噪声驱动几类偏微 分方程的遍历性
7.1α-平稳噪声及矩估计
7.2α-平稳噪声驱动的MHD方程的 遍历性
7.3α-平稳噪声驱动的抽象流体发展 方程的遍历性
7.4α-平稳噪声驱动的分数阶耦合 Ginzburg-Landau方程的遍历性
ONE
02
第2章非自治分数阶长短波方程的一致 吸引子
第2章非自治分数阶长 短波方程的一致吸引子
第一讲分数阶微分方程
RL a
Dαx
f
(x)
Dn
(
a
Dαx −n
f
) (x)
=
1 Γ(n − α)
dn dxn
ˆx
a
f (t) (x − t)α−n+1
dt,
(1.6)
即先做 n − α 次分数阶积分, 然后再求 n 次导数. 我们注意到 0 < n − α ≤ 1.
RL a
Dαx
a
D−x α
f (x)
=
Dn
a
Dαx −n
a
D−x α
f (x)
=
Dn
a
D−x n
f (x)
=
f (x).
如果将次序反过来的话, 则有下面的复合公式.
定理 1.4 设 α > 0, 且 n − 1 ≤ α < n, 则
a
D−x α
RL a
Dαx f (x)
=
f (x)
∑n −
[a Dαx−i f (t)]t=a Γ(α − i + 1)
(
a
D−x 1
f
) (x)
=
dn dxn
f
(x),
因此, 当 α 是正整数时, R-L 分数阶导数与整数阶导数的定义是一致的. 所以, R-L 分数阶导数在整数阶导 数之间架起了 “桥”.
1.1.3 Caputo 分数阶导数
R-L 分数阶导数是最先提出来的, 理论分析也相对完善. 但与实际应用却存在一定的困难和障碍 [4, page 4]. 一个比较好的解决方法就是由 Caputo [1, 2] 提出来的 Caputo 分数阶导数.
分数阶导数与分数阶微分方程
要点三
计算方法
整数阶导数的计算方法相对简单，可 以通过求极限的方式得到；而分数阶 导数的计算涉及复杂的数学运算，如 特殊函数的计算、数值逼近等。
02 分数阶导数的定 义与性质
分数阶导数的定义
分数阶导数是一种扩展了整数阶导数的概念，其中导数的阶数可以是任意 实数或复数。
分数阶导数描述了函数在某一点的非局部性质，即函数在该点附近的变化 情况，而不仅仅是该点的局部变化率。
生物医学工程
在生物医学工程中，分数阶微分方程可以用来描述生物组 织的电生理特性、药物代谢过程等，为生物医学研究和治 疗提供新的思路和方法。
04 分数阶导数与分 数阶微分方程的 数值计算
分数阶导数的数值计算方法
01
Grunwald-Letnikov方法
基于整数阶导数的差分定义，通过极限过程推导得到分数 阶导数的差分格式。
描述复杂系统的动力学行为
分数阶导数能够更准确地描述具有记忆效应和长程相互作 用的复杂系统的动力学行为，如黏弹性材料、电解质溶液 等。
建模非线性物理现象
分数阶微分方程可用于建模非线性物理现象，如混沌、分 形、湍流等，这些现象在传统整数阶导数框架下难以准确 描述。
量子力学与统计物理中的应用
在量子力学和统计物理中，分数阶导数和分数阶微分方程 可用于描述粒子的非经典扩散行为、量子隧穿等现象。
分数阶导数具有非局部性，即函 数在某一点的分数阶导数不仅与 该点的函数值有关，还与函数在 该点附近的其他点的函数值有关 。
分数阶导数的计算方法
分数阶导数的计算可以通过定义直接进 行，但这种方法通常比较复杂且计算量 大。
可以利用一些特殊函数（如Gamma函数、 Beta函数等）的性质来简化分数阶导数的计 算。
分数阶微分方程课件
分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。
然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。
在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
分数阶微积分方程
分数阶微积分是一个数学概念，它扩展了整数阶微积分到分数和复数领域。
分数阶微积分方程是分数阶微积分在数学建模中的应用，可以描述许多自然现象和工程问题。
分数阶微积分方程的一般形式为：
Df(x)=f(x)x∈[a,b]Df(x)=f(x) \quad x \in [a, b]Df(x)=f(x)x∈[a,b]
其中 D 是分数阶导数，f(x) 是待求解的函数，a 和 b 是定义域的上下限。
分数阶微积分方程的解法通常包括以下步骤：
1. 确定方程的形式和参数。
2. 确定初始条件和边界条件。
3. 使用数值方法求解方程，例如有限差分法、有限元法等。
4. 对解进行后处理，例如误差分析、可视化等。
分数阶微积分方程在许多领域都有应用，例如物理学、工程学、生物学等。
例如，在物理学中，它可以描述粘弹性材料的力学行为；在工程学中，它可以描述信号处理和控制系统；在生物学中，它可以
描述神经传导和扩散过程。
分数阶偏微分方程及其数值解
分数阶偏微分方程及其数值解求教如何求偏微分方程并举一简单例子解：由原方程可见：x≠0；因为若x=0，则y=0，不可能初始条件满足y(1)=1。
所以可用x同除两边。
两边同除以x得y'-(y/x)=2x²............①先求齐次方程y'-(y/x)=0的通解：分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;故齐次方程的通解为：y=c₁x；把c₁换成x的函数u，得y=ux...........②将②对x取导数得y'=u'x+u...........③将②③代入①式得：u'x+u-(ux/x)=2x²；化简得u'x=2x²，即u'=2x，=2xdx，积分得u=x²+c；代入②式即得原方程的通解为：y=x³+cx；代入初始条件得1=1+c，故c=0；于是得特解为：y=x³.总结偏微分方程的解法可分为两大方面：解析解法和数值解法。
其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。
数值解法又可以分为最常见的有三种：差分法、有限体积法、有限元法。
其中，差分法是最普遍最通用的方法。
偏微分方程示例二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。
这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类，围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。
近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题，它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题，这些问题通常十分复杂具有较大的难度。
对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。
另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。
分数阶随机微分方程
分数阶随机微分方程
分数阶随机微分方程是指一类随机微分方程，其中包含了分数阶微分项和随机项。
分数阶微积分学是一种介于整数阶微积分学和积分学之间的新兴数学分支，它将一个整数阶的微分方程推广到了一个非整数阶的微分方程。
相比于整数阶随机微分方程，分数阶随机微分方程更为复杂，因为它包含了分数阶微分项。
分数阶微分方程的研究已经在控制理论、金融数学、生物医学、物理学和化学等领域得到了广泛应用。
在金融数学领域中，分数阶随机微分方程可以用来描述股票价格、利率和汇率等金融产品的价格变化。
分数阶随机微分方程的解析解往往难以求得，因此研究者们通常会采用数值方法来求解。
其中最常用的方法是欧拉-马尔可夫方法和随机Runge-Kutta方法。
此外，也有一些常用的数值稳定性分析方法，如Lyapunov指数法、分形维数法和最大Laplace变换法等。
总之，分数阶随机微分方程是一个非常复杂和具有挑战性的数学领域，但它在实际应用中具有广泛的应用前景。
分数阶微分方程的理论分析与数值计算
未来研究方向：结合机器学习算法进行数值预测
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简介：分数阶微分方程的未来研究方向将结合机器学习算法进行数值预测，以提高 模型的准确性和预测能力。
单击此处添加标题
挑战：如何将机器学习算法与分数阶微分方程有效结合，以实现更精确的数值预测， 是未来研究的重要挑战之一。
单击此处添加标题
前景：随着机器学习算法的不断发展和优化，结合机器学习算法进行分数阶微分方 程的数值预测将具有广阔的应用前景和发展空间。
分数阶微分方程的理论 分析与数值计算
汇报人：XX
目录
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01
分数阶微分方程的基 本概念
02
分数阶微分方程的解 析解法
03
分数阶微分方程的数 值解法
04
分数阶微分方程的数 值计算软件实现
05
分数阶微分方程的应 用案例分析
06
添加章节标题
分数阶微分方程 的基本概念
分数阶微分方程的定义
阶数：分数阶微分方程中导 数的非整数指数
分数阶微分方程的 定义和性质
分数阶微分方程的 解析解法分类
分数阶微分方程的 解析解法步骤
解析解法的优缺点 和适用范围
分数阶微分方程的解析解法举例
分数阶微分方程的定义和形式 解析解法的步骤和公式 举例说明：Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数 解析解法的优缺点和适用范围
分数阶微分方程的定义和性 质
数值解法的误差估计和收敛 性分析
常用的数值解法及其算法原理
分数阶欧拉方 法：简单易行， 适用于初值问
题
分数阶龙格-库 塔方法：精度 高，适用于复 杂非线性问题
分数阶有限差 分法：将微分 转化为差分， 适用于边界值
（四）分数阶微积分
（四）分数阶微积分我们重点考察R −L 型分数阶微积分的性质，简记RL 0D βt =D βt ，若⽆特殊说明。
a). 线性性D βt [f (t )+g (t )]=D βt f (t )+D βt g (t )D βt λf (t )=λD βt f (t )证明:直接带⼊定义验算即可.设m =[β]+1RL 0D βtf (t )=1Γ(m −β)d m dt m ∫t0(t −τ)m −β−1f (τ)d τb). 积分的叠加性D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t ) (α,β>0)证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L 积分仍然具有叠加性。
由定义知0D −βt f (t )=1Γ(β)∫t0(t −x )β−1f (x ):=g (t )那么D −αt g (t )=1Γ(α)∫t0(t −τ)α−1g (τ)d τ=1Γ(α)Γ(β)∫t 0(t −τ)α−1d τ∫τ0(τ−x )β−1f (x )dx=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫tx (t −τ)α−1(τ−x )β−1d τ(交换积分次序)=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫10(t −x )α+β−1(1−ξ)α−1ξβ−1d ξ (Let ξ=τ−xt −x )=B (α,β)Γ(α)Γ(β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=1Γ(α+β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=0D −α−βt f (t )由此我们也得到了积分满⾜交换性，即D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t )=D −βt D −αt f (t ) (α,β>0)c). 上式考虑了积分叠加的情形，对于连续函数f (t )考虑混合运算“先积分再微分”.（还记得R-L 定义思路D β=D m D −(m −β)）0D αt 0D −βt f (t )=0D α−βt f (t ) (α>0,β>0)证明:先探讨⼀种特殊的情形D λD −λf (t )=f (t ) (λ>0)当λ为整数时结论显然成⽴。
分数阶微积分与分数阶微分方程
分数阶微积分与分数阶微分方程分数阶微积分是微积分学中的一个重要分支，它涉及到非整数阶的导数和积分。
与传统的整数阶微积分不同，分数阶微积分引入了分数阶导数和分数阶积分的概念，使得我们能够更好地描述和解决一些复杂的现实问题。
一、分数阶导数传统的微积分中，我们熟悉的导数是整数阶的，比如一阶导数表示一个函数的变化率，二阶导数表示一个函数的曲率。
而分数阶导数则是将导数的概念推广到了非整数阶。
对于一个连续函数f(x)，其一阶导数可以表示为：D^αf(x) = 1/Γ(n-α) ∫[a,x] (f(t)/(x-t)^(α+1-n)) dt其中，D^α表示分数阶导数，Γ(n)表示伽玛函数，a为常数，n为整数。
该公式给出了分数阶导数的定义，可以看到，它是通过积分来定义的。
二、分数阶积分与分数阶导数类似，分数阶积分也是将积分的概念推广到了非整数阶。
对于一个函数f(x)，其分数阶积分可以表示为：I^αf(x) = 1/Γ(α) ∫[a,x] (f(t)/(x-t)^(α+1)) dt其中，I^α表示分数阶积分，Γ(α)表示伽玛函数，a为常数。
与分数阶导数类似，分数阶积分也是通过积分来定义的。
三、分数阶微分方程分数阶微分方程是指方程中包含了分数阶导数的微分方程。
与常见的整数阶微分方程不同，分数阶微分方程在数学和物理学上有着广泛的应用。
以分数阶常微分方程为例，其一般形式可以表示为：D^αy(x) = f(x,y(x))其中，D^α表示分数阶导数，y(x)表示未知函数，f(x,y(x))表示已知函数。
分数阶微分方程的求解是一个复杂而有挑战性的问题，需要运用分数阶微积分的理论和方法进行求解。
四、分数阶微积分的应用分数阶微积分在许多领域中都有重要的应用，比如信号处理、金融工程、生物医学等。
以信号处理为例，分数阶导数可以用来描述非平稳信号的长期记忆特性，从而更准确地分析和处理信号。
此外，分数阶微积分还可以应用于模糊逻辑、控制系统等领域。
分数阶微积分
6
Fractional Calculus
.T. heorem .1.3 For n ∈ N,we have (n − 1)! = Γ(n).
.P. roof. 用归纳法证明。
n
=
1,
Γ(1)
=
∫∞
0
e−1dt
=
1.
假设 n = k − 1 时成立，那么 n = k 时,
.ΓΓ1)((kk∫0)∞−=t1k)∫−0=∞2et−∫k0t∞−d1ttek=−−12(dekt−−=td1t−).Γt(kk−−1e1−)t|=∞ 0
∫x
a
ϕ(τ )(x
−
τ )m+n−1dτ
=
Jam+nϕ(x).
almost everywhere on [a, b]. Moreover,by the classical theorems on parameter integrals,if ϕ ∈ C[a, b] then also Janϕ ∈ C[a, b], and therefore .JamJanϕ ∈ C[a, b], and Jam+nϕ ∈ C[a, b] too.
a continuous nth derivatives on the interval [a, b].Then,
.
Dnf = DmJam−nf.
5
Fractional Calculus
. p. roof of lemma 1.2. By DnJanf = f ,we have f = Dm−nJam−nf. Applying the operator Dn to both sides of this relation and using the fact that
分数阶微分方程课件00_ECE-5930-syllabus (1)
Fractional order models and fractional differential equations in science and engineering Igor Podlubny L 178 797-7118 (Office) igor.podlubny@tuke.sk M W F 10:00–11:30 Other hours by appointment. Tu Th 12:30–14:50 ENGR 204 standard calculus and basic numerical methods. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press; 1999. Magin R. Fractional Calculus in Bioengineering. Begell House Inc., Redding; 2006.
ECE 5930 / ECE 6930:
Course outline: page 2/3
Fractional Green's Function. Definition and Some Properties. One-Term Equation. TwoTerm Equation. Three-Term Equation. Four-Term Equation. General Case: n-term Equation. Other Methods for the Solution of Fractional-order Equations. The Mellin Transform Method. Power Series Method. Babenko's Symbolic Calculus Method. Method of Orthogonal Polynomials. Numerical Evaluation of Fractional Derivatives. Approximation of Fractional Derivatives. The "Short-Memory" Principle. Calculation of Heat Load Intensity Change in Blast Furnace Walls. Order of Approximation. Computation of Coefficients. Higher-order Approximations. Numerical Solution of Fractional Differential Equations. Initial Conditions: Which Problem to Solve? Numerical Solution. Examples of Numerical Solutions. The "ShortMemory" Principle in Initial Value Problems for Fractional Differential Equations. Matrix approach to discrete fractional calculus. Numerical solution of nonlinear problems. Applications. SUPPLEMENTAL REFERENCES: 1. Podlubny, I., Heymans, N.: Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. Rheologica Acta. vol. 45, 2006, pp. 765–771. 2. Podlubny I.: Fractional-order systems and PIλDµ–controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, no. 1, January 1999, pp. 208-213. 3. Podlubny, I., Petras, I., Vinagre, B.M., O'Leary P., Dorcak L.: Analogue realizations of fractional-order controllers. Nonlinear Dynamics, vol. 29, no. 1–4, 2002, pp. 281–296. 4. Podlubny, I.: Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 5, no. 4, 2002, pp. 367–386. 5. Podlubny, I.: Matrix approach to discrete fractional calculus. Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 3, no. 4, 2000, pp. 359–386. 6. Carpinteri A, Mainardi F, editors. Fractals and fractional calculus in continuum mechanics. CISM Courses and Lectures no. 378. International Center for Mechanical Sciences. New York: Springer-Verlag Wien; 1997. 7. Churchill RV.Operational mathematics. New York: McGraw- Hill; 1958. 8. Magin RL, Fractional Calculus in Bioengineering, Critical Reviews in Biomedical Engineering, Part I 32(1): 1-104, 2004, Part II 32(1) : 105-193, 2004, Part III 32(1) 9. Mandelbrot BB. The fractal geometry of nature. New York: W. H. Freeman; 2000. 10. Miller KS, Ross B. An introduction to the fractional calculus. New York: John Wiley; 1993. 11. Oldham KB, Spanier J. The fractional calculus. New York: Academic Press; 1974. 12. West BJ, Bologna M, Grigolini P. Physics of fractal operators. New York: Springer; 2003. Web site: http://people.tuke.sk/igor.podlubny/ http://people.tuke.sk/igor.podlubny/USU/ http://people.tuke.sk/igor.podlubny/fc.html Homework
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分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。
然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。
在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。
在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
鉴于此，发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。
预备知识1、分数阶微积分经典定义回顾作为分数阶微积分方程的基础，本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍，为了接下来讨论的需要，我们首先对其进行一个简要的回顾。
如上图所示，分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分，从而将微积分的概念延拓到整个实数轴，甚至是整个复平面。
但由于延拓的方法多种多样，因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。
然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出，而且只能满足人们的某些特定需求，迄今为止，人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义，这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。
（2）几种经典的分数阶微积分定义下面我们试图从理论依据、定义域、表达式和优缺点几个方面给出常见的四种分数阶微积分定义的比较图。
分数阶微积分定义从上图我们看到，在分数阶微积分的发展过程中，人们根据不同的需求，从不同角度给出了分数阶微积分的定义，但这些定义无论从对象上还是从表达式上都无法实现统一，它们之间的关系大致可以用下图来表示。
(2)整个函数空间注:条件1: f(t)在［a,b ］上逐段连续，且在任何有限子区间上可积； 条件2 : f (t)在［a,b ］上具有［p ］ 1阶连续导数； 条件3: f (k)(a) 0，k 1,2,L ,[p]； 条件4: f (t)0，t a 。
由上图我们可以看到，对于不同的分数阶微积分定义方式有着不同定义域， 即便是在公共区域内，不同的定义方式之间也无法实现完全的统一， 这对分数阶 微积分的应用和研究造成了一定的困难，因此人们迫切期望着分数阶微积分的一 种哪怕是形式上的统一定义方式。
2、M-R 序列分数阶微分的定义为了满足实际需要，下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的 表达式。
分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分， 所有推广方法的共同目 标是以非整数参数p 取代经典微积分符号中的整数参数 n ，即：实际上，任意的n 阶微分都可以看成是一列一阶微分的叠加：AA L df(t) dtdt 4dt 4炉n由此，我们可以给出一种在很多实际应用中十分重要的分数阶微积分的推广方 式。
首先，我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为 (0 阶微分，即d D 是可实现的。
那么类似地可得到(1)的推广式为：dtD n f (t) DdQD f(t)n这种推广方式最初是由 ler 和B.Ross 提出来的，其中 D 采用的是d Pdt 7(1)1R L 分数阶微分定义，他们称之为序列分数阶微分。
序列分数阶微分的其他形 式可以通过将D 替换为G L 分数阶微分、Caputo 分数阶微分或其他任意形式 分数阶微分来得到。
进一步，如果我们将（2）中的分数阶微分D 替换为不同阶数的分数阶微分 可得到序列分数阶微分更一般的表达式：D f （t ） D 1D 2L D nf （t ）（ 3）1 2 Ln根据问题的需要，D 可以是R L 分数阶微分、G L 分数阶微分、Caputo 分数阶微分或其他任意形式的分数阶微分，从这一点看来，我们可以说序列分数 阶微分从形式上给出了分数阶微积分在时域上的一个统一表达式，R L 分数阶微分、G L 分数阶微分和Caputo 分数阶微分都只是序列分数阶微分的一种特殊 情况。
故而，下面我们在对分数阶微积分方程进行理论分析的时候可以仅仅针对 序列分数阶微积分来给出结论。
3、M-R 序列分数阶微分的Laplace 变换F 面我们考虑如下形式的序列分数阶微分的 Laplace 变换注：虽然上述序列分数阶微分的 Laplace 变换是在R-L 分数阶微分定义下进行证明的，但是该结论对其他几种分数阶微积分也是成立的。
4、泛函理论基础定理1 （ Schauder 不动点定理）设U 是Ban ach 空间X 的有界闭子集，如果T:U U 是连续映射，那么T 在 U 中存在不动点，即使得Tx x 的点存在。
定义1 （ Lipschitz 条件）设；X,＜是距离空间，T 是从X 到X 的映射，如果存在常数q 0，使得对 所有的x,y X ，d(Tx,Ty) qd(x, y)aD taD t ma D t m1L a D t 1(4)aD tmaD t1 aD tm1L a D t 1在R-L 分数阶微分定义下有:重复利用上式m 次可得:j1,s F(s)(j 1,2,L ,m)1[°D t f(t)]t0m 1L{°D t mf(t);s} s mF(s) s m mk[0D t mk1f(t)]t0k 0(5) (6)(7)(8)则称T满足Lispschitz条件，q成为T的Lispschitz常数。
特别的，如果q 1，则T称为压缩映射。
定理2( Banach压缩映像原理)设X,d-是距离空间，T:X X是压缩映射，则T在X中恰有一个不动点。
设这个不动点为X，则对任何初始点X。
X，逐次迭代点列Xx Tx n，n 1,2,L 收敛于X，且关于收敛速度有如下估计式：n 1d(X n,X) q (1 q) d(Tx o,X o)其中，q是T的Lipschitz常数。
三、解的存在唯一性理论近年来，分数阶微分方程已经在国内外引起极大的研究兴趣，尤其是关于其解的性质的研究，诸如存在性及唯一性等，其中大多数的研究方法是通过把分数阶初值问题转换成等价的分数阶积分方程，然后运用不动点定理来得到分数阶初值问题解的存在唯一性结果。
已有研究结果主要有以下限制：(1)函数的定义区间为有限区间［a,b］；(2)函数在定义域上需满足Lipschitz条件；因此，目前人们在这方面所做的工作都是希望设法在放宽上述两个限制条件后给出分数阶微积分方程的解的存在唯一性定理。
下面我们对分数阶微分方程初值问题的现有理论结果作一个简单的介绍，相应的结论都是针对定义在有限区间［0,T］上的M-R序列分数阶微分形式，在满足Lipschitz条件下给出的，当然，由前面的介绍可知，这些结论也可直接推广到其他分数阶微分形式。
1、线性分数阶微分方程解的存在唯一性定理考虑如下形式的初值问题：n 1o D t n y(t) P j(t)o D t n j y(t) P n(t)y(t) f(t),(0 t T ) (9)j 1［o D t k 1y(t)］t o b k ,k 1,2,L ,n (10)T且f (t) L1(0,T)，即| f (t) dt ( 11)第一步：假设P k(t) 0,(k 1,2丄，n)，考虑由此得到的退化问题解的存在唯一性。
定理1如果f(t) L1(0,T)，则方程°D t n y(t) f(t) ( 12)有满足初值条件(10)的唯一解y(t) Ld0,T)。
定理的证明过程如下：步骤一通过Lap lace变换证明解的存在性；下面我们设法构造一个待求解问题解，对式(12)做Laplace 变换可得：n 1s nY(s) s n nk[o D t nk 1y(t)h o F(s)( 13)k 0其中，Y(s)、F(s)分别是y(t)、f(t)的Laplace 变换。
利用初值条件(10)可 得：n 1Y(s) s n F(s)b nk Snkk 0对上式做Lap lace 逆变换可得：1 t 1 nby(t)(t )n 1f( )d -^t i1(n ) 0i 1( i )步骤二由分数阶微分的线性性和Lap lace 变换的性质证明唯一性。
假设有存在两个满足上述初值问题的解 y 1 (t)、y 2(t)令z(t) y/t) y 2(t)，有分数阶微分方程的线性性可得：°D 「z(t) 0[0D t k1y(t)]t 0 b k ,k 1,2,L ,n从而有Z(s) 0由Laplace 变换的性质可知：z(t) 0在(0, T)上几乎处处成立。
故原方程的解在L 1(0,T)上唯一。
注：上述证明过程中用到的 Laplace 变换法是一种常用的分数阶微分方程求解方法，该方法步骤简单，适用范围较广，在实际中有着重要应用，后面将对其 进行详细介绍。