第三章 环境质量基本模型

单位时间、单位体积内的物质增量 （浓度变化速度） 衰减速度常数
dC = kC dt
以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述 的是某物质“浓度”变化速率，是该物质 “浓度” 本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。
c1
* t1
c2
* t2 t
dC Dc c2 c1 = dt Dt t 2 t1
虚源1的贡献
虚源2的贡献
式中B为扩散环境的宽度
如果污染源位于边界上，环境宽度为无限大， 此时的解为：
C(x,y ) ux y 2 kx = exp( )(exp( ) ux 4Dy x h 4 Dy xu x 2Q Q ux y 2 kx = exp( )(exp( ) ux 4Dy x h Dy xu x
假设： 污染物质点与介质很好融合，具有相同流体 力学性质； 可以均匀分散，不产生絮凝、沉淀和挥发； 可以将污染物质点作为介质质点进行研究。
模型应用范围： A 零维模型 (假定内部无浓度梯度，浓度均匀化) 适合于箱体、湖泊、水库环境 B 一维模型 (在一个方向上有浓度梯度变化) 适合于细、长、浅的河流环境 C 二维模型 (在二个方向上有浓度梯度变化) 适合于宽、长、浅的大型河流、河口、海湾、浅湖 D 三维模型 (在三个方向上有浓度梯度变化) 适合于宽、长、深的大气、河口、海洋、深湖
污染物浓度的空间分布只在一个方向上存在显著差异 时，常用一维模型进行描述。
河流
输入：
输出：
变化＝输入-输出-衰减
均匀流场
一维模型：
二维模型：
三维模型：
三. 非稳定源排放的解析解
1. 一维流场中的瞬时点源排放 a. 忽略弥散作用，即Dx=0， 2 c c c = Dx 2 u x kc t x x 可得：
a. 分子扩散：由分子随机运动引起的质点分散现象， 其速度与“热”有关。分子扩散符合Fick第一定律 (质量通量)，分子扩散的质量通量与扩散物质的 浓度梯度成正比。 浓度梯度：在某个方向上的浓度变化率
z
I1 Z I1
Δc= c2- c1
X
*
x
x *
c2 Δx
c1
I1 Y
y
分子扩散和浓度梯度示意图 因此，根据Fick定律写出：
2
(2b y u y t)2 4Dy t
))
式中b为实源或者虚源到边界的距离。
如果b=0，说明什么？
四. 稳定源排放的解析解
稳态：在环境介质处于均匀稳定的条件下，如果 污染物稳定排放，其在环境中的分布是稳定的， 这时污染物在某一空间位置的浓度将不会随时间 而变化，这种状态称为稳态。 1. 零维模型的稳态解 稳态条件下，dc/dt=0，可得：
1. 质量守恒原理
进 入 量 系统 存量 出 去 量 t2时刻：存量2
t1时刻：存量1
对于输入端：物质总量=存量1+进入量 （1） 对于输出端：物质总量=存量2+出去量 （2） 存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-存量1=进入量-出去量 存量的变化量（增量）=进入量-出去量
2. 零维模型的推导 (完全混合) 定义：研究范围内，不产生环境质量的差异， 类似一个连续流完全混合反应器。
3 x
I 3 = Dy y
C y
C I = Dz z
3 z
为环境介质中污染物的时间平均浓度的空间平 均值；D为x,y,z三个方向上的弥散系数。其余符号 意义同前。
C
(3) 污染物的衰减和转化 进入环境中的污染物分为稳定和非稳定物质两类。 对于非稳定物质，由于生物或化学的作用，由一种 物质变化为另一种物质，对原物质是衰减了，而对 于新生物质而言则是增生了。
C Dc I = Em Em x Dx
1 x
浓度梯度的负方向
分子扩散系数
X上某点浓度梯度
I
I
1 y
= Em
= Em
C y
C z
1 z
式中： I—三个方向x,y,z上的污染物扩散通量； 单位：物质的质量/(单位时间*单位面积) Em—分子扩散系数，各个方向同性且相同。
这段河道中 的总水量m3
Q
x
S
z
L
ux uy
Δt
y
图 推流迁移运动示意图
质量
L QC = c = uc Dt SDt
X轴方向通量： fx=uxc Y轴方向通量： fy=uyc Z轴方向通量： fz=uzc
(2) 分散运动：物质浓度总从高处向低处扩散。 污染物质在环境介质中的扩散作用包括分子扩散， 湍流扩散和弥散三种。
b. 湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质 点的各种状态的瞬时值相对于其时间平均值的随机脉 动而导致的分散现象。
Dc = c2 c1
C1
*
C2
*
Dx
湍流扩散和浓度梯度示意图
根据Fick第一定律：
I 2 = Ex x C x
I
2 y
C = Ey y
C = Ez z
稳态推流存在的情况下，忽略弥散作用，此时：
kx C = C0 exp( ) ux QC1 qC2 C0 = Qq
Q，q分别为河流和污水的流量；C1、C2河流中 污染物的本底浓度和污水中污染物浓度。
3. 二维模型的稳态解
a. 无边界排放
稳态条件下有 c = 0 ，假设在z方向上不存在浓度 梯度，所以： t
I
2 z
Ex, Ey, Ez为x, y, z 三个方向的湍流扩散系数，一般x, y 方向的扩散系数大于z方向的扩散系数； 为环境介质 污染物的时间平均浓度。
c. 弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不 均匀造成流体形变引起的扩散。
c1
c2
C1
C2
Dx
弥散扩散和浓度梯度示意图
C I = Dx x
实源
虚源 上边界 实源 下边界 虚源 环境宽度无穷大 环境宽度有限
Fra Baidu bibliotek
图 二维稳态点源的中心排放
此时的解为：
C(x,y ) Q
实源贡献
ux y 2 kx = exp( )(exp( ) ux 4Dy x h 4 Dy xu x
u x (nB y)2 u x (nB y)2 exp( ) exp( ) 4Dy x 4Dy x n =1 n =1
dc V =Qc0 S rV Qc dt
进入量 源(生成) 衰减量 输出量
若S=0，污染物在反应器内的反应符合一级反应 动力学降解规律，即r = -kc，则：
S
Q,C0 C Q,C V
dc V = Qc0 kc V Qc dt = Q(c 0 c) kc V
3. 一维模型的推导
b. 有边界约束 实源排放 如果污染物扩散受到边界的影响，需要考虑边界 的反射作用，此时瞬时点源二维模型的解析解：
(y 虚源排放 u y t)2 QC0e (x u x t) C(x, y,t) = (exp( ) 4Dx t 4Dy t 4 ht Dx Dy
2

k t
(x u x t) +exp( 4Dx t
2. 瞬时点源排放的二维模型 a. 无边界约束 假定所研究的二维平面式x，y平面，无边界约束， 瞬时点源二维模型的解析解为：
(x u x t) C(x, y,t) = exp( 4Dx t 4 ht Dx Dy QC0
2
(y u y t)2 4Dy t
kt)
式中uy为y方向的速度分量；Dy为y方向的弥散系 数；h为平均扩散深度。
通常n取2-3
五. 污染物在均匀流场中的分布特征
1. 浓度场的正态分布 (1) 一维流场（瞬时点源）
C x, t = x u x t exp exp kt 4 Dx t 4 D x t M
2
令
x = 2 Dx t
M
则： C x, t = A x
A:只有推流迁移
B:推流迁移 +扩散
C:推流迁移 +扩散+衰减
D:推流迁移 +衰减
E:无推流迁 移仅有扩散
F:无推流迁移 有扩散+衰减
二. 基本模型的推导
定义：反映污染物在环境介质中运动的基本规 律的数学模型称为环境质量基本模型。
本质：反映了污染物在环境介质中运动的基本 特征，即推流迁移，分散和降解。
c 2c 2c c c = Dx 2 Dy 2 ux uy kc = 0 t x y x y
均匀流场中，解析解为：
C(x, y) = Qu x 4 hx Dy Dx exp( (y u y x / u x )2 4Dy x / u x kx ) ux
QC0 C= = (Q kV) C0 V 1 k Q
污染物的 理论停留 时间
2. 一维模型的稳态解 稳态条件下，dc/dt=0，可得：
2c c Dx 2 u x kc = 0 x x
如果给定初始条件x=0， C=C0一维模型的解析解为：
ux x 4kDx C = C0 exp( (1 1 )) 2 2Dx ux
本章主要掌握内容：
污染物在环境介质中主要运动形式 (三种) 污染物在环境介质中的扩散作用 (三种) 环境质量基本模型—零维模型的推导 不同的排污条件下，污染物浓度的求解
一. 污染物在环境介质中的运动
1. 基本概念
(1) 环境介质：能帮助传递物质和能量的物质，传递 过程中物质与能量有可能有耗散。 (2) 运动：事物状态的变化，如位置、速度、密度、 形态、质量、温度、带电量及组成成分 的变化。
均匀、稳定流场中，Dx和uy可以忽略，则上式简化为：
C(x,y )
u x y 2 kx = exp( ) 4Dy x u x h 4 Dy xu x Q
b. 有限边界的排放
假设存在两个边界，污染源位于两个边界 之间，考虑边界的反射作用，此时可以通 过假设的虚源来模拟边界的反射作用。 如图:
M为污染 物瞬时投= C(x, t) 放量， M=QC0
uxC0
(x u x t) exp[为河流 ]exp( kt) A 4D 4 Dx t 截面积， x t
2
(x u x t)2 C(x,t) = [exp( ]exp( kt) 4Dx t A 4 Dx t M
且A=Q/ux
dC 当物质量为增生时： dC Dc 0 = kC (c2 c1 ) dt Dt dt
dC Dc dC 当物质量为衰减时： 0 = kC (c1 c2 ) dt Dt dt
综合三种作用的图像理解
推流只改变位 置，不改变其 分布、总量 分散改变位置 以及分布，不 改变其总量 衰减改变其 总量
(3) 污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良 影响的物质和能量，即过量的有害物质， 污染物的质量相对于介质质量是微量的。
2. 污染物在介质中各种运动
重要
• 推流迁移运动
• 分散运动 • 污染物的衰减和转化
(1) 推流迁移运动： 污染物迁移量(质量通量)： (物质的质量/单位时间*单位面积，单位如 g/m2s）
x u x t 2 exp exp kt 4Dx t 2
x 断面处出现最大浓度的时间是： t = ux
C x, t Max =
M
A x 2
exp kt
如果污染源位于宽度为B的边界上，同样通过假 设虚源来模拟边界的反射作用，此时的解为：
C(x,y ) ux y 2 kx = exp( )(exp( ) ux 4Dy x h 4 Dy xu x 2Q
u x (2nB y)2 u x (2nB y)2 exp( ) exp( )) 4Dy x 4Dy x n =1 n =1
S
Q,C0 C Q,C V
V为反应器的体积；k衰减速度常数； 在Δt= t1-t2的时段内，浓度Δc=c2-c1， 质量变化：m=Vc1-Vc2=V(c2-c1)=VΔc
单位时间的质量变化量：
Dm Dc =V Dt Dt
当Δt 趋于0时，取极限得：
Dc dc V V Dt dt
根据质量平衡原理，单位时间的质量变化量表示为：
c c ux kc = 0 t x
解为：
kx C(x, t) = C0 exp( kt) = C0 ( ) ux
b. 考虑弥散作用，即Dx≠0, 得：
c 2c c Dx 2 u x kc = 0 t x x
通过数学拉普拉斯变化及其逆变换求得方程解为：