应力状态分析.ppt

2
y
2


2 x


80

50
2


602
2
=88.5MPa
σy
σα
α τα
σx τx
τy
τ
Dα
τα 2α
σα
o
C
D
y
D
x
σ
利用应力圆求斜截面上的应力时应注意：
1）应力圆的旋转起始线是CDx线，而非σ轴； 2）应力圆上的旋转方向必须与单元体上斜截面的旋转方向一致；
σy
τ
Dα
第八章 应力状态分析
§8-1 概述
一、应力状态分析
铸铁受扭
五马分尸
F1
F2
q(x)
b
h
z
y
§8-2 平面应力状态分析
一、斜界面上的应力
σy
单元体
σy
σx
σx
τx τy 应力状态
σy
σx τx τy
σy
τα
σα
α τx σx τy
σy
τα
σα
τy
正应力以拉为正，压为负； 切应力以使单元体产生顺
时针旋转趋势为正，反之为负；
x x
y y
x C -30 °
x -30 °
x 30°
30

x 0
2
x 0
2
cos
60
y
x sin 60
n
63.7 63.7 cos(60) (35.7)sin 60 22
16.9MPa
30

63.7 0 2
sin(60)
(35.7) cos(60)
45.4MPa

பைடு நூலகம்
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2
σy
σy
0 －－ 180
90 －－ 90
τx σx τy
τx σx τy
不同斜截面上的应力仅与斜截面的倾角α
46MPa
17MPa
17MPa
46MPa
σx τx
τ
90 90
σ
三、主平面和主应力
σy
τ
σx τx τy
o A2
D
y
D
x
C
A1 σ
单元体上切应力为零的斜截面称为主平面， 作用在主平面上的正应力称为主应力； 应力圆上的两个主应力一个是极大值，一个是极小值。
σα
α τα
σx τx
τy
τα 2α
σα
o
C
D
D
x
σ
y
3）应力圆上旋转的角度是单元体上斜截面旋转角度的2倍；
结论：
1）应力圆圆周上的点与单元体的斜截面一一对应；
2）单元体上夹角为α的两个斜截面，在应力圆圆周上对应的点 夹角为2α；反之亦然。
例 已知σx =63.7MPa，τx=35.7MPa，用图解法求图示 斜截面上的应力。
x

2
y
2


2 x



x

2
y
2



2

τ

x


2
y
2



2 x
σy D
x
σx τx
o
C
σ
τy
D
y
50MPa
80MPa 60MPa


x

2
y
,0
80 50 ,0 2
15,0
R


x
τ x 和τy一正一负； α以逆时针为正，顺时针为负；
应力不因分布面积减小而变化，
只能对力列平衡方程，而 不能直接对应力列平衡方程；
σy
τα
σα
α τx σx τy
σy
τα
σα
τy


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2

120 15
270
250 kN
A
C
5m 10m
(a)
B (b)
9 z
a (c) 15
解：1）求内力
250 kN
A
C
FS 200 kN
5m 10m
50 kN
M(kN·m)
B
M C 80kN m
FSC 200 kN
2）取a点的应力状态
80 270
x x
120 15
9
z
y
y
x
x
x
x
力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点 = 30°截
面上的应力。
y
T F
T
y
C
F x x
C
x
x
x
x
y
(a)
(b)
解：取C点的应力状态。
x

F A

500103 π 1002
63.7MPa
4
x

Me WP

7 106 π 1003 16
35.7MPa
σx 60 τx ° τy
解：1）作应力圆
2）确定应力圆上斜截面的 位置
τ
α=-30 ° 顺时针旋转30 °
D
3）确定斜截面上的应力
y
C
o 60°
30 17MPa σ 30 46MPa
Dα
D
x
σx τx
60° τx σx
30 17MPa 30 46MPa

x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2
注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα
τα
τ α>0
τ α<0
例 ： 图 示 圆 轴 中 ， 已 知 圆 轴 直 径 d=100mm ， 轴 向 拉
x
y
f
a
15
120 9
15
Iz

0.12 0.33 12

0.111 0.273 12
270
88106 m4
z
f
a
S
* za

0.12 0.0150.15 0.0075
15
256106 m3
a

MC Iz
ya

80106 88106 1012
135 122.7MPa
有关，而与截面的大小和位置无关。
二、应力圆


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2




x

2
y
2


2



x

2
y
2


2 x
τ
σ
x

2
y
,
0
R

σy
τ
σx τx
o A2
C
τy
D
1

x
y
2

y


x

2
y
2

2 x
2

x
y
2


x

2
y
2


2 x
D
x
A1 σ
σy
τ
σx τx τy
o A2
D
y
D
x
2α0
C
A1 σ
2 0

arctan

x
2 x
y
例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所 示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a点处 的主应力。
a

FSC
S
* za
Izd

200103 256106 109 88106 1012 9
64.6MPa
3）作a点的应力圆
122.7MPa 64.6MPa
/MPa
A3 O
D1(122.7,64.6)